2003_-_Gmurman__TV_i_MS

т. е. вероятность совместного появления двух независимых

событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (**) принимают в качестве определения не­

зависимых событий.

Два события наЗbl8ают независимыми, если вероятность

их совмещения равна произведЕ.'НИЮ вероятностей этих

событий; в противном случае события называют зависи­

мыми.

На практике О независимости событий заключают по

смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели

и

каждым из двух орудии не зависят от того, поразило

ли цель другое орудие, поэтому события «п~рвое орудие

пораЗИJlO целы> и «второе орудие поразило цель» неза­

висимы.

Пример 1. Найти вероятность совместиого поражения цели двумя

орудиями. если вероятность поражения цели первым орудием (собы­

тие А) равна 0.8, а вторым (событие В)-0.7.

Реш е н и е. События А и В независимые, поэтому, по

теореме умножения, искомая вероятность

р (АВ) = Р (А) Р (В) =0,7·0,8 = 0,56.

А =АВ+АВ.

Следовате.'1ЬНО,

р (А) = Р (АВ) +Р (АВ). или Р (А) = Р (АВ) +Р (А) Р (В).

Orсюда

р (АВ) =р (А) [1- Р (В)). или Р (АВ) =р (А) Р (В).

т. е. события А и В независимы.

Независимость событий А и В, А и В-следствие доказаиного

утверждения.

Несколько событий наЗbl8ают попарно незавUCUМbl.WU,

если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

ДЛЯ того чтобы обобщить теорему умножения на не­

сколько событий, введем понятие независимости событий

в совокупности.

41

Несколько событий наЭblfJают неэависимыми 8 совокуп­

ности (или просто неэавиСUМЫАСи), если независимы ка­ ждые два из них и независимы каждое событне и все

возможные произведения остальных. Например, если со­

бытия А1, А., А. независимы в совокупности, то неза­

висимы события А} и А,,! А1 и А., А. и А.; А1 И А.А.,

А. н А1А., А. и А1А•. ИЗ сказанного следует, что еслн

события независимы в совокупности, то условная вероят­ ность ПОЯВJIення любого события нз них, вычнсленная в предположении, что наступили какие-либо другие собы­ тия из числа остальных, равна его безусловной вероят­

ности.

I10дчеркнем, что если несколько событий независимы

попарно, то отсюда еще не следует их независимость

в совокупности. В этом смысле требование независимости

событий в совокупности сильнее требования их попаРIJОЙ

независимостн.

I10ЯСНИМ сказанное на примере. I1YCTb в урне имеется

4 шара, окрашенные: один-в красный цвет (А), один­

в синий цвет (В), один-в черный цвет (е) и один-во

все эти три цвета (Аве). Чему равна вероятность того, что нзвлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет,

нится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет

красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет н

красный цвет, поэтому вероятность события А по-преж­

нему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность

события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следова­ тельно. события А и В независимы. Аналогично придем к выводу. что события А и С, В и С независимы. Итак. события А, В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказы­

вается. нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероят­

ность того. что этот шар имеет и красный цвет? Лишь

о.ll.ин шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый

42

событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность Рвс (А) = 1 собы-

1'ия А не равна его безусловной вероятности Р (А) = 1/2.

Итак, попарно неэависимые события А, В, С не являются

везависи~и в совокупности.

Приведем теперь следствие из теоремы уМJIожения.

Сл е.ц с т в и е. ВероЯtnlUJCtnb совместного nОЯ8АеНuя

не&IwАышх сoбbllnuй, 1U!ЭlJlJUCUАШХ 8 сово"уn,.,ости. равlUJ nроuэведенuю еероятн.оеmeЙ втuх событий:

р (А1А•• •• А,,) = Р (А1) Р (А.)• •• Р (А,,).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим три события: А,

В и е. Совмещение событий А, В и е равноснльно сов­

мещению событий АВ и С, ПО9Тому Р (АВС)== Р (АВ·С).

Так как события А, В и е независимы в совокуп­

ности, 1'0 независимы, в частности, событня АВ И С,

а также А И В. По теореме умножения для двух неза·

висимыx событий имеем:

Р (АВ. е) = Р (АВ) Р (С) и Р (АВ) :1;1 Р (А) Р (В).

Итак, окончательно получим

Р (Аве) = Р (А) Р (В) Р (С).

Для i1роизвольного n доказательство лроводится ме­

Тодом математической индукции.

3 а м е а н и е. Есnи соБЬnИII Ai. А.. .... А" иеэависнмы в со­

вокупности,q то и противопоnожные ИIIСоБЪ(тии .4.,. х...0".4,. такае

незавнсимы в совокупвости.

Пр.... 2. НаАти вePOIIТHOC:ТЬ совместноro ПОllвлении герба орн

ОДНОМ бросаиии двух IoЮнет.

Ре m е н и е. Вероятность поиuеИИII герба первой монеты (со­

БЫТlfе А)

р (А)-l/2.

Вероятность ПОЯВJIеииSl герба второй монеты (событне В)

P(B)=1/2.

Событии А и В независимые. поэтому нскомаи веРОЯТIIОСТЬ по

теореме УМИOJКeВИII ,а_а

Р (АВ) -р (А) Р (8) -1/2·112-1/4-

п..... 3. Имeerц 3 RЩIIU. ео.Р.'Щ•• 110 10 деталей. В пер-

110м ящике 8, во втором 7 u в третьем 9 стандартных деталеА.

из каждоro ищика наудачу вынимают по ОАНой детa.nи. Найти веро­

JI1'ность тоro, что вс:е трн вывутые детаnи окажyn:и стан,аартиыми.

43

Реш е н и е. Вероятность того, что из первого ящика выиута

стандартиая деталь (событие А),

р (А) =8/10=0,8.

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартиая

деталь (событие В),

р (B)=7/10=O,7.

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная

деталь (событие е).

р (С)=9/10=О,9.

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то ис­

комая вероятность (по теореме умножеиия) равна

р (Аве) =р (А) Р (В) Р (е) =0,8·0,7·0,9=0,504.

Приведем пример совместного применения теорем сложения и

умножения.

Пример 4. Вероятиости появления каждого из трех lIезависимых

Таким образом. чтобы найти вероятносгь появлеиия только

одного из событий A1 • А•• Аз. будем искать вероятность Р (В1+ 8.+ +8з) появления одного. безра3JlНЧНО какого из событий В1• В•• Вз• Так как события В1, В2• В. несовместиы. то примснима теорема

сложения

р (В1) = Р (А1А2Аз) =р (А1) Р (А2) Р (Аз) = Рlq2qз.

Аналогично.

р (В2) = Р (А2А1Аз) = Р (Ав) Р (А1) Р (Аз) = Р2qlqз;

р (Вз) =р (АзАIА2) = р (Аз) р (А1) Р (А.) = рзqlq2'

Подставив эти вероятностн в (jI). нандем искомую вероятность появ­

ления только одного из событий A1 • А2• Аз:

р(В1+82 + 8з) = Рlq2qз +PsqlQ, +РзQlq2'

§5. Вероятнос'fЬ поямения хотя бы OJI,НOrO

события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (В частности, только одно или ни одного), причем

44

вероятностн появления каждого из событий известны.

Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появнться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событнй. Огвет на поставленный

вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из

событий Ан А 2, ••• , Аn• независимblX в совокуnности,

равна разности между единицей и nроизведение.м. вероят-

событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Р(А)+Р(А1А2 ••• Аn)= 1.

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

ность появления хотя бы одного из этих событий

Р(А)= l_qn.

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех

Реш е н и е. Вероятность попадания в цель каждым из орудий

не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рас­

сматриваемые события A1 (попадание первого орудия), Ав (попадание

второго орудия) и Аз (попадание третьего орудия) независимы в со­

ВОКУllНОСТИ.

Вероятности событий, противоположиых событиям А1, A1 и Аз

(т. е. вероятности промахов), соответствеино равны:

ql = I-Pl= 1-0.8=0,2; q.= I-PI= 1-0,7=0,3; Ча= I-ps= 1-0,9=0,1.

Искомая вероятность

р (А) = l-qlq2qз = 1-0,2·0,3.0,1 =0,994.

45

ПО условию, Р (А) = 0,936; n = 3. Следовательио,

0,936 = 1- q3, или ч3 = 1 - 0,936 = 0,064.

Отсюда q= VO,064=0,4.

3а,ll.ачи

1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле по­

падает в мишень, равна р = 0,9. Стрелок ПРОIIЗвел 3 выстрела. Найти

вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание.

Отв. 0,729.

2. Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность сов­

мещения событий: «появился «герб», «появилось 6 очков».

Отв. 1/12.

З. В двух ящиках находятся детали: в первом - 10 (из них 3 стандартных), во втором-15 (из них 6 стандартных). Из каждого

ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Отв. 0,12.

4. В студии телевидения 3 телевнзионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна

р = 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена

хотя бы одна камера (событие А).

Отв. 0,936.

5. Чему равна вероятность того, что при бросании трех играль­ ных костей 6 очков появится хотя бы на одноА из костей (событие А)?

Отв. 91/216.

в. ПреДПРИЯТlIе изготовляет 95% изделий стандартных, прнчем

из них 86% - первого сорта. Найти вероятность того, что взятое

наудачу изделне, изготовленное на этом предприятии, окажется пер­

вого сорта.

Отв. 0,817.

7. ~OHeTa бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не вы­

падет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих собы­

тий: а) опыт окончится до шестого бросания; б) потребуется четное

число бросаний.

Отв. а) 15/16; б) 2/3.

8. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из

оставшихся четырех-вторая цифра. Предполагается, что все 20 воз­

можных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет

выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в

Отв. n ~2.

10. Три 9JIектрические лаМПОЧКfI последовательно включены в

цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит , если напряжение в сети превысит номииальное, равиа 0,6. Найти веРОIIТ­

насть того, что при повышенном наПРllжении тока в цепи не будет.

Отв. 0,936.

47

11. Вероятность того, '1ТО событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность

появления события в одном испытании (предполагается, '11'0 вероят­

ность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

Отб. 0,5.

12. Tpu: команды A1 , А2, Аз спортивного общества А состязаются

соответственно с тремя командами общества 8. Вероятности того. что

команды общества А выиграют матчи у команд общества В, таковы:

при встрече А1 с 81-0,8; А 2 с 82-0,4; Аз с Вз-О,4. для победы

необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьи во вни­ мание не принимаются). Победа какоГо из обществ вероятнее?

Отб. Общества А (РА=О,544 > 1/2).

13. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном

выстреле равна 0,8, а вторым стрелком- 0,6. Найти вероятность

того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Отв. 0,44.

14. Из последовательности чисел 1, 2, ... , n наудачу одно за другим выбираются два числа. Найти вероятность того, что одно из

,,-15. Orдел технического контроля проверяет изделия на стандарт­

ность. Вероятность того, что изделие нестандартно, ра.вна 0,1. Найти

вероятность того, что: а) из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется толЬко четвертое

по порядку проверенное изделие.

Отб. а) 0,243; б) 0,0729.

r лава четвертая

СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

§ 1. Теорема сложения вероятностей совместных

событий

Была рассмотрена теорема сложения для несов­

местных событий. Здесь буде>Г изложена теорема сложения

для совместных событий.

Два события называют совместными, если появление

одного из них не исключает появления другого в одном

итом же испытании.

Пр'Имер 1. А - появление четырех очков при бросании играль­

ной кости; В-появление четного ЧИСJlа очков. События А и 8 -

совместные.

Пусть события А и В совместны, причем даны веро­

ятности этих событий и вероятность их совместного по­

явления. Как найти вероятность событ ия А + В. состоя­

щего в том, ЧТО JIОЯВИТСЯ хотя бы ОДНО ИЗ событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероят­

ностей совместных событий.

48

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из

двух совместных событий равна сумме вероятностей этих

событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку события А и В, по

условию, совместны, то событие А + В наступи.т, если

наступит одно из следующих трех несовместных событий:

АВ, АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей

несовместных событий,

Р(А+В)=Р(АВ)+Р(АВ)+Р(АВ). (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух

несовместных событий: АВ или АВ. По теореме сложения

вероятностей несовместных событий имеем

Р (А) = Р (АВ) + Р (АВ).

Отсюда

Р (АВ) = Р (А)-Р (АВ).

Аналогично имеем Р (В) = Р (АВ) + Р (АВ).

Отсюда

Р (АВ) = Р (В) - Р (АВ).

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

3 а м е ч а н и е 1. При использовании подученной формулы сле­

дует иметь в виду, ЧТО события А и В могут быть как независимыми,

так и зависимыми.

Для незавнсимых событий

р (А +В) = Р (А) +Р (В) - Р (А) Р (В);

дЛЯ зависимых событий

Р (А +В) = Р (А) '-р (В) -р (А) РА (В).

3 а м е ч а н и е 2. Если события А и В несовместны, то их сов­ мещение есть невозможное событие и, следовательно, Р (АВ) =0.

Формула (*:1-1<*) для несовместных событий принимает вид

Р (А+В)=Р (А)+Р (В).

Мы вновь получили теорему сложения для несовместных собы­

тий. Таким образом, формула (*"'**) справедлива как для совмест­

ных, ТaI< и для несовместных событий.

Пр~мер 2. Вероятности попадання в цель при стрельбе первого

11 второго орудий соответственно равны: Рl=0,7; Р2=О,8. Найти

вероятность попадания при Одном залпе (из обоих орудий) хотя бы

одним из орудий.

Реш е н и е. Вероятность попадания в ЦелЬ каждым из оруднА

не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому собы­

тия А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия)

независимы.

Вероятность события А8 (оба орудия дали попадание)

Р (АВ)=Р (А) Р (8)=0,7·0,8=0,56.

Искомая вероятность

Р (А +8)=Р (А)+Р (В)-Р (АВ)=О,7 +0,8-0,56=0,94.

Р = l-qlq2= 1-0,3·0.2=0,94.

Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

§ 2. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии

появления одного из несовместных событий В1• В•• '... , В'"

которые образуют полную группу. Пусть известны веро­

ятности этих событий и условные вероятности РВ. (А),

РВе (А), ...• РВn (А) события А. Как найти вероятность

события А? Ответ на этот вопрос дает следующая

теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое .может

наступить лишь при условии появления одного из несо­

в.местных событий В1• В2• •••• В"' образующих полную группу. ра8на су,и.ме произведений вероятностей каждого

из этих событий на соответствующую условную вероят­

ность события А:

р (А) = Р (81) РВ. (А) + Р (82) РВ• (А) + ...

...+ р (8 n ) РВn (А).

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию. событие А может

наступить, если наступит одно из иесовместных событий

В1• В2• •••• Вn' Другими словами, появление события А

означает осуществление одного, безразлично какого, из

несовместных событий В1А, В.А, "',ВnА. Пользуясь

50