Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовые нормы. Понятов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией экономического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 080500 «Менеджмент», 080100 «Экономика», 081100 «Государственное и муниципальное управление»

Нижний Новгород

2012

УДК 517

ББК 22.11 Т-43

Т-43 ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Составитель: Понятов А.А. Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 38 с.

Рецензент: к.э.н., доцент А.Д. Пчелинцев

В методическом пособии содержатся задания по курсу «Математический анализ», составленные в соответствии с программой для студентов экономических специальностей.

Задания, входящие в пособие могут быть использованы на практических занятиях, при проведении самостоятельных и контрольных работ, зачетов и экзаменов по данному курсу, а также для самостоятельной работы студентов.

Ответственный за выпуск:

председатель методической комиссии экономического факультета ННГУ, к.э.н., доцент М.Л. Шилов

УДК 517

ББК 22.11

Содержание

1. Предел функции.....................................................................................	4
1.1. Пределы с неопределенностью / и - ....................................	4
1.2. Вычисление пределов разложением ...............................................	5
1.3. Пределы с иррациональностью .......................................................	6
1.4. Первый замечательный предел........................................................	8
1.5. Второй замечательный предел ........................................................	9
2. Дифференциальное исчисление .......................................................	10
2.1. Производные основных элементарных функций ........................	10
2.2. Правила дифференцирования ........................................................	11
2.3. Производные сложных функций...................................................	12
2.4. Производные от неявно заданных функций ................................	13
2.5. Производные от функций, заданных параметрически................	14
2.6. Правило Лопиталя...........................................................................	15
2.7. Частные производные.....................................................................	16
3. Исследование функции ......................................................................	17
3.1. Исследование функций ..................................................................	17
3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции ...........................	18
4. Неопределенный интеграл ................................................................	19
4.1. Непосредственное интегрирование ..............................................	19
4.2. Интегрирование подстановкой......................................................	20
4.3. Интегрирование по частям.............................................................	21
4.4. Интегралы от дробно-рациональных функций............................	22
4.5. Интегралы от дробно-иррациональных функций .......................	23
4.6. Интегралы от тригонометрических функций ..............................	25
5. Определенные и несобственные интегралы ..................................	26
5.1. Определенные интегралы ..............................................................	26
5.2. Вычисление площади фигуры, ограниченной линиями .............	27
5.3. Несобственные интегралы .............................................................	29
6. Дифференциальные уравнения........................................................	30
6.1. Уравнения с разделяющимися переменными ..............................	30
6.2. Однородные уравнения первого порядка.....................................	31
6.3. Линейные уравнения первого порядка .........................................	32
6.4. Неполные уравнения второго порядка .........................................	32
6.5. Линейное уравнение второго порядка ..........................................	33
6.6. Системы уравнений первого порядка ...........................................	34
7. Ряды .......................................................................................................	35
7.1. Исследование сходимости числовых рядов .................................	35
7.2. Нахождение области сходимости степенного ряда.....................	36
Литература................................................................................................	38
3

Раздел 1. Предел функции

В заданиях этого раздела необходимо вычислить пределы без использования правила Лопиталя.

1.1. Пределы с неопределенностью / и -

lim

5 2x 2x 2

x 2

3x 1

lim

7x5 4x3 2

lim

x2 2x4

9x6

3x 5x

lim

2x 4x2

8x3

4x 6x

lim

2x7 7x6 3x5

x 3x2 5x3

11. limx 3x5 2x 5

7x4 3x 7 13. limx 3x3 4x2 1

23x2 7x3

15.limx 5 4x2 5x3

4x4 2x3 5x

17.limx 6x4 3x2 11

4x2 5x 4 19. limx 2x3 2x 1

3x8 5x6 x5

21. limx 4x8 6x5 x4

x2 5x 1

23. limx 3x3 5x 4

3x2 7x 3 25. limx 2x2 x 1

2.	lim	3x2 x 4
2.	lim		2x 8x								2
	x 3		2x 8x
			3x					3			x	2
4.	lim		3x								x
				2
				2		4				x 2
	x x					4				x 2
6.	lim	4x2 2x 1
6.	lim				2		x 2
	x 3x						x 2
			4x					3
								3
	lim								2x
8.				2
8.				2		3
	x x					3

72x 4x2

10.limx x2 4x 3

		x4		x2
12.
		3
	lim			2x 1
	x x		5

14.

lim

3x2 3x 1

3x 5

x 2x

2x2

16.

lim

3x 1

x x

18.

lim

2 x 5x3

x 4 x

20.

lim

5x2 5x 4

22.

lim

x2 9x 1

2x 8

24.

lim

7x2 2x 8

5x 2

5x3

26.

lim

x x

27.	lim	7x3	2x 1	28.	lim	3x2 6x 4
			4x 3			5x2 x
	x 5x2				x

29.	lim	8x2	3x 10		30.	lim	3x x2 4
		x	3	125				2	2x 8
	x					x x

31. lim

3x2 2x

32. lim

5x2 2x 1

x 1

33. lim

12 x x2

34. lim

5x2 5x 2

8x 3

x 6

6x2

3x2 15x 25

35. lim

36. lim

5 4x

37. lim

5x2 2x 1

38. lim

3x2 15x 25

5 4x

39. lim

5 x 4x2

40. lim

2x2 9x 9

5x 6

1.2. Вычисление пределов разложением

lim

x2 2x 8

lim

x3 3x2 2x

x 6

x 2

x2 3x 10

lim

4. lim

125

x 3

x 5

lim

3x2 5x 2

6. lim

x2 7x 10

x 6

9x 20

x 2

x 5

lim

4x2 7x 3

8. lim

x2 2x 1

2x 1

x 1

x 1 2x

x2 2x 3

lim

10.

lim

x 1

x 1 x

x 3

x2 2x 1

11.

lim

12.

lim

x 1

x 2 x

13.

lim

4x2 7x 3

14.

lim

3x2 4x 4

x 1

x 2

15.

lim

2x2 15x 25

16.

lim

5x2 24x 5

5 4x x

3x 10

x 5

37. lim

x 1

39. lim

x 5

5x x2 4

17. lim x2 2x 8

x 4

19.

lim

2x2 9x 9

5x 6

x 3

21.

lim

3x2 2x 1

4x 3

x 1

23.

lim

6 x x2

8x 3

x 3 3x

25.

lim

x2 2x 8

8 x

x 2

27.

lim

x3 1

4x 1

x 1

x2 3x 2


29. lim
				x		2	1
x 1
31. lim	3x2 5x 2
	x	2	3x 10
x 2
33. lim	3x2 8x 4
	5x		2	14x 8
x 2
35. lim	3x2 22x 24
	2x			2	9x 18
x 6

x4 1

2x4 x2 1

3x2 19x 20

x2 2x 15

18.	lim	3x2	4x 4
		x	2	2x
	x 2

20.

lim

x2 9

2x 3

x 3

22.

lim

x2 x 2

x 1

24.

lim

2x2 5x 12

x 4

26.

lim

x3 x

x 1

28.

lim

x3 8

x 2

30.

lim

x2 3x 4

x2 x

x 1

32. lim

4x2 7x 2

11x 2

x 2

34. lim

3x2 x 2

6x 1

x 1

36. lim

2x2 7x 6

6x 8

x 2

38. lim

3x2 7x 6

x 15

x 3

40.

lim

3x2 16x 5

17x 10

x 5

1.3. Пределы с иррациональностью

lim

4x 4

8 x 3

x 1

lim

x 1

lim

5 x

x 0


2.	lim	x 3 2		x

			x 1
	x 1		x 1

4.	lim		x2 1	x2 3x
	x

6. xlim x x2 2x

7. lim

3 x 3 x

x 0

9. lim

6x 1 5

x 4

11.

lim

1 x 3

x 8

13.

lim

7 x 7 x

x 0

lim

15.

17.

lim

x 1

x2 1

x 1

19.

lim

5 x 3

x 4

21.

lim

4 x2 2

x 0

23.

lim

3 x 3

x 6

25.

lim

5 x 2

2 x 1

x 1

27.

lim

x 4 3

5 x

x 5

29.

lim

5x 1 3

2 x

x 2

lim

5x 4

31. x 1

x3 1

33. lim

3x 4 2 x

x 4

35. lim

x 1

37. lim

x 3

3x 2

x 9 5


8.	lim		4x x

		x		2	16
	x 4

10.

lim

7 x

x 0

lim

12.

x2 3

14.

lim

x 2 1

x2 9

x 3

lim

16.

x 1

lim

18.

x2 x 1

x2 x

20.

lim

4 x

x 0

22.

lim

3 x

x 0

24.

lim

4x 5

26.

lim

x2 7 3

x 4

28.

lim

2x 1

x 4

2x 8

30.

lim

2x 5 1

x2 9

x 3

32. lim

2x 2 4

x 3

x 9

34. lim

4 x 3

3x 1 4

x 5

36. lim

x 1

3 x

5 x

x 1

38. lim

x 10 4

6 x

x 6

2 x

lim

3x 2 2

40. lim

39. x 2

x 11 x

x 2

1.4. Первый замечательный предел

Вычислить пределы, используя первый замечательный предел.

1. lim

tg9x

lim

sin3 3x

4. x 0

7. lim

9x cos x

sin 4x

10.

lim ctg 5x x

x 0

13.

lim

ctg 2x

x 0 ctg 5x

16. lim

tg 2x

x 0

19.

lim

sin 5x

x 0 tg 7x

22. lim

sin 2 3x

tg5x

x 0

25. lim

tg5x

tg 6x

x 0

28. lim

1 cos x

x sin x

x 0

31. lim

10x2

1 cos x

x 0

34. lim

8x2

x 0 sin

37. lim

1 cos 4x

x 0

2. lim

1 cos2 5x

3. lim

sin2 5x

x 0 sin 4x sin 3x

7x2 cos 2x

sin

5. lim

6. lim

sin 4x

x 0

8. lim

sin 7x

9. lim

cos x cos5 x

x 0

11.

lim 3x ctg

12.

lim tg3x ctg 4x

x 0

14.

lim

tg5x

15.

lim

sin2 3x

ctg 3x

x 0

17. lim

7x3

18.

lim

1 cos2 7x

1 cos

x 0

20.

lim

xtgx

21.

lim

2x2

1 cos x

1 cos

x 0

23. lim ctg 6x x2

24.

lim

1 cos 7x

1 cos 5x

x 0

26. lim

2x sin x

27.

lim

3x3 7x2

1 cos x

1 cos 6x

x 0

29. lim

3x2 5x

30.

lim

1 cos2 x

sin 3x

x sin 4x

x 0

lim

2x2

lim

sin 3x sin 5x

tg 2 x 3

32. x 0

33. x 0

35. lim x2ctg 2 3x

36. lim

tg 2 3x

10x

x 0

38. lim

cos x cos x

x 0

39. lim	3xtgx			40.	lim	cos 3x cos 5x

	sin	2	x			3x	2
x 0					x 0

1.5. Второй замечательный предел

Вычислить пределы, используя второй замечательный предел.

x 1 3 x

4x 1

1 2 x

1 x

lim

lim 1

x x 3

x 4x 3

x 3

3x 1

1 x 2

2 x 1

2x 6

x 1

5x 2

lim

x 2x 2

x x

x 5x 5

2x 6 4 x

5x 3

4 2 x

1 x 3 x

lim

x 2x 2

x 5x 4

x 3 x

2 x

x 5 3x

4x 1 2 x

10.

lim 1

11. lim

12.

lim

x 2

5 2x 3x

x2 2

3x 2

13. lim

14.

15.

lim 1

lim

x 3 2x

x x

2 x

2x 5

x 2

x2 1

16.

lim

17.

lim

18.

lim

5 x

x 2x

x x

1 x 2 x

2 x

4x 4 2 x 3

19.

lim

20.

lim

21.

lim

2 x

4x 2

3x 3 3 x

x 1

3 2x x 2

22.

lim

23.

lim

24.

lim

4 2x

4 3x

x 3

x 2

3 x 2

25.

lim

27.

26. lim

lim

2 3x

1 x

x 2

3x 2

2 x 1

1 2 x

28.

29.

lim

30. lim 1

lim

2 x

x 3x 5

2x 1 2 x

3x 1 1 x

3 1 x

31.

lim

32.

lim

33.

lim 1

x 3x 3

2 x 1

1 x 2

2 x 1

x 6

4x 2

34.

lim

35.

36.

lim

x x 2

x x

4x 5

3x 3 2 2 x

2x 5

4 x

2 x

37.

lim

38.

lim

39.

lim 1

3x 4

x 2x 1

Раздел 2. Дифференциальное исчисление

2.1. Производные основных элементарных функций

Найти первую, вторую производные функции и дифференциал.

1.	y	x4	3ln x 6sin x 2			2.	y	2x5		4ex cos x 1
								3
	4
3.	y 5x			2	7tg x 2	4.	y	5		2ctg x ex 3
				2
									x
				x

																			y	x2					2x arctg x 5
5.	y arcsin x 23									x 3ln x 5								6.		x2
5.	y arcsin x 23									x 3ln x 5								6.
																					3
																			y 1							2					3arctg x 6x
7.	y	7			x ln x 2cos x													8.								2
																								3
																											x
																											x
	y 3sin x						5			log2 x 9
9.							5											10.	y 2tgx 3ex														3 x5


								x3
				4				x3
											2
	y 7sin x						5ex				2			e					y					x				ctgx log3								x 2
11.																		12.						x
11.																		12.					3
										5		x2											3
	y ln x 25									sin x 2									y 3ex											4		cos x 2
13.								x3										14.												4


																															3 x
15.	y 1		cos x					4x4			7x							16.	y log4									x 6tgx 4x3 5
15.	y 1							4x4			7x							16.	y log4									x 6tgx 4x3 5
				4
17.	y	ex			ln	x			arctg x 3									18.	y 2x4									ctg x 8x 9

		5
		5		3
19. y 9 log4 x sin x																2		20.	y tgx												1			1	ln x 3
															3																1			1

																	x
																	x													2x			3
													ln x						y			tgx ln x 3x 6
21.	y arccos x 24 x												ln x			1		22.				tgx ln x 3x 6
21.	y arccos x 24 x												4			1		22.											4
													4																4
																		10

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.11.2019188.08 Кб24Технологическая часть.docx
#
27.03.2015210.43 Кб51технология 2 класс Роговцева.doc
#
19.09.2019268.8 Кб1Технология подготовки электронных документов.doc
#
13.11.201950.47 Кб1Техносфера в человеческом измерении.docx
#
10.08.2019138.24 Кб3Ти́тмар Мерзебу́ргский.doc
#
27.03.20151.38 Mб5Типовые нормы. Понятов.pdf
#
27.03.201519.97 Кб40Типология стран.docx
#
27.03.201517.02 Кб25Титульник для тетради.docx
#
11.03.201625.09 Кб44Титульник на курсовую ннгу.doc
#
11.03.201626.11 Кб31Титульный лист (АФ).doc
#
27.03.201526.62 Кб13Титульный лист к дипломной работе.doc