2014_ivleva

x1; : : : ; xl 2 R:

Пример 12. Разложить полином x6 16x3 + 64 над полем действительных и над полем комплексных чисел.

Решение

x6 16x3 + 64 = (x3 8)2 = (x 2)2(x2 + 2x + 4)2 разложение над полем R.

Найдем комплексные корни трехчлена x2 + 2x + 4: x1;2 = 1 p3 {::

В результате получим

x6 16x3 + 64 = (x 2)2(x + 1 p3 {:)2(x + 1 + p3 {:)2

разложение над полем C.

ãäå p[x] è q[x] многочлены с коэффициентами из P. Если при этом выполнено условие deg p[x] < deg q[x], то функция (1.5) называется ïðà-

вильной рациональной дробью. Заметим, что любая рациональная дробь всегда может быть представлена в виде суммы полинома и правильной рациональной дроби (докажите!).

Простейшей дробью над полем P называется функция вида

p[x]q[x] r ;

ãäå p[x] è q[x] многочлены над полем P, причем q[x] неразложим над этим полем и deg p[x] < deg q[x].

Теорема. Любая правильная рациональная дробь над полем P может быть представлена в виде суммы простейших дробей над полем

P.

Пусть (1.5) правильная рациональная дробь и q[x] = (q1[x])r1 (q2[x])r2 (qk[x])rk

полное разложение на множители ее знаменателя над необходимым полем. Тогда в искомое разложение (1.5) в сумму простейших дробей будут входить дроби следующего вида:

22

где коэффициенты многочленов s1[x]; : : : ; sr1 [x]; : : : ; trk [x] определяются

ñпомощью метода неопределенных коэффициентов.

Âнаиболее важном для нас случае поля вещественных чисел с учетом разложения знаменателя, как в (1.4), получаем

Сумму простых дробей в правой части равенства (1.6) приводят к общему знаменателю, после чего находят неопределенные коэффициенты

A1, : : :, Ak1 , : : :, B1, : : :, Bs1 , : : :, C1, : : :, Cs1 , : : :, пользуясь равенством числителей.

Пример 13. Разложить над полем действительных чисел рациональ-

ную дробь

x + 1

x4 2x3 + 2x2 2x + 1

в сумму простейших дробей.

Решение. Разложим знаменатель на неприводимые множители

x4 2x3 + 2x2 2x + 1 = (x4 2x3 + x2) + (x2 2x + 1) =

= (x 1)2x2 + (x 1)2 = (x 1)2(x2 + 1):

Исходя из вида разложения представление данной дроби в виде суммы простейших дробей записываем следующим образом:

причем равенство числителей должно выполняться при любом значе- нии x. Подставим в числители x = 1:

1 + 1 = B(12 + 1); 2 = 2B; B = 1:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

x+1 = (A+C)x3 +(1 A 2C +D)x2 +(A+C 2D)x+(1 A+D); èëè

23

>

>

:

т. е. искомое разложение имеет вид

Схема Горнера

Для деления с остатком многочлена P [x] на двучлен x x0 очень удобна так называемая схема Горнера. Пусть

P [x] = anxn + +a1x+a0 = (bn 1xn 1 + +b1x+b0)(x x0)+r: (1.8)

Таким образом, вычисление идет рекуррентно, начиная от старших коэффициентов частного к младшим и остатку.

Пример 14. Используя схему Горнера, разделить с остатком много- член f[x] = 2x5 + 3x4 x2 + x 5 на двучлен (x 2).

Ответ: f[x] = (x 2) (2x4 + 7x3 + 14x2 + 27x + 55) + 105:

Схему Горнера удобно использовать для решения задач поиска корней многочлена и полного разложения многочлена. Поскольку остаток от де-

ления многочлена P [x] на двучлен (x c) по теореме Безу в точности равен значению P [c], проведя это деление, мы сможем определить, является ли c корнем многочлена. Конечно, эту проверку можно провести и

24

с помощью простой подстановки c â P [x], но такая подстановка требует более сложных вычислений и, кроме того, если c окажется корнем P [x],

нам все равно потребуется провести деление. Таким образом, применение схемы Горнера представляется более эффективным подходом.

Перед нами встает вопрос, какие же значения могут или не могут являться корнями данного многочлена. Полностью ответ на этот вопрос удается сформулировать лишь для многочленов с рациональными коэффициентами. Заметим, что, домножив такой многочлен на наименьший общий знаменатель его коэффициентов, мы получим многочлен с целыми коэффициентами, имеющий ровно то же самое множество корней. Следующее утверждение поможет нам искать целые корни многочленов с целочисленными коэффициентами.

Утверждение. Пусть многочлен P [x] = anxn + + a1x + a0 имеет целые коэффициенты. Тогда целое число c может быть корнем P [x] только лишь в случае, когда свободный коэффициент a0 делится на c

нацело.

Это утверждение поможет нам в поиске целых корней многочлена с целыми коэффициентами, если они есть.

Пример 15. Найти полное разложение многочлена f[x] = x5 + x48x3 6x2 + 8x + 24 над полем вещественных чисел.

Решение

Целые корни многочлена f[x] следует искать среди элементов множества f1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24g. Подставляя 1, легко убеждаемся, что эти значения не являются корнями f[x]. Попробуем значение c = 2:

Получили нулевой остаток, следовательно, мы нашли первый корень многочлена. Обозначим его через x1 = 2. При делении f[x] íà (x x1)

получили многочлен четвертой степени, коэффициенты которого выписаны в нижней строке таблицы. Воспользуемся этой строкой, чтобы еще

раз поделить многочлен на (x x1) и проверить таким образом, не яв- ляется ли x1 кратным корнем:

Получили x2 = x1 = 2. Проверим еще раз значение c = 2:

25

Остаток получился ненулевой, следовательно, нужно пробовать другие корни. Можно также заметить, что коэффициенты многочлена-частного все положительные, а это значит, что положительных корней у него быть

не может. Проверим отрицательный корень c = 2: 1 5 8 6

+2 6 4

2 1 3 2 2

Число 2 не является корнем, пробуем c = 3:

1 5 8 6 + 3 6 6

3 1 2 2 0

Получили x3 = 3 и имеем частичное разложение f[x] = (x 2)2(x+ +3)(x2 +2x+2). Последний множитель имеет отрицательный дискрими-

нант и потому не имеет вещественных корней, следовательно, полученное разложение является полным разложением над полем вещественных чисел.

Ответ: f[x] = (x 2)2(x + 3)(x2 + 2x + 2):

Также схема Горнера может быть полезной для разложения на простейшие рациональной дроби, знаменатель которой имеет вид (x c)r.

Действительно, пусть deg f[x] < r è

Тогда f(x) = A1(x c)r 1+A2(x c)r 2+ +Ar 1(x c)+Ar. Полученное

разложение называется разложением многочлена f[x] по степеням (x

c). Заметим, что Ar есть не что иное, как остаток от деления f[x] íà

(x c), Ar 1 остаток от деления частного на (x c) и так далее. Пример 16. Разложить на простейшие дроби

2x5 3x4 + x3 + 5x2 7x + 12: (x 3)6

Решение. Разложим числитель по степеням (x 3). Для этого применим схему Горнера несколько раз. В сокращенной записи получим

26

Получаем f[x] = 2(x 3)5 + 27(x 3)4 + 145(x 3)3 + 392(x 3)2+ +536(x 3)+306. Следовательно, разложение на простейшие дроби будет иметь следующий вид:

â) (x + 1)4 16 = 0; ã) (x + 1)4 + 16 = 0; ä) x4 + 9x2 + 20 = 0.

2. Разложите многочлены над полями действительных и комплексных

ä) x4 + 2x2 + 4; å) x4 3x2 + 9;

æ) x4 2x3 + 2x2 + 38x 39;

ç) x5 + 2x4 20x3 68x2 41x + 30;

è) 2x6 14x5 x4 + 45x3 + 153x2 + 729x 2754.

3. Постройте многочлен наименьшей степени с комплексными коэф-

фициентами, имеющий:

а) простые корни 1; 2; 1; {:; б) простые корни 1 + {:; 1, двукратный корень 2 {:.

27

Глава 2

Матрицы и определители

2.1.Определители: свойства, вычисление

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами. Обозначение:

здесь m число строк матрицы, n число столбцов, m n

ность матрицы, aij элемент матрицы A, стоящий в i-й строке и j-м столбце. Элемент a11 читается a îäèí îäèí , à íå a одиннадцать .

Матрица называется квадратной, åñëè

01

Число строк (столбцов) n квадратной матрицы называется также ее

порядком. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое определителем1 матрицы. Обозначение:

Вычисление определителей малых порядков

1)Определитель матрицы первого порядка jAj = ja11j = a11.

2)Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле

1Мы не даем точного определения определителя. Вам необходимо только знать, что определитель это число, соответствующее квадратной матрице, и научиться его находить.

29

3) Определитель матрицы третьего порядка

c11 c12 c13

Для запоминания этой формулы существует мнемоническое правило

1 2 3

Пример 2. 4 5 6 = 1 5 9+2 6 7+3 4 8 3 5 7 2 4 9 1 6 8 = 0:

7 8 9

Заметим, что это правило применимо только к определителям третьего порядка; для определителей высших порядков подобного правила не существует2 .

Вычисление определителей старших порядков

Минором элемента aij матрицы A называется определитель матрицы, получаемый из A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Обозначается такой минор через

Алгебраическим дополнением элемента aij называется выражение Aij = ( 1)i+jMij. Таким образом, алгебраическое дополнение по модулю совпадает с соответствующим минором, и если при этом сумма индексов i + j нечетная, то знак алгебраического дополнения противоположен знаку соответствующего минîðà.

2На самом деле можно изобрести нечто подобное (хотя и не такое красивое) для определителей старших порядков, но это вряд ли имеет смысл. Обратите внимание, что мнемоническое правило облегчает только запоминание формулы, но никак не ее использование. А аналогичная формула уже для четвертого порядка будет состоять из 24 слагаемых, каждое из которых состоит из 4 множителей. Может, и найдутся герои, способные такую формулу применять, но мы предлагаем более простой метод.

30