15. Силлогизмы с точки зрения формальной теории.
Силлогизмы, которые мы рассматривали на первой лекции, не имели формального описания и целиком определялись естественным языком. Сейчас мы запишем основные виды силлогизмов формально с указанием их названий в современной логике. Отметим также, что все приведенные в следующей таблице схемы рассуждений являются правильными и их можно использовать для доказательств без дополнительных обоснований.
Схема силлогизма
P Q, P
Q
P Q, QP
P..V .Q, P
Q
P Q, P
Q
P Q,Q R
P R
P Q, R S, P..V .R Q.V .S
P Q, P S, Q.V . SP
P Q, R S, Q..V . SP..V . R
Название |
|
Пример |
|
||
|
Если идет дождь, то |
||||
modus ponens (правило |
на небе |
туча. |
Идет |
||
спуска) |
дождь, следователь на |
||||
|
небе туча. |
|
|||
|
Если |
заболел, |
то |
||
доказательство от |
чихаю. |
|
Не чихаю, |
||
противного |
следовательно |
не |
|||
|
болею. |
|
|
|
|
|
Мальчик или девочка. |
||||
дизъюнктивный силлогизм |
Не |
|
мальчик, |
||
следовательно |
|
||||
|
|
||||
|
девочка. |
|
|
||
|
Если |
заболел, |
то |
||
|
чихнул. Если чихнул, |
||||
гипотетический силлогизм |
то |
|
заразил, |
||
|
следовательно |
если |
|||
|
заболел, то заразил. |
||||
|
Если |
проспал, |
то |
||
простая конструктивная |
опоздал, |
если |
не |
||
доехал, то опоздал. |
|||||
дилемма |
|||||
Если и то и то, то |
|||||
|
|||||
|
опоздал. |
|
|
||
сложная конструктивная |
|
|
|
|
|
дилемма |
|
|
|
|
|
простая деструктивная |
|
|
|
|
|
дилемма |
|
|
|
|
|
сложная деструктивная |
|
|
|
|
|
дилемма |
|
|
|
|
|
16. Формальная теория для исчисления высказываний.
Дадим определение такой теории:
1.Алфавит: Ā={┐, → , ( , ) , A, B…..}
2.Формулы:
•A,B,C - все пропозициональные буквы суть формулы;
•если А и В - формулы, то (ךA), (A→B) - тоже формулы.
3.Схемы аксиом:
B1: (A→ (B→ A)) → (А→В) → (А→С))
B2: (A→ (B → C))
B3: ((┐B → ┐A) → (┐B→A) → B))
4. Правила вывода:
Modus ponens:
R1:
A, A B B
R2: ∏Qp F (p) =F (Q)
5. Подстановка: из формулы F(A), содержащей букву А выводима другая формула F(G), полученная заменой А на G. Другие связки вводятся с помощью определений:
A&B = ┐(A→┐B)
AVB=┐A→B
А≡В=(А→В)&(В→А)
Докажем вывод в предложенной теории формулы A→A
1.Подставляем А вместо С в аксиому B1.
F1: (A→ (B→A)) → ((A→B) → (A→A))
2. Используем правило R1: в качестве первой посылки берем F1, а в качестве второй - аксиому (В1):
F2: (A → B) → (A → A)
3. В формулу F2 вместо В подставляем B → A: F3: (A→ (B→ A)) → (A →A)
4. Используем R1: первая посылка - формула F3, вторая – аксиома (В2). F4: A→A.
Свойства:
1) Все теоремы Исчисления Высказывания являются тавтологиями ׀=F
2)Исчисления Высказывания является полной теорией если в ней можно повторить либо формулу F либо ┐F
3)Исчисления Высказывания непротиворечивая теория если в ней недоказуемая формула F&┐F
17. Метод резолюций в логике высказываний.
Метод резолюций используется для проверки того факта, что F является тавтологией. Метод резолюций позволяет рассмотреть формулу ┐F и доказать, что это противоречие формула.
Описание метода:
Для того, чтобы доказать, что формула F является тавтологией, необходимо рассмотреть формулу ┐F и доказать, что это противоречие формула.
┐F приводится к конъюнктивной нормальной форме, которая представляет собой формулу, записанную в виде конъюнкций элементарных дизъюнкций: ┐F=D1&D2&Dn, таким образом, формируется множество дизъюнкций. Di,j – этого множества, содержащее переменную и еѐ отрицание формируют треть D – РЕЗОЛЬВЕНТА.
Di=Di V Y
Dj=Dj V ┐Y
Di V Dj = Di‘ V Dj‘
Если Di = Y, Dj = ┐Y
Di V Dj =
Неоднократно применяя правило резолюции к множеству дизъюнкций стремятся получить пустую резольвенту, что говорит о противоречии ┐F следовательно о тавтологии F. Если пустую резольвенту получить не удалось, то рассуждение не корректно.
Задача
В исходных формулах избавляемся от всех операций кроме отрицания и дизъюнкций.
(P →Q) = (┐P V Q)
F1: ┐(┐A) V ┐B = A V ┐B
F2: ┐(┐C) V ┐A = C V ┐A
F3: B
G:┐C
Заменяем G на еѐ отрицание. Получаем множество дизъюнкций
{ (A V ┐B) , (C V ┐A) , B, ┐C }
D1 |
D2 D3 D4 |
Образуем резольвенты
D5 = D1 V D2 = A V ┐B V C V ┐A = (┐B V C)
D6 = D4 V D5 = ┐B V C V ┐C = ┐B
D7 = D6 V D3 = ┐B V B =
Задача
В хоккей играют настоящие мужчины, трус не играет в хоккей, я не играю в хоккей, значит я трус.
Х – я играю в хоккей
М - я мужчина
F1: М V ┐X , X→M
F2: M V ┐X
F3: ┐X
G: ┐M
Если взять ┐ => (M), то получим множество дизъюнкций, из которых не возможно получить ни одной резольвенты, значит высказывание некорректно.