Методическое пособие "Колебания.Волны"3803
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ОПТИКА
Методические указания и контрольные задания
для студентов I–II курсов РЭФ, ФЭН, ФТФ дневного отделения
НОВОСИБИРСК
2010
Составитель Э.А. Кошелев, канд. физ.– мат. наук, доцент
Рецензент В.Ф. Ким, канд. физ.-мат. наук, доцент
Работа подготовлена на кафедре прикладной и теоретической физики
© Новосибирский государственный технический университет, 2010
2
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее издание предназначено для подготовки студентов по соответствующим разделам общего курса физики. Самостоятельное решение задач – необходимое и обязательное средство усвоения учебного материала. При оформлении решений индивидуального задания студент должен обосновать применение конкретных физических законов, выполнить соответcтвующие математические преобразования и выкладки, провести вычисления и провести анализ размерностей полученного результата. Доведение решения задачи до численного результата – обязательное условие выполнения индивидуального задания, необходимый элемент инженерной подготовки. Как показывает опыт, очень часто при выполнении уже численных выкладок студенты получают «странные» результаты, поэтому проверка результата на соответствие здравому смыслу – простой и качественный способ. Полезно проводить асимптотическую проверку решения – устремление определенного параметра к нулю или бесконечности для проверки его соответствия результатам, представленным в общем учебном курсе.
При решении задач рекомендуется все исходные величины представить в системе единиц СИ. При необходимости следует иллюстрировать решение соответствующим рисунком. Задачи по уровню сложности соответствуют традиционному общему курсу физики. Для решения задач рекомендуется использовать известные учебные пособия.
3
Основная литература
1.Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Астрель, 2001 (и последующие годы издания).
2.Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. М.: Высш. шк., 2002.
3.Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: Высш. шк.,
2002.
4.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Лаборатория базовых знаний,
2002.
Дополнительная литература
1.Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1976.
2.Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. М.: Наука,
1982.
3.Пейн Г. Физика колебаний и волн. М.: Мир, 1976.
4.Serway R.A. Physics. Thomson Brooks/Cole. 2004.
4
I. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ И ФОРМУЛЫ
Электрическая постоянная |
|
|
8.85 10 12 Ф/м; |
|
1 |
|
9 109 м/Ф |
|||||
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Магнитная постоянная |
0 |
|
4 10 7 Гн/м |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интенсивность звука на пороге слышимости I |
0 |
10 12 |
Вт/м2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость света в вакууме c |
|
3 108 м/с |
|
|
|
|
|
|||||
Механические колебания |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Уравнение свободных гармонических колебаний |
|
|||||||||||
x Acos( 0t |
|
|
0 ) или x Asin( 0t |
|
0 ) , |
|
|
|||||
где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия; |
||||||||||||
A – амплитуда; |
|
2 |
|
|
– |
циклическая частота, 0 |
– начальная |
|||||
0 |
|
|
|
|||||||||
T |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фаза колебаний.
2. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты получаются колебания той же часто-
ты, амплитуда которых А и начальная фаза 0 определяются уравнениями
A |
|
A2 |
A2 |
|
2A A cos( |
1 |
2 |
), |
|||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|||
tg |
|
|
A1 sin |
1 |
A2 sin |
2 |
, |
|
|
||
0 |
|
A1 cos |
|
A2 cos |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
где A1, A2 – амплитуды слагаемых колебаний; 1, 2 – их начальные
фазы.
2. Сила, действующая на тело при свободном гармоническом коле-
бании (квазиупругая сила):
F |
|
kx |
m |
2 x . |
упр |
|
|
|
0 |
3. Циклическая частота |
0 |
и период колебаний Т гармонического |
||
|
|
|
|
|
осциллятора: |
|
|
|
|
|
k |
|
, T 2 |
|
m |
|
. |
0 |
|
|
|||||
m |
|
|
|
k |
|||
|
|
|
|
4. Период колебаний физического маятника:
J
T 2 mgl ,
где J – момент инерции маятника относительно оси колебаний; l – расстояние от оси до его центра масс.
5. Полная энергия гармонического осциллятора:
|
|
|
|
W |
|
m 02 A2 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. При |
наличии |
в колебательной |
системе силы |
сопротивления |
|||||||||
Fсопр |
r |
, где r – |
коэффициент сопротивления, υ – |
скорость тела, |
|||||||||
уравнение смещения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x A e |
t |
cos |
t |
0 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь A |
|
A e t – амплитуда затухающих колебаний; |
|
r |
– коэф- |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
фициент затухания; |
2 |
2 |
|
– циклическая частота затухающих |
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний.
7. Логарифмический декремент затухания:
θ = ln A1 = βТ,
A2
где A1, A2 – амплитуды двух последовательных колебаний.
6
8. Добротность колебательной системы:
QT .
9.Амплитуда вынужденных колебаний, совершаемых под действи-
ем внешней периодической силы F |
F0 cos |
t : |
|||||||
A |
|
|
F0 |
/ m |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
||||
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
10. Резонансная циклическая частота вынужденных колебаний:
рез |
2 |
2 2 . |
0 |
|
11. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе:
Aрез. |
|
F0 |
|
|
F0 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
2m |
2 |
2 2m |
||||||
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Электромагнитные колебания
1. Колебания электрического заряда в последовательном колебательном контуре при отсутствии сопротивления гармонические:
q qm cos( 0t 0 ) или q qm sin( 0t 0 ) ,
где |
|
|
1 |
|
, L – индуктивность, С – сопротивление контура. |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
LC |
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2. При наличии сопротивления R в контуре колебания заряда, напряжения и силы тока в последовательном контуре:
q |
q |
m |
e |
t cos( |
t |
), |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
qm |
e |
t cos( |
t |
), |
||
C |
|
|
|||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
|
q |
|
e |
t cos( |
t |
), |
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
R |
|
|
R2 |
|
где |
|
– коэффициент затухания, |
LC |
|
– циклическая |
2L |
4L2 |
частота затухающих колебаний, ψ – сдвиг фазы колебания силы тока
относительно напряжения |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Логарифмический декремент затухания колебаний в контуре: |
||||||||||||||||||
|
UC |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
ln |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
UC |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4L |
1 |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
R2C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Добротность контура: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q |
|
|
1 |
|
4L |
|
1 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
T |
2 |
|
R2C |
|
|
|
||||||||
5. Если в последовательном колебательном контуре действует ЭДС |
||||||||||||||||||
с переменным напряжением U |
|
Um cos t , то в цепи контура устанав- |
ливаются вынужденные колебания тока той же частоты:
I Im cos( t |
) , |
где φ – сдвиг фазы колебания тока относительно ЭДС.
6. Амплитуда колебания силы тока определяется законом Ома для цепи переменного тока:
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
Um |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
X |
|
X |
|
2 |
|
|
Z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
||
где |
XC |
1 |
|
– |
емкостное сопротивление, X L |
L – индуктивное |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
C |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
сопротивление, |
Z |
|
|
R2 X |
L |
X |
C |
2 – |
комплексное сопротивление |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цепи.
8
7. Сдвиг фазы колебания φ между силой тока и напряжением определяется функциями
|
X |
L |
X |
C |
|
R |
|
tg |
|
|
или cos |
|
. |
||
|
|
R |
|
Z |
8. Резонансная частота колебаний в последовательном контуре:
|
|
|
1 |
|
. |
рез |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
LC |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
9. Мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока:
P |
ImUm |
cos . |
|
2 |
|||
|
|
Волны
1. Уравнение бегущей волны
(r,t) A(r)cos( t kr) ,
где (r,t) – физический параметр, изменяющийся в волне (смещение частиц, давление, плотность и др.), A(r) – амплитуда (при A = const
волна плоская), k |
2 |
– волновое число. |
|
||
|
2.Длина волны λ, ее скорость с и период колебаний в волне связаны соотношением λ = сТ.
3.При интерференции двух когерентных волн амплитуда волны достигает максимального значения при
r2 r1 m (m = 0,1,2,3,…)
и минимального значения при:
r2 r1 (2m 1) |
|
|
|
|
(m = 0,1,2,3 …). |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|||
4. Скорость звуковой волны в тонких стержнях |
||||||
|
|
|
|
|
||
c |
|
E |
, |
|||
|
|
где E – модуль упругости, ρ – плотность материала стержня.
9
5. Скорость звука в газах
c |
|
RT |
|
, |
|
где γ – показатель адиабаты газа, R – газовая постоянная, μ – молярная масса, Т – температура.
6. Амплитуда звукового давления P0 и амплитуда скорости частиц υ в звуковой волне связаны соотношением
P0 c .
7. Интенсивность звука I (энергия, переносимая волной, в единицу времени через единичную площадку)
( |
P )2 |
|
|
I |
|
0 |
. |
|
2 c |
||
|
|
|
8. Уровень интенсивности звука (в децибелах):
L 10lg |
I |
, |
|
||
|
I0 |
где I0 – интенсивность звука на пороге слышимости при частоте
ν= 1 кГц.
9.Амплитуды колебания напряженности электрического поля Em
и напряженности магнитного поля H m в электромагнитной волне связаны соотношением
Em 0 Hm 0 ,
где ε, μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. 10. Скорость электромагнитной волны:
1
c .
0 0
11. Если источник и приемник волн перемещаются относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний ν, ре-
10