Vybzad

9

Задача 1. Для изучения оснащения заводов основными производственными фондами было проведено десяти процентное выборочное обследование, в результате которого получены следующие данные:

• на 5 заводах среднегодовая стоимость основных производственных фондов была не более 2 млн.руб.;

• на 12 – от 2 до 4 млн.руб.,

• на 23 – от 4 до 6 млн.руб.,

• и на 10 – свыше 6 млн.руб.

Требуется определить:

1. с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных произ­водственных фондов всех заводов генеральной совокупности;

2. с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находить­ся удельный вес заводов со стоимостью основных производ­ственных фондов свыше 4 млн. руб.

Решение. 1. Предельная ошибка выборки (ошибка репре­зентативности) исчисляется по формуле:

,

где: μ – средняя ошибка репрезентативности;

t – коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке;

- дисперсия;

n – объём выборочной совокупности;

N – объём генеральной совокупности.

Для определения границ генеральной средней необходимо исчислить среднюю выборочную и дисперсию .

По формуле среднего квадрата отклонений

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб. x	Число заводов f	Середина интервала x	x f
до 2	5	1	5	-3,52	12,39	61,95
2-4	12	3	36	-1,52	2,31	27,72
4-6	23	5	115	0,48	0,23	5,29
свыше 6	10	7	70	2,48	6,15	61,5
	50		226			156,46

Тогда:

млн.руб.

По формуле дисперсии как разности среднего квадрата и квадрата средней

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб. x	Число заводов f	Середина интервала x
До 2	5	1	5	5
2-4	12	3	36	108
4-6	23	5	115	575
свыше 6	10	7	70	490
	50		226	1178

Тогда

По способу моментов

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб. x	Число заводов f	Середина интервала x
до 2	5	1	-4	-2	-10	20
2-4	12	3	-2	-1	-12	12
4-6	23	5	0	0	0	0
свыше 6	10	7	2	1	10	10
	50				-12	42

Тогда млн.руб.

Или без включения в формулу величины интервала

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн.руб. x	Число заводов f	Середина интервала x
До 2	5	1	-4	-20	80
2-4	12	3	-2	-24	48
4-6	23	5	0	0	0
свыше 6	10	7	2	20	40
	50			-24	168

Тогда млн.руб.

Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:

• при повторном отборе

• при бесповторном отборе

значение коэффициента t находят по специальной таблице, исходя из заданной вероятности F(t). при вероятности 0,997 имеем t=3. тогда предельная ошибка выборки будет:

• при повторном отборе млн.руб.

• при бесповторном отборе млн.руб.

границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных произ­водственных фондов всех заводов генеральной совокупности, записываются в виде доверительного интервала:

Тогда в нашей задаче имеем:

, т.е.

(млн.руб.)

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднегодовая стоимость основных произ­водственных фондов всех заводов генеральной совокупности будет находиться в пределах между 3,77 и 5,27 млн.руб. это в случае повторного отбора, а при бесповторном имеем:

, т.е.

(млн.руб.)

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднегодовая стоимость основных произ­водственных фондов всех заводов генеральной совокупности будет находиться в пределах между 3,8и 5,24 млн.руб.

2. вычисление пределов при установлении доли можно представить следующим образом:

,

где р – доля единиц генеральной совокупности, обладающих данным альтернативным признаком;

w - доля единиц выборочной совокупности, обладающих данным альтернативным признаком.

Доля заводов со стоимостью основных производ­ственных фондов свыше 4 млн. руб. в выборочной совокупности составляет: %. значение коэффициента t находят по специальной таблице, исходя из заданной вероятности F(t). при вероятности 0,954 имеем t=2.

Предельная ошибка доли:

• при повторном отборе или 13,4%

• при бесповторном отборе или 12,7%

доверительный интервал:

• при повторном отборе ,т.е (%)

с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля заводов генеральной совокупности со среднегодовой стоимостью основных фондов свыше 4 млн.руб. колеблется в пределах от 52,6 до 79,4%.

• при бесповторном отборе ,т.е (%)

с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля заводов генеральной совокупности со среднегодовой стоимостью основных фондов свыше 4 млн.руб. колеблется в пределах от 53,3 до 78,7%.

Задача 2. На заводе 1000 рабочих вырабатывают одноимен­ную продукцию. Из них со стажем работы до пяти лет тру­дятся 400 чел, а более пяти лет - 600 чел. Для изучения среднегодовой выработки и установления доли квалифици­рованных рабочих проведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности рабочих по указанным группам (внутри групп применялся случайный метод отбора).

На основе обследования получены следующие данные:

Группы рабочих по стажу работы, лет	Число обследованных рабочих, чел	Среднедневная выработка, шт.	Среднее квадратическое отклонение выработки, шт.	Число квалифици-рованных рабочих, чел.
до 5	40	25	9	32
свыше 5	60	30	8	54
итого	100	-	-

Определить:

1. с вероятностью 0,954 границы, в которых будет находиться среднедневная выработка всех рабочих завода;

2. с той же вероятностью пределы доли квалифицированных рабочих в общей численности рабочих завода.

Решение. Средняя ошибка типической (районированной) выборки определяется по формуле:

,

где - средняя из групповых дисперсий, вычисляемая по формуле средней арифметической взвешенной:

Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе равна:

шт.,

тогда предельная ошибка шт.

для нахождения возможных пределов среднедневной выработки всех рабочих завода первоначально нужно исчислить среднедневную выработку в выборочной совокупности. Это делается по формуле средней арифметической взвешенной:

шт.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднедневная выработка всех рабочих завода колеблется в пределах:

,

т.е. (шт.)

2. Средняя ошибка репрезентативности для доли альтернативного признака исчисляется по формуле:

,

т.е. средняя из групповых дисперсий рассчитывается по альтернативному признаку в выборочной совокупности. Эта величина определяется по формуле:

.

Расчёт сведём в таблицу:

Группы рабочих по стажу работы, лет	Число обследованных рабочих, чел f	Доля квалифици-рованных рабочих, чел. w	Доля низко-квалифици-рованных рабочих, чел. (1-w)
до 5	40	0,8	0,2	0,16	6,4
свыше 5	60	0,9	0,1	0,09	5,4
итого	100	-	-		11,8

Тогда , и средняя ошибка , или 3,2%, предельная ошибка будет вдвое больше: , или 6,4%.

Теперь определим среднюю долю для выборочной совокупности:

, или 86%.

Отсюда:

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля квалифицированных рабочих завода колеблется в пределах:

(%).

Задача 3. С целью определения среднего эксплуатационного пробега 10000 шин легковых автомобилей, распределенных на партии по 100 шт., проводится серийная 4%-ная беспов­торная выборка. Результаты испытания отобранных шин ха­рактеризуются следующими данными:

показатели	Партии
	I	II	III	IV
Средний эксплуатационный пробег шин, тыс.км.	40	42	45	48
Доля шин с пробегом не менее 42 тыс.км.	0,8	0,85	0,9	0,95

Определить: с вероятностью 0,954 пределы, в которых будет находиться: а) средний эксплуа­тационный пробег всех обследуемых шин; б) доля шин, про­бег которых не менее 42 тыс.км., в генеральной совокупности.

Решение. 1) При бесповторном отборе серий средняя ошибка репрезентативности определяется по формуле:

Сначала исчислим обобщающие показатели.

Средний эксплуатационный пробег шин:

тыс.км.

Средняя доля шин с пробегом не менее 42 тыс.км.:

(87,5%)

Межсерийная дисперсия – это дисперсия групповых средней от общей средней:

Применительно к доле это выглядит следующим образом:

Для расчёта межсерийных дисперсий построим таблицу:

№ партии	Средний пробег шин, тыс.км.			Доля шин с пробегом не менее 42 тыс.км.
I	40	-3,75	14,0625	0,8	-0,075	0,005625
II	42	-1,75	3,0625	0,85	-0,025	0,000625
III	45	1,25	1,5625	0,9	0,025	0,000625
IV	48	4,25	18,0625	0,95	0,075	0,005625
Итого			36,75			0,0125

Тогда:

Средние ошибки репрезентативности:

• для средней-

тыс.км.

• для доли –

(2,74%)

Предельные ошибки репрезентативности:

• для средней-

тыс.км.

• для доли –

Отсюда средний эксплуатационный пробег всех обследуемых шин будет находиться в пределах:

, или (тыс.км.)

Доля шин с пробегом не менее 42 тыс.км будет находиться в пределах:

, или %