- •Оглавление.
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Вопрос.
- •Глава I Математический формализм
- •О понятии действительных чисел
- •Формализм натуральных чисел.
- •Операции, определяющие формирование множества рациональных чисел.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Аксиома связи сложения и умножения.
- •Задача 2.
- •Вывод 3.
- •Аксиоматизация множества действительных чисел.
- •Аксиома непрерывности Кантора.
- •Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.
- •О“Началах” Евклида.
- •Аксиоматика д. Гильберта(1862-1943)
- •Группа 1. Аксиомы соединения.
- •Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •Теорема 3.
- •Группа 2. Аксиомы порядка.
- •Определение.
- •Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.
- •Теорема (о внешнем угле треугольника).
- •Определение движения.
- •Замечание 1.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Группа 4. Аксиомы непрерывности.
- •Замечание 2.
- •Замечание 3.
- •Вывод 3.
- •Группа 5. Аксиома параллельности.
- •Замечание 4.
- •Два недостатка аксиоматики д. Гильберта.
- •Структура векторного пространства.
- •Модель направленных отрезков.
- •Сложение обладает свойствами:
- •Свойства операции умножения:
- •Определение.
- •Арифметическая модель векторного пространства.
- •Теорема размерности.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Вывод 3.
- •Аксиомы скалярного произведения векторов.
- •Следствие.
- •Следствие.
- •Вывод 4.
- •Определение.
- •Модель Вейля евклидовой геометрии.
- •Арифметизация трехмерного евклидова пространства.
- •Свойства операции откладывания вектора.
- •Определение.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Многомерное арифметическое евклидово пространство.
- •Вывод 3.
- •Замечание.
- •Следствие 1.
- •Основные факты в планиметрии Лобачевского.
- •1. Сумма углов многоугольника в плоскости l2.
- •Следствие 2.
- •Вывод 3.
- •Главаii Свойства аксиоматических систем.
- •Математические структуры и аксиоматические теории.
- •Понятие отношений между объектами.
- •Следствие 1.
- •Пример 1.
- •Определение.
- •Следствие 2.
- •Понятие математической структуры.
- •Определение.
- •Замечание 1.
- •Формальная и содержательная аксиоматики. Теории и структуры.
- •Рассмотрим пример.
- •Вывод 1.
- •Вывод 2.
- •Определение.
- •Изоморфизм.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Определение изоморфизма.
- •Вывод 3.
- •Вывод 1.
- •Независимость аксиоматической системы.
- •Независимость аксиомы параллельности.
- •Замечание 1.
- •Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом.
- •Определение (дедуктивной полноты).
- •Определение (категоричности).
- •Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики.
- •Анализ текстовых парадоксов.
- •Языковые свойства имен объектов.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Пример 3.
- •Проблема выразимости.
- •Понятие искусственного языка.
- •Понятие парадокса.
- •“Ахиллес и черепаха”.
- •Парадокс пустого множества.
- •Парадокс достижимости в натуральном ряде.
- •“Одно и то же, но по-разному”
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •Заключение.
- •Обозначения.
- •Литература
Вывод 1.
Если в пространстве задан базис {1,2,3}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
↔(x,y,z), (1)
определяемое разложением вектора в заданном базисе:.
Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел арифметической или координатной моделью трехмерного векторного пространства, покажем, что операции сложения векторов и умножения на число определена в координатной форме и, что координаты вектора определяют его длину и направление.
Для удобства будем считать, что ,,– известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно-перпендикулярных векторов. Для простоты, также, ограничимся случаем плоскости.
Пусть ,. Тогдаиэлементы геометрической модели и для них определена сумма
.
Учитываем, что ,,итакже элементы геометрической модели и, используя свойства 1-4 сложения и свойства 1-4 умножения, получаем:
Согласно соответствию (1), установленному выше, заключаем, что – координаты вектора. Аналогично показывается, что векторимеет координаты.
Используя теорему Пифагора, находим длину вектора на плоскости
и в пространстве
.
Наконец, для противоположного вектора находим координаты:.
Вывод 2.
Координаты вектораопределяют его длину и направление. В координатной форме определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов требует в точности 8 свойств сложения и умножения, доказанных в геометрической модели. Поэтому эти 8 свойств называют аксиомами модели векторного пространства.
Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение:
На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число определяет арифметическую модель векторного пространства.
Попутно мы устанавливаем следующее свойство.
Вывод 3.
Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимнооднозначное соответствие (1), обозначим его
, . (2)
Это соответствие сохраняет результат линейных операций сложения векторов и умножения на число:
(3)
и называется изоморфизмом арифметической и геометрической моделей векторного пространства.
Абстрактное векторное пространство.
Восемь свойств сложения и умножения, установленных в геометрической модели, позволяют построить арифметическую модель и называются аксиомами векторного пространства.
Рассмотрим примеры моделей, удовлетворяющих этим аксиомам.
Пример 1.
Множество многочленов степени не выше
образует векторное пространство, в котором мономы – базисные элементы, а коэффициенты многочлена– координаты векторав этом базисе.
Пример 2.
Пусть ,,…,- «-местные наборы»,имеет 1 на-м месте и нули на остальных местах,. Тогда объекты
образуют векторное пространство с базисными элементами . Обозначим это пространство.
Векторное пространство , позволяет определить размерность всякого векторного пространствапри помощи следующей аксиомы.
9. Аксиома размерности. Существует изоморфизм .
Определение абстрактного векторного пространства.
Пусть для элементов множествавыполняется 8 аксиом векторного пространства и аксиома размерности. Тогдаесть-мерное абстрактное векторное пространство, аявляется его арифметической моделью.
Элементы множества могут быть произвольной природы. Например:
выборки измерений;
цены наименований;
наборы продуктов, расстояния между заводом изготовителем и сырьевыми складами и т.д.
Следствие.
Все -мерные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны.
Множество многочленов степени не выше в примере 1 образуют-мерное пространство. Изоморфизм, устанавливающий размерность, задается в этом случае так
, .
Здесь – мономы, а– базисные орты в.
Если векторное пространство содержит для всякогоподмножество,, которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным, тоназовем бесконечным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не вышеобразуют-мерные подпространства в этом пространстве.