Элементы общей топологии(1)

Волгоградский государственный педагогический университет Кафедра алгебры, геометрии и информатики

Элементы общей топологии

Методическая разработка

Составили: Бузулина Т.И., Крячков Ю.Г.

Волгоград

2002

Содержание

Введение

Методическая разработка предназначается для студентов дневного и заочного отделений математического факультета. Ее также можно использовать преподавателям для подготовки к практическим занятиям по данной теме.

Помимо определений и теорем, подавляющее число из которых доказано, разработка содержит упражнения для самостоятельной работы и достаточно обширный список литературы.

Книги [1], [2], [3], [4] представляют собой монографии, в которых можно найти подробные сведения по любым понятиям, затронутым в данной разработке. Книги [5] и [6] – учебного характера, причем последняя охватывает значительно больше, чем материал по общей топологии.

Пособие [7] написано для студентов заочников (серия МГЗПИ), а двухтомник [8] – прекрасный современный учебник, созданный авторами Российского государственного педагогического университета г. Санкт-Петербурга.

Отметим также книгу [?], в первой главе которой очень подробно изложены основы теоретикомножественной топологии. Первая часть книги [11] также посвящена основам теории топологических пространств и непрерывных отображений, она снабжена большим количеством упражнений.

В книге [9] прекрасно написана глава, содержащая топологические понятия в метрических пространствах. Наконец, двухтомник [10], посвященный математическому анализу, также содержит главы, в которых с педагогическим блеском излагаются основные топологические понятия.

Нельзя не сказать и о прекрасной книге А.В.Архангельского и В.И. Пономарева Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М: Наука, 1974, написанной специально для тех, кто хотел бы не только познакомиться с основами теоретико-множественной топологии. но и попробовать свои силы в решении более сложных задач.

1

1Топологическая структура

Пусть задано множество X, элементы которого будем называть точками. Выделим семейство Φ подмножеств Gα X.

Определение 1.1 Топологической структурой на множестве X называют семейство Φ = {Gα} его подмножеств, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1.Объединение любых множеств из Φ принадлежит Φ. 2.Пересечение любых двух множеств из Φ принадлежит Φ. 3.Пустое множество принадлежит Φ.

4.Множество X принадлежит Φ.

Топологическую структуру Φ кратко назвают топологией. заданной на множестве X.

Определение 1.2 Топологическим пространством называют множество X, в котором задана некоторая топология Φ.

Любое множество G Φ называется открытым в топологическом пространстве X. Таким образом, топологическое пространство есть пара: множество X и заданная на нем топология Φ. Когда ясно, о какой топологии идет речь, топологическое пространство обозначают одной буквой X. Условия 1-4 называют аксиомами топологического пространства.

2Примеры топологических пространств

1.Пусть X произвольное множество. Открытыми в X будем считать лишь пустое множество и само X. Такая топология называется тривиальной. Выполнение условий 1-4 очевидно.

2.Пусть X произвольное множество. Открытыми в X будем считать любые подмножества множества X. Такая топология называется дискретной. Выполнение условий 1-4 очевидно.

3.Обозначим через U(a, R) множество точек x = (x1, . . . , xn) Rn, таких, что

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 < R2,

где R > 0 – действительное число, а a = (a1, . . . , an) – некоторая фиксированная точка из Rn. Если в Rn введена обычная евклидова метрика, то U(a, R) – открытый шар радиуса R с центром в точке a.

Пусть X = Rn. Назовем открытыми множествами в Rn такие множества, в которых каждая точка является центром некоторого открытого шара, содержащегося в этом множестве. Иначе говоря, множество G открыто в Rn, если для каждой точки a G существует такое R > 0, что открытый шар U(a, R) G.

Выполнение условий 1, 3 и 4 почти очевидно. Проверим выполнение условия 2. Пусть G1 и G2 открыты, а G = G1 ∩ G2. Если точка a G, то a G1 и a G2, а потому существуют такие числа R1 и R2, что U(a, R1) G1 и U(a, R2) G2. Если r = min(R1, R2), то U(a, r) G и, следовательно, множество G открыто.

Топология, приведеннаяв данном примере, называется естественной.

4.Пусть X = Rn. Назовем открытыми множествами в X только шары U(p, R) с центром в фиксированной точке p, а также все X и пустое множество. Очевидно, что условия 3 и 4 выполняются.

Если {U(p, Rα)} – любая система открытых множеств, то их объединением будет множество U(p, r), где r = sup{Rα}. Если sup{Rα} = +∞, то U(p, r) = X. Итак, условие 1. выполняется. Пересечением двух множеств U(p, R1) и U(p, R2) будет множество U(p, r), где r = min(R1, R2), значит условие 2 также выполняется. Эту топологию мы назовем концентрической.

Приведенные примеры показывают, что на одном и том же множестве можно задать различные топологии, что приводит к различным топологическим пространствам.

Дальнейшие примеры топологических пространств можно почерпнуть из приведенного списка литературы.

2

Упражнения.

1.Пусть X = {a, b} – двухэлементное множество. Выписать всевозможные топологии на X. (Простое двоеточие, связное двоеточие, "слипшиеся"двоеточие.)

2.Пусть X = {a, b, c} – трехэлементное множество. Выписать всевозможные топологии на X, отличные от тривиальной и дискретной.

3Топология, индуцированная метрикой

Приведем пример очень важного класса топологических пространств. Пространства этого класса называют метрическими.

Определение 3.1 Пусть X – произвольное непустое множество. Метрикой на множестве X называют отображение ρ : X × X −→ R, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):

1.ρ(x, y) ≥ 0 для любых x, y X, причем равенство ρ(x, y) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда x = y.

2.ρ(x, y) = ρ(y, x) для любых x, y X.

3.Для любых x, y, z X ρ(x, y) + ρ(y, z) ≥ ρ(x, z).

Определение 3.2 Множество X с заданной на нем метрикой ρ называют метрическим пространством. Элементы множества X обычно называют точками. Число ρ(x, y) называют расстоянием между точками x и y.

Обычно метрическое пространство обозначают (X, ρ). В тех случаях, когда не возникает опасность путаницы, метрическое пространство (X, ρ) обозначают просто буквой X.

Покажем, что задание метрики ρ на множестве X позволяет определить на X некоторую топологию.

Определение 3.3 Назовем открытым шаром с центром в точке a и радиусом r > 0 множество таких и только таких точек x метрического пространства, для которых ρ(a, x) < r.

Открытый шар с центром в точке a и радиусом r > 0 обычно обозначают U(a, r).

Определение 3.4 Открытым множеством в метрическом пространстве называют такое множество G, которое вместе со всякой своей точкой содержит и некоторый открытый шар положительного радиуса с центром в этой точке.

Топологией, индуцированной метрикой ρ, называют топологию, содержащую пустое множество, само X и всевозможные открытые в смысле предыдущего определения множества. Проверить аксиомы топологии можно точно также, как и в примере 3.

Упражнения.

1. Пусть X – непустое множество. Определим метрику ρ на X следующим образом:

(

0, если x = y,

ρ(x, y) =

1, если x 6= y.

Доказать, что (X, ρ) – метрическое пространство. (Такую метрику ρ называют дискретной, а метрическое пространство (X, ρ) – пространством изолированных точек.)

2.Пусть (X, ρ) – пространство изолированных точек.(смотри упражнение 1.) Определить вид открытых шаров с центром в заданной точке пространства.

3.Определить вид топологии, индуцированной дискретной метрикой ( метрикой пространства изолированных точек).

3

4Замкнутые множества

Множество X \ H называется дополнением множества H до X. Очевидны соотношения

H ∩ (X \ H) = , H (X \ H) = X, X \ (X \ H) = H.

Легко проверить так называемые формулы двойственности:

Определение 4.1 Множество F называется замкнутым в топологическом пространстве X, если оно является дополнением некоторого открытого множества G до X, или, что то же самое, дополнение F до X является открытым.

Из аксиом топологического пространства и приведенных формул двойственности вытекает следующая теорема:

Теорема 4.1 1. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств есть множество замкнутое.

2.Объединение двух замкнутых множеств есть множество замкнутое.

3.Все пространство X замкнуто.

4.Пустое множество замкнуто.

Утверждения 3 и 4 очевидны. Докажем утверждение 1. Возьмем любую совокупность {Fα} замкнутых множеств Fα. Тогда совокупность {Gα} = {X \ Fα} состоит из открытых множеств. Из формул двойственности и аксиомы 2 вытекает, что множество

будет дополнением к открытому множеству. Утверждение 2 можно доказать аналогично. Утверждение аксиомы 2, а также соответствующее ему свойство 2 замкнутых множеств легко

распространить с двух на любое конечное число множеств. Для этого можно применить метод математической индукции. Тогда получим следующую теорему:

Теорема 4.2 Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Замечание: Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не всегда есть открытое множество. Объединение бесконечного семейства замкнутых множеств не всегда есть множество замкнутое.

Упражнения.

1.Пусть F – замкнутое множество в топологическом пространстве X. Пусть U – открытое множество в X. Доказать, что F \ U замкнуто в X, а U \ F открыто в X.

5Внутренние, внешние и граничные точки

Одним из важных определений является следующее:

Определение 5.1 Всякое открытое множество, содержащее точку x топологического пространства (X, Φ), называется окрестностью данной точки.

4

Замечание: Итак, свойство множества быть окрестностью данной точки зависит от выбора топологии на множестве. Кроме того, в литературе можно встретить и другие определения окрестности.

Возьмем в пространстве X некоторое произвольное множество A. Все точки пространства разбиваются по отношению к этому множеству на три класса: внутренние точки, внешние точки и граничные точки. Дадим соответствующие определения.

Определение 5.2 Точка x называется внутренней точкой множества A, если существует такая окрестность Vx этой точки, которая целиком содержится в этом множестве (Vx A).

Множество внутренних точек множества A обозначим через intA.

Определение 5.3 Точка x называется внешней точкой множества A, если существует такая окрестность Vx этой точки, не содержащая ни одной точки множества A (Vx (X \ A)).

Множество внешних точек множества A обозначим через extA.

Определение 5.4 Точка x называется граничной точкой множества A, если в любой окрестности этой точки есть как точки множества A, так и точки, не принадлежащие A.

Определение 5.5 Множество всех граничных точек множества A называют границей множества A и обозначают F rA.

Теорема 5.1 Для множеств intA, extA, F rA выполняются следующие соотношения:

intA extA F rA = X. intA ∩ extA = extA ∩ F rA = intA ∩ F rA = .

Теорема 5.2 Для множеств intA, extA, F rA выполняются следующие соотношения:

intA = ext(X \ A), extA = int(X \ A), F rA = F r(X \ A), intA A, extA (X \ A).

Теорема 5.3 Для любого множества A множество intA открыто.

Для каждой точки x intA выберем такую окрестность Vx, что x Vx A. Поскольку открытое множество является окрестностью каждой своей точки, то Vx intA. Так как множество intA =x intAVx, то из аксиомы 1 следует, что множество intA открыто.

Следствие 5.1 Для любого множества A множество extA открыто.

Теорема 5.4 Для того, чтобы множество A было открытым, необходимо и достаточно, чтобы

A = intA.

1.Необходимость. Так как открытое множество является окрестностью любой своей точки, то A intA. Поскольку intA A, то, следовательно, A = intA.

2.Достаточность. Следует из того, что множество intA открыто.

Упражнения.

1.Доказать, что A B = intA intB.

2.Доказать, что A B = extB extA.

3.Доказать, что ext(A B) = extA ∩ extB.

4.Доказать, что int(A ∩ B) = intA ∩ intB.

5.Доказать, что int(intA) = intA

5

6Замыкание

Определение 6.1 Точка p называется точкой прикосновения множества M, если каждая окрестность Vp этой точки имеет с M хотя бы одну общую точку ( Vp, Vp ∩ M 6= ).

Определение 6.2 Множество всех точек прикосновения множества M называется замыканием множества M и обозначается M.

Из определения следует теорема:

Теорема 6.1 Для любого множества M имеют место равенства:

M = intM F rM = X \ extM. M M.

Теорема 6.2 Замыкание любого множества есть множество замкнутое.

Так как множество extM открыто, а множество M является его дополнением, то оно замкнуто.

Теорема 6.3 Для того, чтобы множество M было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием M.

1. Необходимость. Пусть M замкнуто. Покажем, что M = M. Так как X \ M открыто, то имеем

X \ M = int(X \ M) = extM.

Тогда

M= X \ extM = X \ (X \ M) = M.

2.Достаточность. Следует из того, что замыкание любого множества есть множество замкнутое.

Следствие 6.1 Для любого множества A выполняется равенство: A = A.

Теорема 6.4 Если множество A содержится в замкнутом множестве F, то A F.

Если A F, то A F . Так как F = F, то A F.

Следствие 6.2 Замыкание множества A есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих A.

Теорема 6.5 Граница любого множества есть множество замкнутое.

Так как intA extA F rA = X, то F rA = X \ (intA extA). Поскольку множество intA extA

открыто, то его дополнение, а значит и F rA, замкнуто.

Теорема 6.6 Замыкание объединения двух множеств равно объединению их замыканий:

A B = A B.

Пусть x A B. Тогда для любой окрестности Vx, Vx ∩ (A B) 6= . Поскольку Vx ∩ (A B) = (Vx ∩ A) (Vx ∩ B), из этого следует, что хотя бы одно из множеств, Vx ∩ A и Vx ∩ B отлично от

пустого. Скажем, Vx ∩ A 6= . Тогда x A, а, значит, и A B. Мы доказали, что

A B A B.

Докажем обратное включение. Из того, что A (A B) следует, что A A B. Аналогично, B (A B) следует, что B A B. Но тогда

A B A B.

Теорема доказана.

Упражнения.

1. Доказать, что A B = A B.

6

2.Доказать, что F rA = A ∩ (X \ A).

3.Доказать, что intA = X \ (X \ A).

4.Доказать, что A F rA = A.

5.Доказать, что F rA F rA.

6. Пусть U и V открыты в X и U ∩ V = . Доказать, что U ∩ V = .

7. На прямой с интервальной ( естественной ) топологией даны следующие множества:

A = (α, β); B = [x, y); C = [z, t].

Найти

intA, intB, intC, A, B, C.

Какие из найденных множеств являются открытыми? Замкнутыми?

7База топологии

Пусть (X, Φ) – топологическое пространство и пусть B = {Bβ} – некоторое семейство открытых множеств в этом пространстве.

Определение 7.1 Семейство B открытых множеств в топологическом пространстве называется базой, если любое открытое множество в X можно представить в виде объединения некоторых множеств семейства B.

Теорема 7.1 Для того, чтобы семейство B Φ было базой топологического пространства (X, Φ), необходимо и достаточно, чтобы

a X и Va Φ, Ba B, такое, что a Ba Va.

1.Необходимость. Пусть B Φ – база. Пусть a X – произвольная точка и Va – ее произвольная окрестность. Так как Va Φ, то Va есть объединение некоторой совокупности множеств из базиса B. Поскольку a Va, то найдется множество Ba B такое, что a Ba. Следовательно a Ba Va, что и требовалось доказать.

2.Достаточность. Пусть G Φ – произвольное открытое множество. Тогда по условию теоремы

[

a G, Ba B, такое, что a Ba G, откуда G = Ba

a G

С помощью доказанной теоремы легко убедиться, что в пространстве E2 в качестве базы можно выбрать семейство всех открытых прямоугольников со сторонами. параллельными координатным осям. Базой в E2 также может служить семейство всех открытых кругов. В обоих случаях семейства следует дополнить пустым множеством.

Вметрическом пространстве с топологией, индуцированной метрикой, базой может служить семейство всех открытых шаров, дополненное пустым множеством.

Впространстве с дискретной топологией базой служит семейство, состоящее из пустого множества и всех одноточечных множеств.

Часто топологическую структуру во множестве X вводят, задавая не семейство открытых множеств, а лишь некоторое семейство, которое можно рассматривать как базу некоторой топологии. Очевидно, что такое семейство не может быть совсем произвольным. Следующая теорема отвечает на вопрос, каким условиям должно подчиняться такое семейство.

Теорема 7.2 Пусть X – произвольное множество. Пусть семейство B = {Bβ} подмножеств множества X удовлетворяет следующим условиям:

S

1. X = β Bβ;

2.B;

3.для любых A, B B и любой точки a (A∩B) существует такое C B, что a C (A∩B).

7

Тогда в X существует топология Φ, для которой семейство B является базой.

Рассмотрим семейство Φ множеств Gα, являющихся всевозможными объединениями множеств Bβ B. Легко видеть, что выполнение аксиом 1, 3 и 4 вытекает из конструкции множеств Gα и первых двух условий теоремы. Остается показать, что выполняется аксиома 2.

Пусть a – произвольная точка множества A∩B. Существуют такие множества Ba0 B и Ba00 B, что a Ba0 A и a Ba00 B. В силу третьего условия теоремы в B существует множество C такое, что a C (Ba0 ∩ Ba00 ) (A ∩ B). Множество A ∩ B является объединением множеств C B, а значит принадлежит Φ.

Важным классом топологических пространств являются пространства со счетной базой. Такую базу в En образуют, например, все открытые с центрами в точках с рациональными координатами и рациональными радиусами.

Простым примером топологического пространства, не имеющего счетной базы, служит любое несчетное множество с дискретной топологией.

Упражнения.

1. Пусть S = [0, 1) R. Доказать, что семейство B = {[α, β)| 0 6 α 6 β < 1} образует базу некоторой топологии τ, заданной на S. Топологическое пространство (S, τ) называют "стрелкой".

2.Определить вид открытых и замкнутых множеств "стрелки". ( Смотри упражнение 1. )

3.Доказать, что "стрелка" является индуктивно нульмерным пространством, то есть базу на этом пространстве образуют открыто-замкнутые множества.

4.Доказать, что "стрелка" не имеет счетной базы.

8Подпространство

Пусть (X, Φ) – топологическое пространство и пусть Y – подмножество X. Тогда на множестве Y естественно рассмотреть некоторую топологию, а именно:

Определение 8.1 Пусть (X, Φ) – топологическое пространство и Y X. Семейство

Ψ = {Gα ∩ Y }, где Gα Φ,

называют топологией, индуцированной на Y топологией Φ.

Выполнение аксиом 1-4 легко проверить непосредственно.

Определение 8.2 Топологическое пространство (Y, Ψ) называют подпространством топологического пространства (X, Φ), если Y X и топология Ψ индуцирована топологией Φ.

Из определения подпространства следует, что если G Y и G Φ, то G Ψ. Также легко проверить, что если G Y и замкнуто в (X, Φ), то оно замкнуто в подпространстве (Y, Ψ). Обратное, вообще говоря, является неверным.

Строение замкнутых множеств подпространства описывают следующие теоремы:

Теорема 8.1 Множество F в подпространстве (Y, Ψ) будет замкнутым тогда и только тогда, когда оно является пересечением Y с замкнутым подмножеством H из (X, Φ).

1. Необходимость. Пусть F замкнуто в (Y, Ψ). Тогда множество G = Y \ F открыто в (Y, Ψ). Поэтому G = Y ∩ A, где A Φ. Но тогда F = Y ∩ H, где H = X \ A замкнуто в (X, Φ).

2. Достаточность. Пусть F = Y ∩ H, где H – замкнутое множество в (X, Φ). Тогда множество Y \ F = Y ∩ (X \ H) будет открытым в (Y, Ψ), так как X \ H открыто в (X, Φ). Следовательно F замкнуто в (Y, Ψ).

Теорема 8.2 Если множество F замкнуто в подпространстве (Y, Ψ) пространства (X, Φ), то F = Y ∩ F , где F – замыкание F в (X, Φ).

8

Очевидно, F (Y ∩ F ). С другой стороны, множество F = Y ∩ H, где H замкнуто в (X, Φ). Тогда F H. Поэтому (Y ∩ F ) (Y ∩ H) = F. Следовательно, F = Y ∩ F .

Теорема 8.3 Если семейство B = {Bβ} – база топологического пространства (X, Φ), то семейство B0 = {Y ∩ Bβ} есть база в подпространстве (Y, Ψ).

Упражнения.

1.Пусть A – открытое подмножество топологического пространства X. Доказать, что если U – открыто в подпространстве A X, то U открыто и в X.

2.Пусть H – замкнутое подмножество топологического пространства X. Доказать, что если F замкнуто в подпространстве H X, то F замкнуто и в X.

3.На прямой с интервальной ( естественной ) топологией даны следующие множества:

A = (α, β); B = [x, y); C = [z, t].

Определить вид открытых множеств в подпространствах A, B, C.

9Связность

Определение 9.1 Топологическое пространство (X, Φ) называется несвязным, если существуют два непустые открытые множества U и V, такие, что U ∩ V = и U V = X.

Иначе можно сказать, что X несвязно, если его можно разбить на два непустых открытых множества без общих точек.

Определение 9.2 Топологическое пространство (X, Φ) называется связным, если такого разбиения не существует.

Несвязным пространством является пространство X с дискретной топологией, если оно содержит более одной точки. Взяв за U любое его непустое подмножество, отличное от X, и за V – дополнение этого подмножества, получим разбиение X, удовлетворяющее определению.

Заметим, что если (X, Φ) несвязно, то U и V, о которых идет речь в определении, дополняют друг друга до X. Поэтому справедлива теорема:

Теорема 9.1 Для того, чтобы топологическое пространство (X, Φ) было связным, необходимо и достаточно, чтобы в нем одновременно открытым и замкнутым множеством были лишь само X или пустое множество.

Определение 9.3 Множество H в топологическом пространстве (X, Φ) называется связным, если оно является связным пространством в индуцированной на нем топологии.

Другими словами, множество H в топологическом пространстве (X, Φ) называется связным, если нельзя найти двух открытых в X множеств A и B, таких, что

H (A B), (H ∩ A) ∩ (H ∩ B) = , H ∩ A 6= , H ∩ B 6= .

Теорема 9.2 Пусть A и B – связные подмножества пространства (X, Φ), пересечение которых не пусто. Тогда их объединение также будет связным.

Пусть H = A B. Допустим, что множество H несвязно. Это значит, что существуют такие открытые в X множества U и V, что

9