2003_-_Gmurman__TV_i_MS

ральную теорему Лапласа можно записать и так:

Эта форма записи используется ниже.

§ 4. Вероятность отклонения относительной

u

частоты от постояннои вероятности

внезависимыХ испытаниях

Поставим перед собой задачу найти вероятность того,

что отклонение относительной чаСТ01Ы m/n от постоянной вероятности р по абсо.'lЮТНОЙ величине не превышает заданного числа 8 > о. Другими СJlOвами, найдем веро­

Эту вероятность будем обозначать так: P(lm/n-pl~8).

Заменим неравенство (*) ему равноси.'lЬНЫМИ:

-8~m/n-p~8 иди -8~(m-np)/n~8.

умножая эти неравенства на ПО.'lожите.'lЬНЫЙ множите.'lЬ

Vn/(pq), получим неравенства, раВНОСИ.'lьные исходному:

-8 V n/(pq) ~ (т- пр)/Vnpq ~ 8 V n/(pq).

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа в фор­

= 2ф (8 V n/(pq».

Наконец, заменив неравенства, заключенные в скобках,

равносн.'IЬНЫМ им исходным неравенством, окончательно

получим

р (1 т/n -рI~ 8) t::= 2ф (8 V n/(pq».

61

Итак, вероятность осуществления неравенства Im/n-pl~8

приближенно равна значению удвоенной функции Лапласа

2ф (х) при х = еУn/(pq).

Пример 1. Вероятность того, что деталь не стандартна, p=O,I. Найтн вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей

относительиая частота появлення нестандартных деталей отклонится

от вероятности р=О,1 по абсолютной величнне не более чем на 0,03.

Ре w е н и е. По условию, n=400; p=O,l; q=O,9; е=О,03. Тре­

буется найти вероитность Р ( I т/400- 0,1 Iсо;:; 0,03). Польэуясь форму­

ПО таблице приложеиия 2 находим Ф (2) = 0,4772. Следоватe.nьно,

2ф (2) = 0,9544.

Итак, искомая вероятность приблнженно равна 0,9544.

Смыcn ПOJlучениого результата таков: еслн взять достаточно бoIIЫuое чиCIIО проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% 9ТIIX проб отклоиение относительной частоты от постоянной вероят­ ности р=О,1 по абconютной величине не превысит 0,03.

ПрlOlep 2. Вероятиость того, что деталь не стандартна, р=О,I.

Найти, СКOJIько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что отиосиТ('льная частота ПОИВJIения

нестандартвых деталей (среди отобранных) отклонится от постояниой

вероятности р по абсолютной велнчине не более чем на 0,03.

Ре ше н не. По уcnовию, р=О,I; q=O,9; е =0,03; P(lт/n-O,1 1<

<0,(3)=0,9544. Требуется найти n.

EЮcnОllЬзуемся формулой

Р( I т/n- р 1.... е) ;::: 2ф (е уn/(pq».

вcи.nу УCIIовня

2ф (0,03 Уn/(О,1.0,9» =2ф (0,1 Yn) =.0,9544.

C/leAовательно, Ф (0,1 Yn) = 0,4772.

По таблице приложения 2 иахоДИМ Ф (2) = 0,4772.

Д/lи отыскания числа n пonучаем уравнение 0,1 уп=2. Orсюда

и~омое ЧИCJIо деталей n = 400.

Смысл получеииого результата Tal!oB: eCJIH взять достаточно

CSoт.шое ЧНCJIо проб по 400 детa.neй, то в 95.44% зтих проб отиосн­

тe.IIЬHa& частота по&вления неставдартиых деталей будет ОТllИчаться

от постояиной вероитиости р=О,1 по абcomoтноА веllИчине не бо.пее

.м на 0,03, т. е. отиоситe.nьна.8 частота заключена в границах от

0,07 (0,1-0,03=0,07) до 0,13 (0,1 +0,03=0,13). Другими CJlOBaMH,

1IUIc.IIO нестаВА8РТИЫХ деталей в 95,44% проб будn ЗаlUDOчево мeQY

28 (7" от 4(0) н 52 (13% от 4(0).

Ее:.пи ВЗЯТЬ lIИшь одну пробу из 400 Дет&neй, то с боllЬшой

уаеревиостыо можио ожВА8ТЪ, что в !П'Ой пробе будет иест8ИА8РТИЫХ

..-uеЙ Ре менее 28 и ие более 52. Возможно, хотя и М8ловероитно,

-.то нестаи.аартвнх АеТмеl окажетс:в меньше 28 либо больше 52.

62

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

rлава шестая

ВИДЫ СЛУЧАЙНЫ Х ВЕЛИЧИН. ЗАДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

§ 1. Случайная величина

Уже в первой части приводились события, со­

стоящие в появлении того или иного ч и с л а. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков

невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных

причин. которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4. 5 и 6 есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате

испытания примет одно и только одно возможное зна9е­

ние, наперед не известное и зависящее от случайных

причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число роднвшихся мальчнков среди ста новорожден­

ных есть случайная велнчина, которая имеет следующие возможные

значення: О, 1, 2, ... , 100.

Пример 2. Расстоянне, которое пролетнт снаряд прн выстреле из орудия, есть случайная велнчина. Действительно, расстояиие зависит

не только от установки прицела, но н от многих других причин

(силы н направления ветра, температуры и т. д.), которые не могут

быть полностью учтены. Возможные значення этой веЛИЧИRЫ принад­ лежат некоторому промежутку (а, Ь).

Будем далее обозначать случайные величины пропис­ ными буквами Х. У, Z, а их возможные значения-соот­

ветствующими строчными буквами Х, У, z. Например,

если случайная величина Х имеет три возможных значе­

ния, то они будут обозначены так: Х1, X z' Хв.

64

§ 2. Дискретные н непрерывные случаАные

величнны

Вернемся к примерам, приведенным выше. В пер­

в которых нет возможных значений Х. Таким образом,

в этом примере случайная величина принимает отдельные,

изолированные возможные значения. Во втором примере случайная величина "lOгла принять любое из значений

промежутка (а, Ь). Здесь нельзя отделить одно возможное

значение от другого промежутком, не содержащим воз­

можных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о целесообразно­

сти различать случайные величины, принимающие лишь

u

отдельные, изолированные значения, и случаиные вели-

чины, возможные значения которых сплошь заПОJ1НЯЮТ

некоторый промежуток.

Дискретной (nрерьюной) называют случайную вели­

чину, которая принимает отдельные, изолированные воз­

можные значения с определ~нными вероятностями. Число

возможных значений дискретной случайной величины

может быть конечным или бесконечным.

Неnрерывной называют случайную величину, которая

может принимать все значения из некоторого конечного

или бесконечного промежутка. Очевидно, число возмож­ ных значений непрерывной случайной величины беско­

нечно.

3 а м е ч а н и е. Настоящее ()пределение непрерывной CJlучайной величины не является точным. Более строгое определение будет дано

позднее.

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно пере­

числить все ее возможные значения. В действительности

это не так: случайные веJlИЧИНЫ могут иметь од и н а к 0-

в ы ~ перечни возможных значеиий, а вероятности их­

раз л и ч н ы е. Поэтому для задания дискретной случайной

величины недостаточно перечислить все возможные ее

значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной ееличины

называют соответствие между возможными значениями и

их вероятностями; его можно задать таблично, аналити­

чески (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискрет­ J.:Iой случайной величины первая строка таблицы содержит

РРl Р.··· Рn

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная

величина принимает· одно и только одно возможное зна­

чение, заключаем, что события Х = Х1, Х = Х., ••• , х = ХN образуют полную группу; следовательно, сумма вероят­ ностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

Рl +Р. + ... +Рn = 1.

Если множество возможных значений Х бесконечно

(счетно), то ряд Рl +Р.+ ... сходится и его сумма равна

единице.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгры­ вается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти

закон распределення случайной величнны Х-стоимости возможного

выигрыша для владельца одного лотерейного бнлета-.

Pz=O,OI, Рв= I-(Рl +Р2) =0,89.

Напишем искомый закон распределения:

Х 50 10 О

Р0,01 0,1 0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

Для наглядности закон распределения дискретной

случайной величины можно изобразить и графически,

для чего в прямоугольной системе координат строят

точки (Xj, Pi)' а затем соединяют их отрезками прямых.

Полученную фигуру называют многоугольником распре­ деления.

§ 4. Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний,

в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех

б6

Jlспытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероят­ ность непоявления q = l-р). Рассмотрим в качестве

дискретной случайной величины Х число появлений со­

бытия А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распреде­ ления величины Х. ДЛЯ ее решения требуется определить

возможные значення Х и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, ... , либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: Х1 = О,

Х2 = 1, хз =2, ... , Х• n+1 =n'u Остается найти вероятности

этих возможных значении, для чего достаточно восполь-

Формула (*) и является аналитическим выражением

искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей,

определяемое формулой Бернулли, Закон назван «бино­

миальным» потому, что правую часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома

Ньютона:

(p+q)n = C~pn + C~-lpn-lq + ... +C~pkqn-k+ .. о +C~qn.

Таким образом, первый член разложения рn опреде­

ляет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член npn-lq

определяет вероятность наступления события n - l раз;

о•• ; последний член qn определяет вероятность того, что

событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Пример. Моиета брошена 2 ра'3а. Написать в виде таблицы закон

распределения случайиой величины Х - числа выпадений «герба».

возможных значений по формуле Бернулли:

Р. (2) =C~p2 = (1/2)2 = 0,25,

Р2 (1) = C~pq =2· (1/2)· (1/2) = 0,5,

Р2 (0)=C~q2=(1/2)2=O,25.

Напишем искомый закон распределения:

Коитроль: 0,25+0,5+0,25=1.

§ 5. Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений со­

бытия в этих испытаниях используют формулу Бернулли.

Если же n велико, то пользуются асимптотической фор­

мулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если

вероятность события мала (p~O,l). В этих случаях

(n велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле

Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность

того, что при очень большом числе испытаний, в каждом

из которых вероятность события очень мала, событие

наступит ровно k раз. Сделаем важное допущение: про­

изведение пр сохраняет постоянное значение, а именно

пр = Л. Как будет следовать из дальнейшего (см. гл. Vl1,

§ 5), это означает, что среднее число появлений события

вразличных сериях испытаний, т. е. при различных

значениях n, остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для ВЫЧИС.r:\ения

интересующей нас вероятности:

Рn (k) = n (n-l) (n- 22! ..[n-(k-I)] pk (l_p)n-k.

Так как рn = Л, то р = Л/n. Следовательно,

Рn(k) = n (n-l) (n- 22! ..(n-(k-l)J (% )k(1- ~ Y-k.

ности: n хотя и велико, но конечно, а при отыскании

68

предела мы устремим n к бесконечности. Заметим, что

поскольку произведение пр сохраняет постоянное значе­

Таким образом (для простоты записи знак приближен­

ного равенства опущен),

Рn (k) = лkе-д/k!

Эта формула выражает закон распределения Пуассона

вероятностей массовых (n велико) и редких (р мало)

событий.

З а м е ч а н и е. Имеются специальные таблицы, пользуясь кото­

рыми можно найти Рn (k), зная k и л..

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изде­

лий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002.

Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, n=5000, р=О,ОО02, k=З. Найдем л:

Л=nр=5000·0,ОО02= 1.

По формуле Пуассоиа искомая вероятность приближенно равна

Р5000 (3) = лkе-д/kl = e-1jЗ! = 1j6e ~ 0,06.

§б. Простейший поток событий

Рассмотрим события, которые наступают в сл)'-

u

чаиные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность со­

бытий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примерами потоков служат: поступление вызовов на

АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, при­

бытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие

бытового обслуживания, последовательность отказов эле­

ментов и многие другие.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, вы­

делим свойства стационарности, отсутствия последействия

иординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем. что

вероятность появления k событий на любом промежутке

69

времени зависит только от числа k и от длительности t

промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом

различные промежутки времени предполагаются непере­

секающимися. Например, вероятности появления k собы­

тий на промежутках времени (1; 7), (1 О; 16), (Т; Т + 6)

одинаковой длительности t = 6 ед. времени равны между собой.

Итак, если поток обладает свойством стационарности,

то вероятность появления k собьunий за промежуток

времени длительности t есть функция, зависящая moлько от k и t.

Свойство отсуmcmвия nоследейсmвия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом

промежутке времени не зависит от того, появлялись или

не появлялись события в моменты времени, предшествую­ щие началу рассматриваемого промежутка. Другими сло­ вами, условная вероятность появления k событий на

любом промежутке времени, вычисленная при любых

предположениях о том, чтб происходило до начала рас­

сматриваемого промежутка (сколько событий появилось,

в какой последовательности), равна безусловной вероят­ ности. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Итак, если поток обладает свойством отсутствия

последействия, то имеет место взаимная независимость nоявлений того или иного числа событий в неnересек.аю­

щиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что по­

явление двух и более событий за малый промежуток

времени практически невозможно. Другими словами,

вероятность появления более одиого события пренебре­

жимо мала по сравнению с вероятностью появления толь­

ко одного события.

Итак, если поток обладает свойством ординарности,

то за бесконечно малый промежуток времени может

появиться не более одного события.

Простейшим (пуассоновским) называют поток собы­

тий, который обладает свойствами стационарности, отсут­ ствия последействия и ординарности.

идругие условия, при соблюдении которых поток можно считать

простейшим или близким к простеЙшему. В частности, установлено, что если поток представляет собой сумму очень большого числа неза-

70