Высшая_математика_Том1

Аналогично вычисляется

(ctg x)′ = − 1 . sin2 x

2. (x ln x)′ = x′ ln x + x(ln x)′ = ln x + x = ln x + 1.

4. (ln xα)′ = (α ln x)′ = α(ln x)′ = α , α —const. x

6.2.2. Производная сложной функции

Теорема 6.2.2. (правило дифференцирования сложной функции). Пусть определена сложная функция f ◦ϕ(x) и пусть:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме о необходимом и достаточном условии

Получаем требуемое правило.

211

Следствие 6.2.4. Пусть определена сложная функция, являющаяся ком-

( f ◦ϕ ◦ψ(x))′ = ( f ′ ◦ϕ ◦ψ(x))(ϕ′ ◦ψ(x))ψ′(x).

Применение этого правила требует правильной расстановки композиций в сложной функции.

ПРИМЕР 6.2.2. Найти (tg3 (x))′.

Здесь tg3 (x) есть композиция двух функций y3 и y = tg x. Поэтому

ПРИМЕР 6.2.4. Найти (ln(3 + 2 sin x)′.

Здесь ln(3 + 2 sin x) = w(z(y(x))), где w(z) = ln z, z(y) = 3 + 2y, y(x) = sin x.

Следствие 6.2.5. (инвариантность формы дифференциала). Дифференциал сложной функции w = w(y), где y = y(x) может быть записан в виде dw = w′y dy, где dy = y′x dx. Таким образом формула для дифференциала сложной функции имеет такой же вид, как и в том случае, если бы промежуточный аргумент y являлся бы независимой переменной

Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

6.2.3. Производная обратной функции

Теорема 6.2.3. (о производной обратной функции). Пусть

1)функция y = y(x) в окрестности точки x имеет обратную непрерывную непрерывную функцию x = x(y),

2)существует конечная производная y′(x) 6= 0 в точке x.

212

Тогда обратная функция x(y) имеет производную в точке y = y(x), вычисляемую по правилу

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу непрерывности x(y) условие y → 0 влечет

x

Следовательно существует предел левой части, который по определению равен xy′ (y). Осталось заметить, что в правой части x = x(y). Правило (6.2.3) доказано.

ЗАМЕЧАНИЕ 6.2.1. Обратим внимание на то, что левая и правая часть формулы (6.2.3) зависит того же аргумента, от которого зависит обратная функция.

Применим теорему 6.2.3 к вычислению обратных функций.

1. Рассмотрим y = ax . Эта функция является обратной к функции x = loga y. Так как

2. Рассмотрим функцию y = arcsin x, x (−1, 1) y (−π/2, π/2),

213

4. Вычислим (arctg x)′. Здесь x (−∞, ∞) arctg x = y (−π/2, π/2),

6. Рассмотрим y = xα, где α — любое действительное число (область определения y(x) зависит от α). Представим эту функцию в виде композиции

xα = eα ln x = w(z(y(x))), где w(z) = ez, z(y) = αy, y(x) = ln x. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получаем

(xα)′x = w′zz′yy′x = ezα 1 = αxα−1 . x

6.2.4. Сводка основных правил и формул

Для удобства соберем воедино полученные нами правила дифференцирования и таблицу производных элементарных функций.

Правила дифференцирования

214

6.2.5. Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование показательно-степенной функции y = = f (x)ϕ(x). Эта функция не является элементарной (если обе функции f и ϕ отличны от постоянной), так как не является композицией вида f ◦ϕ(x). Чтобы найти y′(x) выполним операцию логарифмирования равенства y = f ϕ:

ln y(x) = ϕ(x) ln f (x)

215

и продифференцируем обе части, считая ln y(x) сложной функцией по x. Тогда

6.2.6. Дифференцирование произведения

Пусть F (x) = f1 (x) · f2 (x) · ... · fn(x). Применять правило дифференцирования произведения здесь неэффективно если n > 3. Логарифмируя это равенство, получим

ПРИМЕР 6.2.7. y = sin x sin 2x sin 3x. Логарифмируя это равенство, получаем

ln y = ln sin x + ln sin 2x + ln sin 3x.

Дифференцируем обе части и выражаем y′

y′(x) = (sin x sin 2x sin 3x)(ctg x + 2 ctg 2x + 3 ctg 3x).

216

6.2.7. Дифференцирование неявно заданных функций

Пусть функция y(x) задана неявно посредством уравнения F (x, y) = 0. Тогда дифференцируем заданное уравнение F (x, y(x)) = 0, считая y зависящим от x. Из полученного после дифференцирования равенства выражаем y′(x).

Рассмотрим примеры.

Отсюда выражаем y′ = b2 x a2 y

2. ey+x = 2y + x. Дифференцируя, находим ey+x(y′ + 1) = 2y′ + 1. Отсюда выражаем y′

y′ = ex+y −1 .

2 −ex+y

Чтобы найти значение такой производной в точке x = x0 , надо из уравнения F (x, y) = 0 при x = x0 выразить значение y0 и подставить в выражение для y′. Иногда это бывает практически невыполнимо, как в примере 2, где x и y связаны соотношением ey+x = 2y + x, не допускающим разрешение относительно y.

6.2.8. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция y(x) задана параметрически x = x(t), y = y(t), t (t1 , t2 ), (см. п. 0.6.3).

Теорема 6.2.4. Пусть

1)функция x(t) и y(t) имеют в точке t (t1 , t2 ) конечные производные x′(t) и y′(t);

2)xt′(t) 6= 0. Тогда существует производная y′x(x) в точке x = x(t), причем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Следуя теореме о необходимом и достаточном условии дифференцируемости, напишем

x = xt′(t) t + o1 ( t), y = yt′(t) t + o2 ( t),

217

Так как oi/δt → 0 при t → 0, (i = 1, 2), то первое слагаемое имеет предел

В левой части, в силу непрерывности дифференцируемой функции x(t),

Теорема доказана.

ПРИМЕР 6.2.8. Точка движется по окружности по закону x = R cos ωt, y = R sin ωt. Найти y′x.

Из это формулы следует, что в точках пересечения с осью Ox, когда y = 0,