Лекция 04 Ряды
.doc
Лекция № 4
Ряд Тейлора, Маклорена. Основные разложения.
Вычисление пределов с использованием рядов
Рассмотрим степенной ряд (2) и пусть в интервале сходимости ряда сумма его равна некоторой функции т.е. :
(1)
Так как степенной ряд можно почленно дифференцировать во всём интервале сходимости (причём он также будет сходящимся в этом же интервале сходимости и сумма его равна производной от суммы исходного ряда), то продифференцируем его:
, где – есть сумма ряда.
Дифференцируем исходный ряд “” раз (причём на каждом этапе вновь будем иметь степенной ряд), в результате получим:
............................................................................................................
Если будем вычислять значения полученных рядов в , получим:
, , , и т. д.
и т.д.
Итак, зная, что бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда (2), то коэффициенты этого ряда можно определить с помощью следующих формул Маклорена:
, , , , и т.д.
, ... и т.д.
И в результате получим ряд Маклорена:
Аналогично получаются формулы Тейлора:
, , , , ..., , ...
При этом ряд будет иметь следующий вид:
Замечание: Не всякая функция может быть представлена в виде суммы некоторого степенного ряда. Может оказаться:
-
либо сумма полученного ряда не совпадает с исходной функцией;
-
либо полученный ряд не имеет конечной суммы.
Определим условия разложимости функции в ряд Тейлора (Маклорена).
Рассмотрим ряд:
(1)
Обозначим через – “”–ную частичную сумму данного ряда (1), тогда можно записать: , где – есть “” – ный остаток ряда.
Сходимость ряда (1) к функции в означает, что:
или .
Теорема 1: Если функция имеет на интервале производную любого порядка, ограниченную одним и тем же числом , т.е. :
, то остаток ряда Тейлора стремится к нулю при , т.е. .
Доказательство:
Теорема о представлении функции в виде формулы Тейлора (см. предыдущий семестр) гласит: если функция раз дифференцируема в некоторой окрестности , тогда такая что:
где – остаточный член в форме Лагранжа.
Итак, рассматривая остаток ряда Тейлора в виде остаточного члена в форме Лагранжа будем иметь:
, но при правая часть последнего неравенства при любых конечных значениях .
Покажем справедливость последнего утверждения. Для чего рассмотрим следующий ряд: . Рассмотрим ,
т.е. данный ряд сходится для любых вещественных значениях . Но тогда по необходимому признаку сходимости ряда будем иметь:
для любого фиксированного значения . В нашем случае в качестве значения берётся значение .
Таким образом имеем, что при .
Итак, представление заданной функции в виде ряда Тейлора в окрестности состоит из двух этапов:
-
Вычисление значений функции и её производных в и составление ряда Тейлора для функции . При этом полагается, что – бесконечное число раз дифференцируема.
-
Определение интервала, в котором составленный ряд Тейлора сходится к заданной функции , т.е. устанавливается, для каких значений остаток ряда .
Основные разложения в ряд Маклорена
некоторых элементарных функций
-
Разложение показательной функции .
Для разложения функции в ряд Маклорена находим последовательно производные и вычисляем значение функции и её производных в точке .
, , , .... , , ,...
, , , ... , , , ...
По формуле Маклорена имеем:
, где , .
Кроме того, составим ряд Маклорена для функции :
.
Как нетрудно установить, полученный степенной ряд сходится на всей числовой оси:
, если – любое фиксированное число.
А тогда, по необходимому признаку сходимости ряда общий член ряда стремится к нулю при , т.е. , а тогда и , так как для всех фиксированных значений величина – есть величина конечная.
Итак, сумма такого ряда Маклорена есть сама функция, для которой этот ряд построен, т.е.
,
Если положить , то получим: .
-
Разложение синуса и косинуса.
Пусть . Тогда имеем:
, , , , , ....
, , , , , ... и т.д.
Поэтому ряд Маклорена для функции имеет вид:
.
Этот ряд действительно имеет своей суммой функцию при любом значении , так как остаточный член формулы Маклорена стремится к нулю при . В самом деле: , где – есть функция либо со знаком “+” или “–”, следовательно , но правая часть данного неравенства является общим членом сходящегося при любых значениях ряда Маклорена для функции , поэтому она (правая часть) стремится к нулю при для любых фиксированных . Т.е. . И тогда сумма полученного ряда равна самой функции: , .
Аналогично получаем:
, .
Из представления функций в виде рядов Маклорена видны характерные степени “” для чётной функции – чётные степени, для нечётной функции – нечётные степени.
Замечание. Последнее представление функции можно было бы получить из представления в виде ряда Маклорена для путём почленного дифференцирования.
Полученные разложения и удобны для вычисления приближённых значений и . Причём для малых значений достаточно взять немного членов разложения, чтобы достичь требуемую точность вычисления.
-
Биноминальный ряд.
Разложим в ряд Маклорена функцию: , где – любое действительное число. Получим значение функции и её производных:
, .
, .
, .
, .
............................................................................................
, .
...........................................................................................
Поэтому ряд Маклорена функции имеет вид:
Установим область сходимости данного ряда:
Если , то данный ряд будет сходящимся, т. е. Интервал сходимости данного ряда есть . Доказательство того факта, что остаточный член формулы Маклорена стремится к нулю здесь приводить не будем. Итак, имеем, что при верно равенство:
Если – целое положительное число, то ряд содержит всего слагаемых и превращается в формулу бинома Ньютона.
Рассмотрим ряд:
, т.к. это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия при , со знаменателем .
С другой стороны: – это биноминальный ряд и он сходится к самой функции при .
При биноминальный ряд расходится.
Аналогично можно получить разложение функции в биноминальный ряд: ,
который имеет место при .
-
Логарифмическая функция .
Разложение данной функции в виде ряда Маклорена можно получить обычным способом, но намного эффективнее это выполнить основываясь на свойствах степенных рядов. А именно, зная, что степенной ряд можно интегрировать на любом отрезке из интервала сходимости ряда, можно получить:
, .
Область сходимости данного ряда , так как в точке получаем ряд Лейбница, который сходится. В левой же границе получаем гармонический ряд.
Аналогично получается разложение функции . Рассмотрим ряд:
при и .
Тогда:
Вычисление пределов с помощью рядов
Рассмотрим разложение функции в ряд Маклорена в окрестности точки :
. Данное представление можно рассматривать при малых значениях и следующим образом: и т.д., где обозначено, например, –функция, более высокого порядка малости, чем при . В действительности, отношение остатка ряда к будет стремиться к :
.
Этот факт будем использовать при представлении функции частью ряда, содержащего необходимое число слагаемых. Число удерживаемых слагаемых в ряде определяется величиной малости выражения, стоящего в знаменателе. Рассмотрим на примерах:
Пример 1. Вычислить значение предела:
. Здесь принято, что .
Пример 2. Вычислить значение предела:
.
Здесь и в дальнейшем используем следующий факт: .
Пример 3. Вычислить значение предела: