Zad_opt

ψ2 = π S (SA2 ) = 2π ,

1

и следовательно, точка А2 соответствует границе второй зоны Френеля. Аналогично,

S (A3 ) = πr32 = 3πR22 = 3S2 = 6S1 ,

и точка А3 соответствует границе шестой зоны Френеля.

Исходное отверстие можно рассматривать как совокупность кольца и полукольца (см. рис. 4.10). Изобразим с помощью спирали Френеля векторы, соответствующие вкладам от отдельных участков волнового фронта.

Так как в центре экрана – непрозрачный диск радиуса R1, то участок спирали ОА1 "не работает". Кольцо с радиусами r1 и r2 открыто полностью, что соответствует участку спирали от А1 до А2

(вектор A1A2 ). Область от r2 до r3 открыта наполовину (по диаметру). Напомним, что при выводе формулы (4.5) выполнялось интегрирование по углу ϕ, и для полностью открытой области это давало множитель 2π. В рассматриваемом случае интегрирование по ϕ дает множитель π, поэтому длина соответствующего вектора в два раза меньше, чем длина вектора A2A3 .Таким образом, ампли-

туда U(Р) в точке наблюдения определяется суммой двух векторов:

зон Френеля радиус спирали считаем неизменным), интенсивность в точке наблюдения равна:

I (P)= 4I0 .

Замечание.

Разбиение на простые объекты можно выполнить и по-другому (рис. 4.11). В этом случае

Задача 4.2.4. Плоская световая волна с длиной λ и интенсивностью I0 падает нормально на экран (рис. 4.12). Перед экраном на некотором расстоянии b устанавливают стеклянную пластинку радиуса R с показателем преломления n. Найти расстояние b и толщину пластинки d, при которых интенсивность дифракционной картине в точке Р: 1) максимальна; 2) равна нулю.

Задача 4.2.5. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью I0 падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r0. Для точки наблюдения Р, находящейся на расстоянии b от экрана, отверстие открывает три зоны Френеля. В отверстие вставили тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием f. Найти:

1) интенсивность света в точке Р, если: а) f = b ; б) f = 2b ; в) f = b2 ;

2) распределение интенсивности вдоль оси линзы, если f = b .

Решение

1) Для вторичного источника, находящегося в плоскости отверстия на расстоянии r от его центра, разность хода s0(r) в соответствии с (4.6) равна:

(для плоской волны a = ∞ ).

Учитывая, что собирающая линза вносит дополнительную разность хода

sл (r )= − 2r2f < 0

(поскольку толщина собирающей линзы в центре больше, чем на периферии), для суммарной разности хода получаем:

1а) Если f = b , то для всех вторичных источников разность хода sa (r )= 0 , т.е. участок спирали ОО3 «вытянут» в прямую линию ОО3а (рис. 4.15). Полагая, что радиус спирали R пропорционален I0 и длина участка спирали ОО3 (а не вектора OO3 ) равна

3πR, для интенсивности в точке Р (в фокальной плоскости линзы) получаем:

Ia = (3πR)2 = 9π2 I0 ≈ 89I0 .

а соответствующая разность фаз –

так как отверстие открывает три зоны Френеля. Следовательно, участок спирали ОО3 "раскрутится" (но не до конца, рис. 4.15), при этом длина дуги ОО3б останется равной длине участка спирали ОО3 (число вторичных источников не изменилось). Чтобы найти амплитуду Аб в точке Р (она равна длине вектора OO3б ), необходимо

найти радиус Rб дуги соответствующей окружности: 3πR = 32π Rб ,

откуда Rб = 2R .

ψв (r0 )= −ψ0 (r0 )= −3π.

Как видно из рис. 4.15, в этом случае участок спирали ОО3 "перераскручивается", и спираль ОО3в представляет собой симметричное отражение спирали ОО3 относительно горизонтальной оси. Поэтому

Rв = 2R , Iв = 4I0 ,

т.е. интенсивность такая же, как и в отсутствие линзы.

2) Для исследования распределения интенсивности света вдоль оси линзы выберем в качестве начала отсчета на оси х (совпадает с осью линзы) положение точки Р. В отсутствие линзы зависимость

разности фаз ψ(x) для крайнего и центрального лучей (4.8) при

x > −b имеет вид:

ψ(x)= k 2r02 (b +1 x) = ψ(0) b +b x ,

Френеля (рис. 4.16 а и 4.16 б) этой разности фаз ψ(x) соответствует точка Ох.

А Б

Рис.4.16. К вопросу о разности фаз для крайнего и центрального лучей с учетом действия линзы: х < 0 (а) и x > 0 (б)

одинаковы (число вторичных источников не изменилось), то для

где Ia = 9π2 I0 .

Заметим наперед, что похожая зависимость имеет место в случае дифракции Фраунгофера на щели. Примерный вид зависимости I(х) показан на рис. 4.17 а. Для сравнения на рис. 4.17 б приведена

зависимость I(х) в случае ψ (0)=15π .

а

б

Рис. 4.17. Распределение интенсивности I(x)