- •Содержание
- •Введение
- •1 О выполнении типового расчЕта
- •1.1 О рядах
- •2 Числовые ряды
- •2.1 Сумма ряда
- •2.2 Свойства сходящихся рядов
- •2.3 Необходимый признак сходимости ряда
- •2.4 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •2.4.1 Признак сравнения
- •2.4.2 Признак Даламбера
- •2.4.3 Признак Коши
- •2.4.4 Интегральный признак Коши
- •2.5 Знакопеременные ряды
- •3 Функциональные ряды
- •3.1 Равномерная сходимость функционального ряда
- •3.2 Признак Вейерштрасса
- •3.3 Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
- •4 Ряд Тейлора
- •4.1 Приближенное вычисление интегралов с помощью степенных рядов
- •5 Вопросы для самопроверки Числовые ряды
- •Функциональные ряды
- •Список рекомендуемой литературы
- •302030, Г. Орел, ул. Московская, 65.
Н.П. Бородин
В.В. Жернова
Л.В. Шуметова
В.С. Шоркин
РЯДЫ
министерство образования российской федерации
орловский государственный технический университет
Н.П. Бородин, В.В. Жернова, Л.В. Шуметова,
В.С. Шоркин
РЯДЫ
Рекомендовано редакционно-издательским советом ОрелГТУ
в качестве учебно-методического пособия
Орел 2004
УДК 517.52(076)
ББК 22.1613я7
Б83
Рецензенты:
заведующий кафедрой высшей математики ОрелГТУ,
доктор технических наук, профессор
В.А. Гордон,
заведующий кафедрой геометрии и методики преподавания
математики ОГУ, кандидат педагогических наук, профессор
В.В. Ветров
Б83 Бородин Н.П. Ряды: Учебно-методическое пособие / Н.П. Бородин, В.В. Жернова, Л.В. Шуметова, В.С. Шоркин. – Орел: ОрелГТУ, 2004. – 39 с.
В учебно-методическом пособии по выполнению типового расчета «Ряды» даются подробные решения задач с полным анализом. Пособие предназначено студентам технических специальностей. Предлагаемый материал окажет большую помощь студентам в самостоятельном освоении курса высшей математики, особенно при подготовке к практическим занятиям, контрольным работам и при выполнении типовых расчетов.
УДК 517.52(076)
ББК 22.1613я7
© ОрелГТУ, 2004
© Бородин Н.П., Жернова В.В.,
Шуметова Л.В., Шоркин В.С., 2004
Содержание
Введение 4
1 О выполнении типового расчета 5
1.1 О рядах 6
2 Числовые ряды 8
2.1 Сумма ряда 8
2.2 Свойства сходящихся рядов 12
2.3 Необходимый признак сходимости ряда 13
2.4 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными
членами 13
2.4.1 Признак сравнения 13
2.4.2 Признак Даламбера 14
2.4.3 Признак Коши 14
2.4.4 Интегральный признак Коши 15
2.5 Знакопеременные ряды 18
3 Функциональные ряды 21
3.1 Равномерная сходимость функционального ряда 25
3.2 Признак Вейерштрасса 27
3.3 Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 29
4 Ряд Тейлора 34
4.1 Приближенное вычисление интегралов с помощью степенных рядов 36
5 Вопросы для самопроверки 37
Список рекомендуемой литературы 38
Введение
Последние несколько лет работы высшей школы нашей страны отмечены значительным уменьшением объёма часов, отводимых действующими учебными планами на чтение лекций и проведение семинарских и практических занятий. В связи с присоединением нашей страны к Болонскому соглашению указанная выше тенденция будет усиливаться. В этих условиях возникает проблема: как организовать изучение вузовских дисциплин студентами, в частности математики, чтобы знания студентов были не хуже, чем это было в советское время. Одним из путей решения этой проблемы, безусловно, является совершенствование форм самостоятельной работы студентов. Авторы настоящего пособия на основе системы типовых заданий (на основе типовых расчетов) разработали учебно-методический комплекс, который позволяет занять студентов разноуровневой самостоятельной работой, начиная от репродуктивной и кончая продуктивной или даже творческой. У преподавателей, таким образом, появляется возможность пойти на дальнейшее сокращение аудиторных часов, а освободившееся время употребить на повышение своей квалификации, на контроль самостоятельной работы студентов, на проведение для них консультаций.
Пособие написано в полном соответствии с программой по изучению высшей математики в технических вузах. Следует отметить, что решения задач № 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 19, 20 связаны в основном с формированием у студентов знаний 3-го уровня – продуктивного. Остальные, более трудные – это задачи творческого характера (4-й уровень).
Студенту, прежде чем решать задачи типового расчета по задачнику Л.А. Кузнецова, необходимо изучить соответствующий раздел теории, а затем внимательно, с выполнением всех действий на бумаге разобрать решенные задачи нашего пособия. Пособие может быть полезно и для преподавателей, ведущих практические занятия.
1 О выполнении типового расчЕта
При выполнении типового расчета следует пользоваться рекомендуемой литературой (см. с. 38).
Чтобы выполнить теоретические упражнения, мы даем некоторые указания, включающие ссылки на отдельные главы и страницы учебников.
Упражнение 1
Ряды исходятся. Доказать, что ряд сходится, если.
Литература: [1, гл. 4], [2, гл. 9].
упражнение 2
Ряд () сходится. Доказать, что ряд тоже сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.
Литература: [1, гл. 4], [2, гл. 9, с. 366].
Упражнение 3
Ряды исходятся. Доказать, что рядтоже сходится.
Указание. В доказательстве следует применить неравенство .
Литература: [1, гл. 4, с. 418, 423], [2, гл. 9].
упражнение 8
Показать, что функция всюду непрерывна.
Указание. Докажите равномерную сходимость ряда , пользуясь признаком Вейерштрасса, и непрерывность его членов. Если ряд будет сходиться равномерно всюду, то функциябудет всюду непрерывной.
Литература: [5, гл. 12].
Упражнение 9
Доказать, что ряд сходится равномерно в интервале. Можно ли его почленно дифференцировать в этом интервале?
Указание. Проверив, что данный ряд равномерно сходится в интервале, покажите, что рядрасходится всюду.
Литература: [5, гл. 12].