Высшая_математика_Том1

т. е. x = 1 — вертикальная асимптота.

Ищем наклонные асимптоты. По формулам (6.4.28) и (6.4.29) имеем

Следовательно, прямая y = x является асимптотой как при x → +∞, так

и x = ± 3. Производная не существует, если x = ±1, но эти точки не могут быть подозрительными на экстремум, так как в этих точках сама функция не определена.

6) Находим вторую производную y′′ = 2x(x2 + 3) . Если x > 1, то y′′ > 0 и

(x2 −1)3

график является выпуклой вниз кривой; а если x (0, 1), то y′′ < 0 и график выпуклый вверх.

251

y

Рис. 6.9 ПРИМЕР 6.4.13. Построить график функции

x3

y = x −1 .

РЕШЕНИЕ. 1) Функция определена на всей числовой прямой, кроме нуля знаменателя x = 1.

2)Функция не является ни четной ни нечетной (область определения несимметрична относительно начала координат).

3)x = 0 y = 0. Точка (0, 0) — единственная точка пересечения с

5) Находим производную y′ = x2 (2x −3) . Имеем две стационарные точки

(x −1)2

x = 0 и x = 3/2. В точке x = 1 производная не существует, но экстремума в этой точке не может быть, так как в ней сама функция не определена.

252

y

6)Находим вторую производ-

x

РЕШЕНИЕ. 1) Функция определена при x > 0.

2)Функция не является ни четной ни нечетной.

3)y = 0, только при x = 1. Точка (1, 0) — единственная точка пересечения

сосями координат. Функция неотрицательна во всей области определения.

4)Найдем предел справа в граничной точке x = 0 области определения

т. е. x = 0 — ось Oy — вертикальная асимптота.

Ищем наклонные асимптоты. По формуле (6.4.28), используя пример

Следовательно, у графика функции есть горизонтальная асимптота y = 0 (ось Ox) при x → +∞.

5) Производная равна y′ = ln x(2 −ln x) . Две стационарные точки ln x = x2

0 = x = 1 и ln x = 2 = x = e2 ≈ 7, 4.

253

2 −6 ln x + 2 ln2 x .

x3

Приравнивая числитель к нулю и решая квадратное (относительно ln x) уравнение, находим точки перегиба графика функции:

y

Если x1 < x < x2 , то вторая производная отрицательна и график функции выпуклая вверх кривая. Для остальных x из области определения график будет выпуклым вниз.

7) На основании этого анализа строим график (рис. 6.11).

x

Рис. 6.11

254

Контрольные работы

Данный раздел предназначен в основном для студентов–заочников. Он содержит задания для выполнения контрольных работ. Однако и студенты дневного отделения могут использовать материалы раздела для подготовки

кэкзамену.

Внумерации задач первая цифра означает номер контрольной работы, вторая — номер задачи, третья номер варианта. Выполнять контрольные задания следует по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шифра студента. При оформлении контрольной работы задачи должны быть расположены в естественном порядке.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ВАРИАНТ № 0

решить систему CX = b с помощью обратной матрицы.

120.Используя теорему Кронекера — Капелли, доказать совместность

130. Даны точки A(2; −1; 0), B(−1; 2; 0) и C(−1; 0; 1). Вычислить: а) скалярное произведение (2AB + AC)(BA −BC);

б) векторное произведение (2AB + AC) ×(BA −BC);

255

в) смешанное произведение AB ·AC ·BC.

140. Даны вершины треугольника A1 (2; −2), A2(−1; 2) и A3 (8; 6). Составить уравнения медианы A1 M и высоты A1 H, проведенные из вершины A1 .

160. Линия на плоскости задана уравнением в полярной системе коор-

25

динат: ρ = 13 −12 cos ϕ .

а) Построить линию по точкам, придавая ϕ значения с шагом 15◦ (вычисления проводить с двумя знаками после запятой);

б) перейти от полярного уравнения к ее декартовому уравнению и построить кривую.

170. Даны комплексные числа z1 = 1 + 5i и z2 = 2 −3i.

а) Вычислить z = z1 ; z2

б) найти модуль и аргумент числа z;

в) записать число z в тригонометрической и показательной формах;

г) используя формулу Муавра, представить в алгебраической форме чис-

256

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ВАРИАНТ № 1

141. Даны вершины треугольника A1 (1; −2), A2(4; 2) и A3 (−5; 6). Составить уравнения медианы A1 M и высоты A1 H, проведенные из вершины A1 .

151. Найти проекцию точки P(5; 2; −1) на плоскость 2x −y + 3z + 23 = 0. 161. Линия на плоскости задана уравнением в полярной системе коор-

1

динат: ρ = 3 −3 cos ϕ .

а) Построить линию по точкам, придавая ϕ значения с шагом 15◦ (вычисления проводить с двумя знаками после запятой);

б) перейти от полярного уравнения к ее декартовому уравнению и по-

в) записать число z в тригонометрической и показательной формах;

257

г) используя формулу Муавра, представить в алгебраической форме чис-

ло z3 ; √

д) найти все значения корня 3 z и построить их на комплексной плоскости;

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ВАРИАНТ № 2

122.Используя теорему Кронекера — Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений 7.Используя теорему Кронекера — Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений

132. Даны точки A(3; 0; −1), B(2; 1; −2) и С(1; 0; −3). Вычислить: а) скалярное произведение (−BA + 2AC)(AB −3BC);

б) векторное произведение (BA + 2AC) ×(AB −3BC); в) смешанное произведение AB ·AC ·BC.

142. Даны вершины треугольника A1 (0; 2), A2 (−3; 6) и A3 (4; −1). Составить уравнения медианы A1 M и высоты A1 H, проведенные из вершины A1 .

152. Найти точку Q, симметричную точке P(1; 3; −4) относительно плоскости 3x + y −2z + 0.

162. Линия на плоскости задана уравнением в полярной системе коор-

9

динат: ρ = 4 −5 cos ϕ .

а) Построить линию по точкам, придавая ϕ значения с шагом 15◦ (вычисления проводить с двумя знаками после запятой);

б) перейти от полярного уравнения к ее декартовому уравнению и построить кривую.

258

в) записать число z в тригонометрической и показательной формах;

г) используя формулу Муавра, представить в алгебраической форме чис-

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ВАРИАНТ № 3

решить систему CX = b с помощью обратной матрицы.

123.Используя теорему Кронекера — Капелли, доказать совместность

Найти общее решение методом Гаусса и какое-либо частное решение.

133. Даны точки A(2; 0; −2), B(−1; 2; −2) и С(1; 1; 1). Вычислить: а) скалярное произведение (AB −3AC)(CA + 2BC);

б) векторное произведение (AB −3AC) ×(CA + BC); в) смешанное произведение AB ·AC ·BC.

143. Даны вершины треугольника A1 (−2; −3), A2(4; 5) и A3 (1; 7). Составить уравнения медианы A1 M и высоты A1 H, проведенные из вершины A1 .

153. Даны вершины треугольника A(4; 1; −2), B(2; 0; 0),C(−2; 3; −5). Составить уравнение его высоты, опущенной из вершины B на противолежащую сторону.

163. Линия на плоскости задана уравнением в полярной системе коор-

6

динат: ρ = 1 −cos ϕ .

259

а) Построить линию по точкам, придавая ϕ значения с шагом 15◦ (вычисления проводить с двумя знаками после запятой);

б) перейти от полярного уравнения к ее декартовому уравнению и построить кривую.

173. Даны комплексные числа z1 = 5 + i и z2 = 3 −2i. а) Вычислить z = z1 ;

z2

б) найти модуль и аргумент числа z;

в) записать число z в тригонометрической и показательной формах;

г) используя формулу Муавра, представить в алгебраической форме чис-

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ВАРИАНТ № 4

124.Используя теорему Кронекера — Капелли, доказать совместность

134. Даны точки A(−4; 1; −1), B(−2; 2; −2) и С(−1; 0; −1). Вычислить: а) скалярное произведение (AB + 2AC)(BA −BC);

б) векторное произведение (AB + 2AC) ×(BA −BC); в) смешанное произведение AB ·AC ·BC.

144. Даны вершины треугольника A1 (3; 1), A2 (−3; −7) и A3 (0; 5). Составить уравнения медианы A1 M и высоты A1 H, проведенные из вершины A1 .

260