Спец_главы_математики

Вариант 14

1.а) x; :x; x _ u ` x ! u; б) x ! u; u ! z ` x ! z;

в) y _ x _ u; :x _ :y _ u; :u _ x ` u _ y; г) ` (x ! y) ! ((y ! u) ! (x ! u)).

2.A = hC; ¢i; B = hN; ¢i:

3.(P (x) _ 8yQ(y)) $ 8y(P (x) _ Q(y)):

4.9x8y(P (x; y) ! (:P (y; x) ! (P (x; x) $ P (y; y)))):

5.:(8x:(8yP (x; y) ^ 9yQ(x; y))) ! 9y8xR(x; y):

6.Á1 = 8x(f(x) = g(f(x)) ^ :P1(x; x)),

Á2 = 9x:(g(x) = g(g(x)) ^ 8x9y(:P1(x; y) ^ P2(x; y)), Á3 = 8x8y((P1(x; y) ! :P1(y; x)) ^ 9zP1(x; z)).

7.f(x; y) = x!; где 0! = 1:

151

Вариант 15

1.а) x; y; y _ u; u _ x _ :z ` u _ z;

б) ` (x ! ((y _ x) ! z)) ! (y ! z); в) x _ y ` (z ^ x) ! (y ^ z);

г) :x; :y ` (x ! z) ! (y ! z).

2.A = hC; ¢i; B = hZ; ¢i:

3.(P (x) ^ 9yQ(y)) $ 9y(P (x) ^ Q(y)):

4.9x8y9z((P (y; z) ! P (x; z)) ! (P (x; x) ! P (y; x))):

5.8x9yP (x; y) ^ 8x(9yQ(x; y) ^ :(9yR(x; y) _ 9yP (x; y))):

6.Á1 = 9x9y8z((P1(x; y) ! :P2(y; z)) ^ (:P2(y; z) ! P1(x; y))), Á2 = 8x9y(P1(x; y) ^ :P2(y; x)),

Á3 = :9x9y(:P1(x; y) ^ P2(x; y)).

7.f(x) = 4x:

152

Вариант 16

1.а) ` x _ (:x ! x); б) x _ :y ` :x ! :y;

в) x ^ y ^ z ` (x _ y) ! (y _ z); г) x ^ :x ` y ! :y.

2.A = hC; ¢i; B = hR; ¢i:

3.(P (x) _ 9yQ(y)) $ 9y(P (x) _ Q(y)):

4.9xP (x; x) ^ (8x8y8z(P (x; x) ^ (P (x; z) ! P (x; y) _ P (y; z))) ! 9y8zP (y; z)):

5.8x8yP (x; y) _ 8x(9yQ(x; y) _ (:9yR(x; y) ^ :9yP (x; y))):

6.Á1 = 9x8y9z8u(P1(x)^((P2(x; y) ! :P3(y; z))_:(P1(z) ! P3(z; u)))), Á2 = 8x(P1(x; y) ! 9y(P2(x; y) ^ :P3(x; y))).

½ 2x; при x > 2 7. f(x) = x; при x · 2:

153

Вариант 17

1.а) :x; :y ` ((y ! x) ! z) _ ((:z ! y) ! x); б) x _ :y _ u; y _ :u; x _ z ` x _ y;

в) x; y; z ` (x ! y) _ (y ! z); г) x _ y ` (x ! z) _ (y ! z).

2.A = hR; ¢i; B = hQ; ¢i:

3.(P (x) ^ 8yQ(y)) $ 8y(P (x) ^ Q(y)):

4.9x9y9z:((x ¢ y) ¢ z = x ¢ (y ¢ z)):

5.:(8x8yP (x; y) ! 8x8yQ(x; y)) ^ 8x8yP (x; y):

6.Á1 = 9x(9yP1(x; y) ^ 8y(P1(x; y) ! :P2(y; x))), Á2 = 8x(9yP1(x; y) ^ 9zP2(x; z)),

Á3 = 8x9y8z9u(P2(x; y) ^ P1(y; z) ^ P2(z; u)).

154

Вариант 18

1.а) x _ y _ z ` (x _ y) ! (y ! z); б) ` (x ^ y) ! (y ! (z ! y));

в) x _ y _ u; :x _ u _ :y; :u _ y ` u ! x; г) y ! x; x ! :z ` y ! (x ! :z).

2.A = hN; ¢i; B = hQ; ¢i:

3.(9xP (x) _ 9xQ(x)) $ 9x(P (x) _ Q(x)):

4.8x:P (x; x)^8x8y(P (x; y) ! :P (y; x))^8x8y9z(P (z; x)^P (z; y)):

5.8x:(8yP (x; y) _ 9yQ(x; y)) _ :8x9yQ(x; y):

6.Á1 = 8x(P1(x) ! :P2(x)),

Á2 = 8x8y(P1(x) ! 9zP3(x; y; z)),

Á3 = 9x8y8z9u((P1(x) _ P2(y)) ^ P3(x; y; z) ^ :P3(x; y; u)).

7.f(x) = 7x:

155

Вариант 19

1.а) (x ^ y) _ z ` (x ^ :z) ! (y _ z); б) ` x ^ (y _ z) ! ((x ^ y) ! (y ^ z));

в) x _ y _ z; :x _ :z; y _ :x ` u _ x _ z; г) (x ! y) ! z ` x ! (y ! z).

2.A = hZ; ¢i; B = hQ; ¢i:

3.(8xP (x) ^ 8xQ(x)) $ 8x(P (x) ^ Q(x)):

4.8xP (x; x; x) ^ 9x9y(:(x = y) ^ P (x; y; x)) ^ :8x8y8zP (x; y; z):

5.:8x(9yP (x; y) ^ 9yQ(x; y)) ^ 8x:9yQ(x; y):

6.Á1 = :8x9y(P1(x; f(x)) ^ (P2(x; y) ! :P1(f(x); y))),

Á2 = 9x8y9z(:(f(x) = f(f(x))) ^ (P1(x; y) ! :P (y; z))),

Á3 = 8x(9yP1(x; y) ! 9z:P2(x; z)).

7.f(x; y) = minfx; yg:

156

Вариант 20

1.а) x; :y; :x _ y ` x ! y;

б) x _ u _ :z; :x _ z; :u _ y ` x ! y; в) ` :(x ^ :x);

г) ((x ! y) ! z) ! x ` y _ x _ z.

2.A = hQ; +i; B = hZ; +i:

3.:9xP (x) $ 8x:P (x):

4.8x8y(x ¢ s(y) = s(x ¢ y)) ^ 9x9y:(x ¢ y = y ¢ x):

5.:((9x8yP (x; y) _ 9x9yQ(x; y)) _ 9x9yR(x; y)):

6.Á1 = 9x8y8z:Á1(x; y; z),

Á2 = 8x8y9z(P2(x) ^ P1(x; y; z) ^ (:P2(y) ! P1(y; x; z))), Á3 = 8x9y8z9u(P1(x; y; z) ^ :P1(x; y; u)).

7.f(x) = 2x + 3:

157

Вариант 21

1.а) x _ z ` :x ! z;

б) y; z; :u ` y _ z _ u;

в) y ^ :x; y ^ x ` y ! (x ! y); г) (x ^ z) _ y ` (x _ y) ^ x.

2.A = hQ; +i; B = hN; +i:

3.:8xP (x) $ 9x:P (x):

4.9x9y:(x = y) ^ 8x8y9z(f1(z) = x ^ f2(z) = y):

5.:((9x8yP (x; y) _ 9x9y(x; y)) _ 9x8yR(x; y):

6.Á1 = 9x8y8z9u(P (x; y) ^ :(f1(x; z) = f2(x; u))), Á2 = 8x8y8z(P (x; y) ! (f1(x; y) = f2(x; z))), Á3 = 8x8y(P (f1(x; y); y) ! :P (f2(x; y); y)).

7.f(x) = 3x + 1:

158

Вариант 22

1.а) y; z _ u; x ` (y ^ z) ! ((u _ y) ^ z); б) y ! x ` (y ^ u) ! (x ^ u);

в) y ! z; z ! :y `; г) z ` (z ! y) ! y.

2.A = hN; ¡i; B = hZ; ¡i:

3.8xP (x) $ :9x:P (x):

4.8x9y9z(R(y; x) ^ R(z; x) ^ :(y = z):

5.8x:(9yP (x; y) _ 8yQ(x; y) _ 9yR(x; y)) ^ :8x8yR(x; y):

6.Á1 = 9x8y9z9u:(P1(x; y) ^ :(P2(x; z; u)),

Á2 = 9x8y8z8u(:P1(y; z) ! (P2(x; y; z) ^ :P2(z; u; x))), Á3 = 8x8y(P1(x; y) ! :P1(y; x)).

7.f(x) = 2x + 4:

159

Вариант 23

1.а) :(y ^ :z) ` :y _ z;

б) x _ y; x _ z; x _ :z _ u ` u _ y; в) ` (y ^ z) ! (y _ z);

г) x ` z ! x.

2.A = hQ; ¡i; B = hN; ¡i:

3.9xP (x) $ :8x:P (x):

4.8x9y9z9u(P (x; y) ^ P (x; z) ^ P (x; u) ^ R(y; z; u)) ^ 8x:R(x; x; x):

5.(9x:8yP (x; y) ^ 9x8yQ(x; y)) ^ 9x8y(P (x; y) ! R(x; y)):

6.Á1 = 8x(P1(x) _ :(P2(x) ^ P3(x))),

Á2 = 9y8x(P4(x; y) ^ (P4(y; x) ! :(P1(x) _ :P2(x)))), Á3 = 8x(P3(x) ! :9yP4(x; y)).

160