Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

tfkp-operations

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

452.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

				ì	1 - t	,	0 £ t £1
Ответ: f (t) =				ï		,	1£ t < 3
				í- t2 + 4t - 3
				ï	t - 3	,	t > 3
				î
F( p) =	1	-	1		(1 - 3e- p - 3e-3p ) -			2	(e- p - e-3p )
	p		p2					p3

12. Интегрирование дифференциальных уравнений, содержащих в правой части функцию

Хевисайда

Имеется широкий диапазон проблем, описываемых дифференциальными уравнениями, в

правой части которых присутствует функция Хевисайда, например, уравнения динамики систем, которые подвержены воздействию сил не непрерывно, а только в некоторые моменты времени.

Применяя объяснения предыдущего пункта, можно эти дифференциальные уравнения записать в изображениях.

Пример 132. Решить дифференциальные уравнения x" (t) + 3x' (t) = 4h(t) - (t + 2)h(t - 3) , удовлетворяющее условиям x(0) = x' (0) = 0.

Решение. Перейдем к уравнению в изображениях.

p2 X + 3pX =

- ç

÷e-3 p

Найдем X (p)=

e-3 p -

e-3 p

p2 ( p + 3)

p3 ( p + 3)

Имеем

− 1

→ t − 1 + 1 e−3t ,

p2 (p + 3)

3p2

9 p

9(p + 3)

. 3 9 9

t 2

−

→

−

e−3t ,

p3 ( p + 3)

3p3

9 p2

27 p

27( p + 3)

X ( p) ® 4 t - 4 e−3t - 5ét - 3 - 1 + 1 e

−3(t−3) ùη(t - 3) - é(t - 3)

- t - 3

+ 1 - 1 e−3(t −3) ùη(t - 3) -

é(t - 3)

- t - 3

+ 1 - 1 e

. 3

9 9

27 9

27 27

ë 3

ë 6

é(t - 3)2

t - 3

e−(t−3)

η(t

- 3)

−(t−3) ùη(t - 3)

Окончательно

x(t) = 4 t - 4 + 4 e−3t -	ét 2	+	5	- 54 + 14 e−3(t−3)	ùη(t - 3).
	ê
3 9 9			9t 27 27		ú
	ë 6				û

Замечание. Правая часть исходного дифференциального уравнения является разрывной функцией, которую в обычном классическом анализе записывают в виде нескольких аналитических выражений. Операционный метод решения таких уравнений позволяет записать правую часть в виде одного выражения.

Решить дифференциальные уравнения

133. x′′− 2 x′+ 2 x = 1+ η(t − 1) , x(0) = x′(0) = 0

ответ: x = 21 (1- et (cost - sint))η(t) + 21 (1- et −1 (cos(t - 1) - sin(t - 1)))η(t -1) 134. x¢¢+ ω 2 x = a(η(t) - η(t - τ )) , x(0) = x′(0) = 0

ответ: x = ω2a2 sin2 ω2t (η(t) - η(t - τ ))

13. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Существуют несколько типов дифференциальных уравнений, когда аргументы функций являются как просто t, так и более сложные выражения.

x′(t) = ϕ(t, x(t),x(t − τ (t))) —это дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.

Если τ = const , то имеем дифференциально–разностные уравнения. Наконец, имеется дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (описывающее процессы с последствием), когда аргумент старшей производной t, а других функций – (t − τ ) .

n−1
x(n) (t) = åak x(k ) (t - τ k ) + f (t) ,			(41)
k =0
где ak = const , τk = const , 0 ≤ t ≤ +∞ .
Ради простоты начальные условия выберем нулевые:
x(0) = x′(0) = L= x(n−1) (0) = 0			(42)
		∙	∙
Считаем, что все функции являются оригиналами и X(p) → x(t) , F( p) ® f (t) . Тогда
n−1		∙	∙

pn X ( p) = åak pk X ( p)e− pτ k + F( p)			(43)
k =0	F( p)
X ( p) =			(44)
	n−1
	pn - åak pk e− pτ k
	k =0

Пример 135. Решить дифференциальное уравнение x′(t) = x(t − 1) + 1, x(0) = 0 . Решение. Перейдем к изображениям

pX ( p) = X ( p) e− p +

− p

−2 p

−np

X ( p) =

ç1

+K+

+K÷

p - e− p

e− p

p è

(t -1)

(t - n)

n+1

∞

- k)

k +1

x(t) = tη(t) +

η(t -1)+K+

η(t - n)+K=

η(t - k) .

(n +1)!

(k + 1)!

k =0

Решить следующие уравнения.

136. x′′(t) − x(t − 1) = t , x(0) = x′(0) = 0

∞

- k)

2k +3

ответ: x(t) = å

η(t - k)

(2k + 3)!

k =0

137. x′′(t) − 2 x′(t − 1) = t , x(0) = x′(0) = 0

∞

(t - k)

k +3

ответ: x(t) = å

η(t - k)

(k + 3)!

k =0

138. x′′(t) = 2 x′(t − 1) − x(t − 2) + 1, x(0) = x′(0) = 0

∞					k +2
ответ: x(t) = å	(k +1)(t - k)					η(t - k)
			(k + 2)!
k =0
139. x′′(t) + 2 x′(t − 2) + x(t − 4) = t , x(0) = x′(0) = 0
∞		k (t − 2k)k+3
ответ: x(t) = å(−1)				η(t − 2k)
			(k + 3)!
k=0
14. Решение интегральных уравнений
						t

Пример 140. Решить интегральное уравнение: y = ò yd t +1.

Решение. Переходим к изображениям, используя формулу интегрирования оригинала (24) пункта 5.1

				t	F( p)
				ò f(θ)dθ ¬	F( p)
				ò f(θ)dθ ¬	p
			0		p
Имеем: Y( p) = Y( p) + 1 , Y( p) =			0
Имеем: Y( p) = Y( p) + 1 , Y( p) =			1 ®y(t) = et .
				∙
	p	p	p -1	∙

Далее будем рассматривать интегральные уравнения Вольтерра с ядрами специального вида:

y(x) = f(x) + ò K(x - t) y(t)d t

(45)

K(x - t) – ядро интегрального уравнения.

∙

Применим

обеим

частям (45) MV

Пусть F( p) ®f(x) ,

L( p) ®K(x) ,

Y( p) ®y(x) .

∙

преобразование Лапласа и пользуясь формулой свертки (17) пункта 5.6, получим

Y( p) = F( p) + L( p) ×Y( p) , Y( p) = F( p) ®y(x) .

∙

1- L( p)

∙

Пример 141. Решить интегральное уравнение: ò y(θ) et −θ dθ = y(t) - et .

Решение.

Левая

часть является сверткой функций

y(t)

et .

Переходя

изображениям,

∙

2t .

получим:

Y( p) ×

= Y( p) -

, Y( p) =

®y(t) = e

p - 1

-1

∙

Пример 142. Решить интегральное уравнение: y(x) = cos x + ò(x - t) y(t)d t .

Решение. Получим уравнение в изображениях Y( p) =

Y( p) ,

Y( p) =

( p2 +1)( p2 -1)

2 p2

p2 -

è p2

- 1ø

2 è p2 +

1ø

1 æ

p +

+ 1

p -

p + 1

2 è p2 + 1

è p -1

1ø

y(x) =

cos x +

(ex + e− x ) =

cos x +

ch x .

Решить следующие интегральные уравнения:

143. ò y(t)(x - t)2 d t =

x3 .

ответ:	y(x) = 1.
x
144. ò y(t)cos(x - t)d t = 1- cos x .
0	y(x) = x .
ответ:	y(x) = x .
		x	2			x
145. y(x) =		x		+		ò(x - t)e-(t -x) y(t)d t .
145. y(x) =				+		ò(x - t)e-(t -x) y(t)d t .
	2					0
						0
ответ:	y(x) = -					1	-	1	x +	3	x2 +	1	e2x -		1	x3 .
ответ:	y(x) = -				16		-		x +	8	x2 +	16	e2x -	12		x3 .
					16		8			8		16		12

Аналогично, но несколько проще, решаются интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода.

ò K(x

- t) y(t)dx = f (x)

(46)

F( p)

В этом случае

L( p)Y ( p) = F(t)

Y ( p) =

L( p)

Пример 146 . Решить интегральное уравнение

= x + x2

ò cos(x - t) y(t)dt

Решение:

В изображениях:

Y (t) =

+ 1

Y ( p) =

p + 2

( p2 + 1) =

( p2 + 1) ( p + 2)

p3 + p + 2 p2 + 2

p3 ×

¾®1 + 2x +

2 x

3 x

Решить интегральные уравнения:

Ответ: y(x) =1 − x .

147. ò ex-t y(t)dt = x

	0
	x
148.	ò e2( x-t )y(t)dt = x2 ex
	0
149.	cos(x − t) y(t)dt = sin x
	x
150.	òex−ty(t)dt = sin x
	0

Ответ: y(x) = 2x ex + x2 ex ..

Ответ: y(x) =1. Ответ: y(x) = e- x .

Указанный метод применим к системе интегральных уравнений Вольтерра вида:

	s	x
j j ( x) = f j	( x) + å	ò K jk( x - t) jk (t)dt j =	1, s		(47)
	k=1	0
В изображениях
		s		( p)	(48)
		F j ( p) = F j ( p) + å K jk Fk		( p)	(48)
		k =1
Получается система линейных уравнений относительно F j ( p)
Пример 151.	Решить систему интегральных уравнений:

ì	x	x
ïϕ1 (x) = x + ò e−( x−t ) ϕ1 (t)dt + ò (x - t)ϕ2 (t)dt
í	0	0
í	x	x
ï	x	x	x−t
ïϕ	2 (x) =1 + ò sh (x - t)ϕ1 (t)dt - ò e		x−t	ϕ2(t)dt
ïϕ	2 (x) =1 + ò sh (x - t)ϕ1 (t)dt - ò e			ϕ2(t)dt
î	0	0

Решение. В изображениях

( p) =

F1 ( p) +

( p)

ïF1

p +1

ïF2 ( p) =

F1 ( p) -

F2 ( p)

p -1

F1 ( p) =

p2 + p -1

( p) =

p3 - p2 + 1

p( p -1) ( p2 +1)

( p -1) ( p +1) ( p2 + 1)

Разлагая на простейшие дроби, найдем оригиналы

ϕ1 (x) =1 + 12 ex + 12 sin x - 32 cos x

ϕ2 (x) = 12 (cos x + ch x) - sin x

152.Решить систему интегральных уравнений

ϕ1 (x) = x + òϕ1(t)dt + ò (x - t)ϕ2(t)dt

ϕ2 (x) =1 - ò ex−t ϕ1 (t)dt + òϕ2 (t)dt

																		0								0
				1																					) -	1
Ответ:		ϕ1	(x) =					3	x (		sin					3	x + cos						3
						e		3		3
								2
								2							2											3
			3												2							2x				3
		ϕ2	(x) = e		3		x (cos					3	x -				1		sin			3		x)
					2							3					1					3
											2										2
																	3
																	3
153. Решить систему интегральных уравнений
											ì				(x) =					x							x	ϕ2 (t)dt
												ïϕ1			(x) =				2 - ò (x - t)ϕ1 (t)dt - 4ò									ϕ2 (t)dt
											í							0								0
											í									x							x
											ï									x							x
											ï			2	(x) =1 - òϕ1 (t)dt - ò (x - t)ϕ2 (t)dt
												ïϕ		2	(x) =1 - òϕ1 (t)dt - ò (x - t)ϕ2 (t)dt
											î							0								0
Ответ:	ϕ1 (x) = 2 e− x (1- x)
Ответ:	ϕ2	(x) = e− x (1 - x)
	ϕ2	(x) = e− x (1 - x)

15. Решение нестационарных задач математической физики

Операционный метод может быть применён для решения нестационарных задач мат. физики. Рассмотрим случай, когда некая функция u(x,t) зависит лишь от пространственной координаты x и времени t.

Для уравнения теплопроводности будем решать Ι краевую задачу:

¶u	= a	2	¶2 u	+ f (x,t)
¶t			¶ x2

a2 =

const

u(x,0) = ϕ(x)

начальные

условия

u(0, t) =ψ1 (t)

, u(l, t) =ψ 2 (t)

0 ≤ x ≤ l ¾ краевые условия.

∞

Пусть все функции являются оригинальными.

Обозначим

U ( p, x) =

− pt

ò e

u(x,t)dt

изображение по Лапласу. F( p, x) =→ f (x, t). Тогда,

∂u

∞ ∂u

e− pt dt =

¶x

0 ¶x

¶2 u

d2U

¶u

¬ pU - ϕ(x)

¶ x2

d x2

¶t

ψ1 (t) ←ψ1 ( p)

ψ 2 (t) ←ψ 2 ( p).

Тогда краевые условия:

x = 0 = Y1( p)

x = l = Y2 ( p)

Уравнение в изображениях:

d2U

- p U+ ϕ(x) + F( p,x) = 0

d x2

x = l закреплены жестко. Начальные отклонения заданы

Пример 154.

Концы струны x = 0 ,

равенством:

πx

u(x,0) = Asin(

), 0 ≤ x ≤ l.

Начальные скорости равны нулю. Найти отклонения u(x,t) при t > 0 .

Решение: Процесс описывается волновым уравнением:

∂2u	−	1	∂2u	= 0
∂x		a2	∂t 2

Дано:

u(x,0) = Asin(

πx

∂u(x,0) = 0

∂t2

В изображениях:

u(t,0) = u(l, x) = 0

d2U

U = -

sin(

πx

)

d x2

x = 0 = U

x = l = 0 .

Решение этого уравнения:

+ С e-

x +

πx )

U(x, p) = С e a

sin(

l 2

или с учетом краевых условий:

U(x, p) =

sin(

) :® u(x,t) = Acos(

t) ×sin(

)

a2p2

p2 +

l 2

-синусоиду по x с амплитудой, зависящей от времени t .

Пример 155. Найти решение уравнения теплопроводности:

¶u = a2 ¶2u ,

¶t

¶x2

удовлетворяющее начальным и граничным условиям:

u(x,0) = 0,

u(0,t) = u0,

0 £ x £ ¥,

t > 0

Решение: Запишем операторное уравнение:

¶2 U(x, p)

U(x, p) = 0 .

¶x

Общее решение этого дифференциального уравнения есть:

U(x, p) = C e

+ C

e a .

Так как функции u(x,t)

и U(x, p) при x → ∞ является ограниченной, то C2 = 0 .

Используя граничные условия: U(x, p)

= 0

Находим:

C1 =

Тогда

U(x, p) = p e

Имеется формула:

- a

:® Erf ç

÷ ,

t ø

тогда:

- q

u(x,t) = u

Erfç

= u

ò e

d q

è 2

Пример 156: Решить краевую задачу

¶u

= k

, (x > 0,t > 0) ,

¶t

¶x2

u(0,t) = a cos ωt,

u(x,0) = 0.

Ответ:

- x

qd q

u(x,t) = a e

2k cosçwt

- x

ò e- qtsinç x

k ø q2 + w2

16. Индивидуальные задания по теме «Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом»

Решить дифференциальные уравнения с начальными условиями (задача Коши):

Вариант 1.

1.1. y′′ + 2 y′ + 2 y = 0 , y(0) = B, y′(0) = A

1.2.y′′ − 4 y = 4x , y(0) = 1, y′(0) = 0

1.3.y(4) + 2 y′′ + y = x sin x , y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0

Вариант 2.

2.1. y′′ − 6y′ + 9y = 0 , y(0) = A, y′(0) = B

2.2.y′′ + 4y = 8x , y(0) = 0, y′(0) = 4

2.3.y′′′ + y′ = 10e2x , y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0

Вариант 3.

3.1.	y′′ − y′ − 6 y = 2 ,			y(0) = 1, y′(0) = 0
3.2.	y′′ + 4y = 2cos2x ,			y(0) = 0, y′(0) = 4
3.3.	y′′′ − y ′′ − 4y′ + 4y = x2 − 8 , y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0
Вариант 4.
4.1.	y′′ − 9y = 2 − x ,		y(0) = 0, y′(0) = 1
4.2.	y′′ + 4y = 4sin x ,			y(0) = 4, y′(0) = 0
4.3.	y′′′ + y′ = 1 ,	y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0
Вариант 5.
5.1.	y′′ + 2y′ + y = ex ,			y(0) = 0, y′(0) = −2
5.2.	y′′ + 2y′ = xsin x ,			y(0) = y′(0) = 0
5.3.	y′′′ − y′′ = sin x ,		y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0
Вариант 6.
6.1.	y′′ − 3y′ = 6 ,	y(0) = 1, y′(0) = 1
6.2.	y′′ + 2y′ + y = sin x , y(0) = 0, y′(0) = −1
6.3.	y′′′ + y′ = x ,	y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = 0
Вариант 7.
7.1.	y′′ + y = x2 + 2x ,			y(0) = 4, y′(0) = −2

7.2.	y′′ − 2y′ + y = ex ,	y(0)	= 0, y′(0) = 1
7.3.	y′′′ + 2y′′ + 5y′ = 0 ,	y(	0) = −1, y′(0) = 2, y′′(0) = 0
Вариант 8.
8.1.	y′′ − 2y′ + y = 4 , y(0) = 4, y′(0) = 2

8.2.y′′ + y′ = cos x , y(0) = 2, y′(0) = 0

8.3.y′′′ + y′′ = x , y(0) = −3, y′(0) = 1, y′′(0) = 0

Вариант 9.

9.1.	y′′ − 5y′ + 6y = 2ex ,		y(0) = 1, y′(0) = 1
9.2.	y′′ − 2 y′ + 2y = 1,	y(0) = y′(0) = 0
9.3.	y′′′ + y′′ = sin x ,	y(0) = y′(0) = 1, y′′(0)		= 0
Вариант 10.
10.1.	y′′ + y = x3 + 6x ,		y(0) = y′(0) = 0

10.2.y′′ + y = cos x , y(0) = −1, y′(0) = 1

10.3.y(4) − y′′ = 1 , y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0

Вариант 11.

1.1.	y′′ + y = sin 2x ,	y(0) = y′(0) = 0
11.2.	y′′ + 2y′ + y = x2 ,		y(0) = 1, y′(0) = 0
11.3.	y′′′ + y = 0 , y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = 2
Вариант 12.
12.1.	y′′ + y = cos x ,	y(0) = y′(0) = 0
12.2.	y′′ + 2y′ + 5y = 3 ,		y(0) = 1, y′(0) = 0
12.3.	y′′′ + y′ = ex ,	y(0) = 0, y′(0) = 2, y′′(0) = 0
	Вариант 13.
13.1.	y ′′ + y = cos x + sin 2x , y(0) = y′(0) = 0
13.2.	y′′ + 2y′ + 2 y = 1,		y(0) = y′(0) = 0
13.3.	y′′′ + y′′ = cos x ,		y(0) = −2, y′(0) = y′′(0) = 0

Вариант 14.

14.1. y′′ + y = ex + 2 , y(0) = y′(0) = 0

14.2.y′′ + 4y = x , y(0) = 1, y′(0) = 0

14.3.y(4) − y′′ = cos x , y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = y′′′(0) = 0

Вариант 15.

15.1. y′′ − 4 y = 4e2x , y(0) = y′(0) = 0

15.2.y′′ + y = 1 , y(0) = −1, y′(0) = 0

15.3.y′′′ + y′ = cos x , y(0) = 0, y′(0) = −2, y′′(0) = 0

Вариант 16.

16.1.	y′′ − 3y′ + 2y = e−x ,			y(0) = y′(0) = 0
16.2.	y′′ − 2y′ + 5y = 1− x ,			y(0) = y′(0) = 0
16.3.	y′′′ + y = ex ,	y(0) = 0, y′(0) = 2, y′′(0) = 0
Вариант 17.
17.1.	y′′ + y′ = cos x ,		y(0) = 2, y′(0) = 0
17.2.	y′′ + 4y = 2cos x cos3x , y(0) = y′(0) = 0
17.3.	y′′′ − 2y′′ + y′ = 4 ,			y(0) = 1, y′(0) = 2, y′′(0) = −2
Вариант 18.
18.1.	y′′ − y′ = xex ,	y(0) = y′(0) = 0
18.2.	y′′ + y′ = 4sin2 x ,		y(0) = 0, y′(0) = −1

18.3.y′′′ + y = 12 x2ex , y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0

Вариант 19.

19.1.	y′′ + 2y′ + y = x ,	y(0) = y′(0) = 0
19.2.	y′′ + y = xe x + 4sin x , y(0) = y′(0) = 0
19.3.	y′′′ + 6y′′ + 11y′ + 6y = 1 + x + x2 , y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0
Вариант 20.
20.1. y′′ − y′ + y = e−x ,		y(0) = 0, y′(0) = 1
20.2.	y′′ − y′ = x2 ,	y(0) = 0, y′(0) = 1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.201950.86 Кб1Tests_Orlova.docx
#
27.03.201529.48 Кб90Testy_dlya_samoproverki.docx
#
26.08.2019131.07 Кб1Texnika_rechi.doc
#
27.03.201570.14 Кб13Texts.doc
#
27.09.2019104.45 Кб0texty_novye.doc
#
27.03.2015452.49 Кб20tfkp-operations.pdf
#
27.03.2015433.05 Кб185TFKP.docx
#
25.09.2019282.11 Кб3tgip-metod.doc
#
25.09.2019112.64 Кб1tgip-program.doc
#
15.11.2019299.52 Кб2tgp-dnev-bakalavr-rp-igpzs.doc
#
09.11.201942.89 Кб1tgp-dnev-bakalavr-sfo-umk-tgp.docx