Собственные функции операторА и собственные значения

Собственная функция оператораопределяется уравнением

, (2.8)

где –собственное значение оператора. Под действием оператора его собственная функция восстанавливается с точностью до постоянного множителя, который называется собственным значением.

Физический смысл собственного значения – если система находится в состоянии , то измерение величиныA, описываемой оператором , дает однозначный результат. Собственные функции с разными собственными значениями взаимно ортогональны. Это исключает возможность получить при измерении неоднозначный результат.

Спектр оператора – это множество его собственных значений .

Если счетное, тоспектр дискретный.

Если образует непрерывный набор, тоспектр непрерывный.

Если k разных собственных функций имеют одинаковые собственные значения, то спектр k-кратно вырожден.

Коммутирующие операторы имеют одинаковый набор собственных функций, соответствующие физические величины одновременно имеют определенные значения.

Доказательство:

Пусть – собственная функция, тогда

.

Действуем оператором на обе стороны равенства

.

Учитываем коммутативность операторов

,

получаем

.

Следовательно, – собственная функция, пропорциональная:

.

Полученное равенство означает, что – собственная функцияс собственным значением.

Оператор координаты . Пусть– собственная функция с собственным значением, тогда

Верхнее равенство является определением оператора координаты, нижнее – определением собственной функции и собственного значения. В результате

Сравниваем с фильтрующим свойством дельта-функции

,

находим

.

Функция равна нулю во всех точках, кроме , гдеx₀ – любое вещественное число, поэтому спектр x₀ непрерывный. Вид функции согласуется с физическим смыслом состояния – частица обнаруживается в точке x₀. В результате обоснована форма оператора координаты.

Как показано далее условие ортонормированности для непрерывного спектра имеет вид

.

Подстановка дает

.

Откуда , тогдасобственная функция оператора координаты, или волновая функция частицы, находящейся в точке x₀, есть

. (2.9)

Оператор проекции импульса . Уравнение на собственную функцию дает

Получили дифференциальное уравнение первого порядка

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

,

находим

.

Результат совпадает с координатной зависимостью плоской волны де Бройля

, (1.11)

описывающей движение частицы с постоянным импульсом. В результате обоснована форма оператора импульса. Поскольку p – любое вещественное число, то спектр непрерывный. Условие ортонормированности для непрерывного спектра

дает

.

Используя

,

находим . В результатесобственная функция оператора импульса, или волновая функция частицы, движущейся с импульсом p, равна

. (2.10)

ЭрмитовыЙ оператор

Для обеспечения вещественности и однозначности результатов измерения физической величины ее оператор должен быть эрмитовым. Операция эрмитового сопряжения определяется через интегральную квадратичную форму. Такая форма описывает, в частности, среднее значение измеряемой величины.

Эрмитово сопряженный оператор обозначается значком «+» и определяется в виде

. (2.11)

Интегрирование проводится по всему объему пространства, занятого частицей.

Свойства эрмитового сопряжения

,

,

,

, . (2.12)

Действительно,

,

,

где выполнено эрмитовое сопряжение первого оператора, а затем второго оператора.

Эрмитовый оператор не изменяется при эрмитовом сопряжении

. (2.13)

Из (2.11) получаем

. (2.14)

Свойства эрмитова оператора:

1) Собственные значения вещественные.

Доказательство:

В (2.14) полагаем , где– собственная функция оператора, учитываем

, ,

получаем

.

Следовательно,

(2.15)

– измеряемая величина вещественна.

2) Собственные функции, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство:

Пусть

, ,,.

Из (2.14) при ,получаем

.

Учитывая (2.15), находим

.

При выполняетсяусловие ортогональности

. (2.16)

– состояния ипри измерении не совместимы.