Zad_opt

N

A (ϕ)= ∑dAi .

i=1

В центре дифракционной картины (ϕ = 0), куда вторичные волны

приходят в одной фазе(рис. 5.2, а), модуль вектора А(0) максимален, а его значение пропорционально амплитуде падающей волны и ширине щели b.

а

Рис. 5.2. Векторные диаграммы: а − для центра дифракционной картины (ϕ = 0), б − для угла дифракции ϕ , в − для направления ϕm на дифракционный минимум m-го порядка

Для угла дифракции ϕ каждый из одинаковых по длине векторов dAi будет повернут относительно предыдущего вектора на один и тот же угол dψ (рис. 5.2б). В результате получившаяся це-

почка векторов образует дугу окружности, длина которой примерно равна A0 , а угол ψ между крайними векторами равен

Хорда, стягивающая получившуюся дугу, и будет являться комплексной амплитудой поля A(ϕ). Из рис. 5.2б несложно получить выражение для амплитуды:

в окружность после m оборотов, при этом разность фаз между волнами, идущими от крайних точек щели, равна ψm = 2πm (см.

рис. 5.2в).

I

sinϕ

Рис. 5.3. Зависимость интенсивности I (sinϕ) при дифракции Фраунгофера на щели

При дифракции плоской волны с длиной λ и интенсивностью I0

на круглом отверстии радиуса R, угловое распределение интенсивности поля за отверстием в дальней зоне описывается формулой:

где J1 − функция Бесселя первого порядка, а I (0) I0πR2 . Угловой

радиус центрального дифракционного максимума в этом случае равен

При нормальном падении плоской монохроматической волны на дифракционную решетку зависимость интенсивности от угла ϕ в

дальней зоне дифракции имеет вид:

b – ширина щели; d – период решетки; N – число задействованных штрихов (щелей); I0 – интенсивность в центре картины, если открыта

толькооднащель. График зависимости I (ϕ) показан нарис. 5.4).

I

sinϕ

d b

Рис. 5.4. Зависимость интенсивности I (sinϕ) при дифракции Фраунгофера на дифракционной решетке с N=3 щелями.

Заметим, что поскольку I0 ~ b2 , то I (ϕ = 0)= N 2 I0 ~ (Nb)2 .

5.2. Задачи с решениями

Задача 5.2.1. Одну половину длинной узкой щели шириной b перекрывают тонкой прозрачной пластиной с показателем преломления n. В результате интенсивность света в центре дифракционной картины уменьшается в два раза (рис. 5.5.). Найти толщину d пластины и интенсивность света в направлениях, соответствующих направлениям на дифракционные минимумы в отсутствие пластины.

Решение

При наличии стеклянной пластины волны от перекрытых ею вторичных источников испытывают дополнительную задержку по

фазе на δ = kd (n −1). Следовательно, для угла дифракции ϕ= 0 на

По аналогии для произвольного угла дифракции ϕ на такой же угол δ следует повернуть вектор О1О2 (рис. 5.7а, б), при этом ди-

фракционная картина окажется несимметричной относительно ϕ (рис. 5.7а соответствует случаю ϕ> 0 , рис. 5.7б − случаю ϕ< 0 ).

В отсутствие пластины для направлений на первый дифракционный минимум (sin ϕ±1 = ±λb) векторная диаграмма имеет вид

окружности, длина которой равна длине вектора ОО2 на рис. 5.6, и, следовательно, пропорциональна амплитуде поля в центре картины A0 . При наличии пластины, как видно из рис. 5.7в, амплитуда поля

равна

A±1 = 2 2R1 ,

где R1 = 2Aπ0 –радиус окружности векторной диаграммы. Для ин-

тенсивности I±1 получим: I±1 = A±21 =8R12 = 2I0 π2 .

в г

Рис. 5.7. Векторные диаграммы: для произвольного угла дифракции ϕ > 0 (а) и ϕ < 0 (б), для направлений на первый (в) и второй (г) дифракционный минимум

Для направлений на второй дифракционный минимум (sin ϕ±2 = ±2(λb)) амплитуда поля остается равной нулю, так как на векторной диаграмме точки О, О1 и О2 совпадают (рис. 5.7г).

Аналогично, для всех последующих нечетных «минимумов» (m – номер минимума):

а для всех четных I±m = 0 .

Ответ: I±m = 2I0 , если m – нечетное;

(mπ)2

I±m = 0 , если m –четное.

Задача 5.2.2. При выводе формул, описывающих дифракцию Фраунгофера, обычно рассматривают формирование дифракционной картины в фокальной плоскости собирающей линзы. Однако в реальных экспериментах зачастую обходятся без неё. На каком расстоянии от объекта (щель, отверстие) следует установить экран, чтобы дифракционная картина на нем описывалась теми же формулами, как и в случае с линзой?

Решение

Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны, например, на узкой щели. Если для получения дифракционной картины используется собирающая линза, то лучи от вторичных источников приходят в фокус линзы в одной фазе. Если линзу убрать, то разность хода для центрального и крайнего лучей будет равна

где b – ширина щели, L – расстояние от щели до экрана (рис. 5.8). Принято считать, что амплитуда поля в центре картины изме-

нится мало, если разность хода ds0 существенно меньше длины волны λ. Так, например, если ds0 = λ8, то справедливо соотношение b ≤ Lλ = R1 , где R1 – радиус первой зоны Френеля.

Для произвольного угла дифракции ϕ разность хода s0 (ϕ) между крайними лучами при наличии линзы равна

s0 (ϕ) = b sinϕ.

Следовательно, приближение Фраунгофера применимо, если для данного L характерный размер объекта меньше ширины первой зоны Френеля.

При наличии линзы дифракционная картина локализована в фокальной плоскости. В этом случае при падении плоской монохроматической волны на препятствие радиус первой зоны Френеля бесконечно большой, и при любых размерах препятствия «работает» приближение Фраунгофера.

Таким образом, искомое расстояние L определяется из усло-

вия:

L > b2 .

λ

Например, при дифракции света с длиной волны λ = 0,5 мкм на объекте с характерным размером b =100 мкм, экран следует устанавливать на расстоянии не менее L = 2 см, а при b =1мм расстояние L от препятствия до экрана должно быть не менее 2 метров.

Замечание. При отсутствии линзы распределение поля на экране может быть оценено с помощью спирали Корню (рис. 5.10). Положение точки на спирали задается так называемым параметром спирали ω, значение которого равно длине дуги спирали, отсчитываемой от начала координат (точка О на спирали). Можно показать (см. гл. 4), что если ширина щели равна радиусу первой зоны Френеля, то вектор, характеризующий амплитуду поля в центре карти-

ны, соединяет точки ω1 = −1 2 и ω2 =1 2 (рис. 5.11а), при этом амплитуда поля (длина вектора) примерно равна амплитуде в

отсутствие препятствия (длине вектора O-O+ , соединяющего фокусы спирали).

Первому дифракционному минимуму соответствует вектор, соединяющий точки ω2 =1 2 и ω3 = 3 2 , эти точки располага-

ются на соседних витках скручивающейся части спирали (рис. 5.11б). Длина вектора примерно на порядок меньше длины векто-

раO−O+ и соответственно, интенсивность меньше на два порядка, хотя длина участка спирали такая же ( ω3 −ω2 = ω2 −ω1 = 2 ).

Рис. 5.10. Спираль Корню

а

Рис. 5.11. Векторные диаграммы, характеризующие амплитуды поля в центре дифракционной картины (а), в первом (б) и втором (в) дифракционном минимуме в случае, когда ширина щели равна радиусу первой зоны Френеля

Второму дифракционному минимуму соответствует вектор между точками ω3 = 3 2 и ω4 = 5 2 , эти точки располагаются через один виток на скручивающейся части спирали (рис. 5.11в). Длина этого вектора значительно меньше длины вектора O−O+ , хотя длина участка спирали по-прежнему такая же ( ω4 − ω3 = 2 ). Уме-

стно обратить внимание на сходство векторных диаграмм, полученных с помощью спирали Корню и в ходе решения задачи 5.2.1.

Ответ: L > b2 .

λ

Задача 5.2.3. Плоская монохроматическая волна с длиной λ = 0,6 мкм интенсивностью I = 10 мВт/см2 падает нормально на узкую длинную щель шириной b = 60 мкм. Оценить интенсивность в центре дифракционной картины на экране, который находится за щелью на расстоянии L = 60 см.

Решение

Поскольку при заданных в условии параметрах число открытых зон Френеля

много меньше 1, то справедливо приближение Фраунгофера. Угловой радиус центрального максимума (нулевого порядка) равен

Δϕ ≈ λb ,

поэтому ширина этого максимума на экране равна:

x= 2L Δϕ .

Вединицу времени через щель (в расчете на единицу длины щели) свет переносит энергию

W = b I0 .

Так как более 90 процентов энергии сосредоточено в центральном максимуме, то в первом приближении

W ≈ Iэкр2 x = Iэкр L Δϕ = Iэкр Lbλ ,

где Iэкр – интенсивность в центре экрана. ( Iэкр2 – «среднее» зна-

чение интенсивности в пределах максимума)

Таким образом, для оценки интенсивности в центре экрана получаем:

Iэкр = I0 Lbλ2 = m I0 .

Из полученной формулы следует, что если ширина щели равна радиусу первой зоны Френеля, то интенсивность в центре