Централизованное тестирование 2000 год (20 заданий) %

(Демонстрационный вариант. Только степенная и логарифмическая функции)

УЭ	1 вар	2 вар	3 вар	4 вар	5 вар	6 вар	7 вар	8 вар	9 вар	10 вар
Степенная функция
Произведение и частное степеней с одинаковыми основаниями ав. ас=ав+с ; ав.: ас=ав-с		5			5		5
Возведение степени m в степень n (ав)с=авс
Степень произведения и частного (а.в)с=ас.вс ; (а:в)с=ас. : вс	5	5	5	5		10	15	15	5	10
Корень из степени (а)с=ас							5
Корень из произведения и частного а. в=а.в; а. в=а:.в	5	10	10	10	15	10		15	15	20
Логарифмическая функция
Логарифм произведения, частного и сумма, разность логарифмов logabc= logab  logac				5
Логарифм частного и разность логарифмов logab:с= logab- logaс	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5
Логарифм степени и произведение числа и логарифма logabс=с logab	5	5		10	5	5		10	5	10
Формула перехода от одного основания логарифма к другому logab= logсb/logca	10	5	5	5		5	10	5	10	5
Основное логарифмическое тождество a logab= b

• Если в задании проверяется владение каким-либо свойством функции, то фиксируется и свойство функции, и наличие этой функции.

• При композициях типа: cos2= cos²-sin², учитывается как наличие тригонометрической, так и степенной функции.

• При решении уравнений, например log₂(x+1)=4; → 2⁴=x+1, учитывается и наличие степенной функции.

При этом пренебрегается неоднозначностью, которая связанна с тем, что уравнение такого типа можно решать, используя теорему Виета.

Далее, на пересечении строчки и столбца ставится единица, если учебный элемент используется в данном тестовом задании хотя бы один раз. Если данный УЭ используется в задании неоднократно, то и в этом случае на пересечении строчки и столбца ставится единица³. Отсутствие единицы в ячейке означает отсутствие использования данного УЭ в задании.

Сумма единиц по строкам определяет число использования данного УЭ в конкретном варианте. Отношение этого числа к общему числу заданий в варианте, выраженная в процентах, характеризует частотность использования данного УЭ в исследуемом варианте теста.

Определенная сложность в проведении анализа заключается в возможности решения тестового задания несколькими способами, вызывая тем самым неоднозначность в фиксации количества используемых учебных элементов. Предпочтение в этом случае отдается решению задания с меньшим числом действий, которые приводят к правильному ответу.

Представляя результаты частотного анализа тестов, следует сказать, что их репрезентативность дифференцирована количеством рассмотренных вариантов. Наиболее полно представлены тесты ЦТ, а тесты ЕГЭ 2002 и 2003 представлены только демонстрационными вариантами, что существенно ограничивает представительность полученных результатов.

Не забывая выше сказанное, опишем полученные результаты:

Средний процент использования четырех элементарных функций во всех вариантах рассмотренных типов тестов (ЕГЭ и ЦТ) равен 121,12% от общего числа заданий⁴ при относительно небольшом стандартном отклонении от среднего [52] S= 7,01, которое характеризует разброс значений в рассмотренных типах тестов. Такой высокий процент использования элементарных функций соответствует интуитивно определяемому уровню их значимости. Так же непротиворечиво воспринимается приоритет частотности степенной функции – 74,29% от общего числа заданий (S = 8,47) и 61,3% от средней общей частотности использования функций. Следующей по частотности идет совокупность тригонометрических функций – 21,69 (S = 4,89) и 17,9% от средней общей частотности использования функций. Частотности показательной (среднее – 11,62; S= 4,38; 9,6% от средней общей частотности использования функций) и логарифмической функций (среднее – 13,52; S= 4,11; 11,2% от средней общей частотности использования функций) в целом совместимы с интуитивным представлением об их значимости в школьной математике. При анализе частотности использования свойств функций (см. табл. 2) возникает вопрос об одинаковой валидности содержания вариантов тестов ЦТ, что, в свою очередь, ставит вопрос о параллельности вариантов тестирования. Аналогичный вопрос, с меньшим уровнем репрезентативности, но с большими разбросами данных по вариантам, возникает и при анализе содержания ЕГЭ.

Статистический анализ различий частотности использования функций по критерию Манна-Уитни (уровень статистической значимости р  0,05) [138] позволяет установить равнозначность суммарной (по всем четырем функциям) частотности их использования в тестах ЦТ и ЕГЭ. При этом одинаково часто используются логарифмическая и тригонометрические функции, степенная функция чаще используется в ЦТ, а показательная в ЕГЭ.

В столбцах таблицы 3 приведены частотности использования соответствующих свойств функций, просуммированные по всем вариантам тестов ЦТ (19)99; ЦТ (20)00; ЦТ (20)02 и ЕГЭ01 - 03. Анализ суммарной частотности использования всех обозначенных свойств каждой функции позволяет установить (по критерию Манна-Уитни [138]) равнозначность использования в ЦТ и ЕГЭ свойств степенной, логарифмической и тригонометрических, хотя в ЕГЭ статистически значимый приоритет (уровень статистической значимости р  0,05) отдан логарифмам произведения (частного) и суммы (разности) логарифмов (log_abc= log_ab  log_ac) при равнозначности других свойств, а в ЦТ аналогичная ситуация со свойством: «Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом (котангенсом) одного и того же аргумента».

Обращаясь к анализу данных таблицы 3, напомним, что частотность использования свойств функций пропорциональна необходимости их запоминания или (что проблематично по затратам времени!) их быстрому получению из определения функции и связей соответствующих свойств.

Из данных таблицы 3 видно, что наименьшая частотность использования свойств связанных между собою степенной, показательной и логарифмической функций принадлежит показательной функции. Это можно признать целесообразным исходя из общности свойств степенной и показательной функций, если предполагать, что такая общность (корреляция) фиксируется по результатам тестирования. Но даже предположение о наблюдаемой общности свойств степенной и показательной функций не оправдывают нулевую частотность использования свойств показательной функции в тестах ЕГЭ.

Таблица 3.

Суммарная по вариантам частотность свойств функций

Степенная функция	ЦТ 99	ЦТ 00	ЦТ 02	ЕГЭ 01	ЕГЭ 02	ЕГЭ 03	Среднее
Произведение и частное степеней с одинаковыми основаниями ав. ас=ав+с ав.: ас=ав-с	8	2	4	3	8	14	6,50
Возведение степени m в степень n (ав)с=авс	7	0	3	6	8	3	4,50
Степень произведения и частного (а.в)с=ас.вс ; (а:в)с=ас. : вс	9	8	1	3	0	0	3,50
Корень из степени (а)с=ас	0	1	0	3	0	3	1,17
Корень из произведения и частного а. в=а.в; а: в=а:в	2	12	3	2	0	0	3,17
Показательная функция	ЦТ 99	ЦТ 00	ЦТ 02	ЕГЭ 01	ЕГЭ 02	ЕГЭ 03	Среднее
Произведение и частное степеней с одинаковыми основаниями ах. аy=аx+y аx: аy=аx-y	2	2	3	0	0	0	1,17
Возведение степени x в степень y (аx)y=аxy	2	0	2	0	0	0	0,67
Степень произведения, частного (а.в)x=аx.вx ; (а:в)x=аx :вx	0	0	2	0	0	0	0,33
Логарифмическая функция	ЦТ 99	ЦТ 00	ЦТ 02	ЕГЭ 01	ЕГЭ 02	ЕГЭ 03	Среднее
Логарифм произведения (частного) и сумма (разность) логарифмов logabc= logab+ logac; logab:с= logab - logaс	0	6	1	4	4	3	3,00
Логарифм степени и произведение числа и логарифма logabс=с logab	0	6	4	6	4	7	4,50
Формула перехода от одного основания логарифма к другому logab= logсb/logca	2	6	0	0	0	0	1,33
Основное логарифмическое тождество a logab= b	4	0	2	3	4	3	2,67
Тригонометрическая функция	ЦТ 99	ЦТ 00	ЦТ 02	ЕГЭ 01	ЕГЭ 02	ЕГЭ 03	Среднее
Основное тригонометрическое тождество	6	1	5	4	0	3	3,17
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом (котангенсом) одного и того же аргумента	2	2	0	0	0	0	0,67
Сумма, разность аргументов функций	3	6	0	3	4	3	3,17
Использование функций кратных аргументов	0	5	1	7	8	3	4,00
Использование функций половинного аргумента	1	3	0	0	0	0	0,67
Определение tg & ctg через Sin & Cos	2	2	1	1	0	0	1,00
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение	4	1	0	1	0	0	1,00
Формулы приведения	2	1	4	6	4	7	4,00

Нулевая частотность использования свойства «Формула перехода от одного основания логарифма к другому log_ab= log_сb/log_ca» в тестах ЕГЭ могла бы быть оправдана сложностью припоминания этого отношения, но оно легко воспроизводится из определения логарифма log_ab = с как b = a^c . Аналогично простые связи существуют между свойствами тригонометрических функций. Так из свойства «Сумма, разность аргументов функций» легко воспроизводятся свойства тригонометрических функций кратных и половинных аргументов. К сожалению, увидеть выявления таких связей в полученных нами данных невозможно, даже если они тестах ЦТ и ЕГЭ заложены.

Наибольшая средняя частотность (4,0) использования функций кратных аргументов и формул приведения, которые, согласно анализу структурно-логических схем (рис. 7), не являются первичными, что свидетельствует об избыточности запоминаемых УЭ в тестах ЦТ и ЕГЭ.

Как видно из представленной структурно-логической схемы формулы приведения, также как вид функций кратных аргументов могут быть получены из выражений для синуса, косинуса суммы / разности аргументов, но при условии припоминания значений этих функции при аргументах: π/6; π/4; π/3; π/2; π или предоставления испытуемому этих значений в тексте теста (что осуществлено в варианте ЕГЭ 2004 г.).

Статистический анализ изменений частотности использования функций и их свойств по критерию знаков [138] позволил установить следующее:

Частотность использования функций в пределах рассматриваемых временных промежутков в целом возрастает (уровень статистической значимости р 0,01).

Таблица 4

Дифференцированный уровень изменений частотности использования свойств функций за анализируемый промежуток времени

Частотность свойств функций	ЦТ (99; 00; 02)	ЕГЭ (01 – 03)
Свойств степенной функции	Убывает (р 0,01)	Убывает (р 0,01)
Свойств показательной функции	Возрастает (р 0,05)	Стабильно (нулевые)
Свойств логарифмической функции	Стабильны	Убывает (р 0,01)
Свойств тригонометрических функций	Убывает (р 0,01)	Убывает (р 0,01)

Приведенные данные свидетельствуют о некоторых противоречиях. Так использование функций в целом возрастает, а использование их свойств, определяющих эти функции, в основном убывает. В ЕГЭ показательная функция используется чаще, чем в ЦТ, а ее свойства имеют стабильную нулевую частотность.

С целью определения мнения представителей профессионального сообщества о значимости УЭ, входящих в множество определений и свойств четырех элементарных функций, в 2004 году проводилось анкетирование преподавателей математики Волжской государственной инженерно-педагогической академии [39]. По результатам анкетирования предлагалось зафиксировать мнение преподавателей относительно наиболее значимых базовых определений, свойств и соотношений функций, которые выпускник школы должен запомнить и уметь использовать, опираясь только на собственную память (см. Приложение 2). При максимально возможной оценке значимости в 5 баллов, в среднем, значимость большинства учебных элементов была оценена экспертами выше 3,98 при стандартном отклонении равном 0,96.

Большинство преподавателей высшей математики (особенно с большим стажем работы) считают необходимым запоминание и использование, опирающееся только на собственную память, более 50 определений, свойств и соотношений из 57 предложенных УЭ элементарных функций. Несмотря на малый объем выборки, представленные результаты достаточно убедительно демонстрируют характерные тенденции в установлении приоритета запоминания большого количества учебных элементов (репродуктивной деятельности учащихся).

Приведенные выше результаты оценки объема запоминаемых УЭ, принадлежащих массиву определений и свойств четырех элементарных функций содержания математики уровня общего полного образования свидетельствуют о его неоправданно большой величине. При этом вполне логично попытаться получить ответ на следующие вопросы:

• насколько успешно выпускники полного общего образования могут узнать и воспроизвести определения и основные свойства этих функций;

• насколько успешно они могут использовать определения функций при решении простейших задач;

• насколько системно они владеют содержанием, чтобы использовать связи между определениями и базовыми свойствами функций при получении с помощью простых действий вторичных по значимости соотношений из первичных?

Считая, что именно связи между свойствами функций наиболее значимы, мы провели пилотный анализ наличия таких связей на малых выборках студентов гуманитариев Волжской государственной инженерно-педагогической академии и Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Полученные результаты показывают, что предполагаемые связи свойств у наших испытуемых практически отсутствуют. А именно, были проведены в два срока – март и сентябрь 2003 г. - оценочные работы в тестовом виде, позволяющие оценить владение определениями и основными свойствами функций без использования внешних источников информации [30, 34, 40].

Инструментарий опроса представлял собой пакет документов, включающий: набор тестовых заданий для учащихся, инструкцию по проведению опроса и матрицы фиксированию результатов опроса (см. Приложение 3).

Набор тестовых заданий включал 4 равноценных по содержанию варианта комплекта заданий в тестовой форме, из них 30 заданий первой части опроса и 15 заданий второй части опроса. Сюжет же задач этих комплектов и их сложность (т.е. число логических шагов или умственных операций, которые необходимо реализовать при выполнении задания) оставались неизменными.

Задания первой части опроса были составлены в тестовой форме «закрытого» типа, т.е. с выбором одного правильного ответа из пяти предложенных, включая такой ответ, как “верного решения нет”. Для выполнения заданий опроса необходимо выполнить 1-3 промежуточных операции, т.е. проверялось владение определениями и свойствами элементарных функций на простейшем уровне. Например, найдите значение выражения log₃81 и даны пять ответов: 4, 9, 3, 2 и «верного ответа нет». Таким образом, для успешного выполнения заданий достаточно деятельностно владеть, уметь использовать освоенными на уровне понимания определениями и типовыми свойствами степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций. При этом предполагается, что указанные элементы извлекаются из памяти испытуемого, а лимит времени жестко ограничен одним академическим часом, т.е. на выполнение каждого задания в среднем отводится 1,5 минуты.

Задания второй части опроса были составлены в тестовой форме «открытого» типа, т.е. предполагали достаточно произвольный (с учетом математики) ответ на поставленный вопрос. Задания состояли из трех частей:

• в первой части задания предлагалось выполнить простые вычисления, опирающиеся на понимание определений и свойств функций;

• во второй части необходимо записать типичные для школьной математики выражения типа: Sin(α+β) или Cos2α, Sin2β;

• в третьей части задания нужно было обосновать, получить типовые соотношения, представить алгоритм получения типовых соотношений, используя другие известные студентам по школьной программе, определения и свойства функций.

Время выполнения второй части опроса также не более 45 минут.

Оценка успешности выполнения задания носила дихотомический характер: либо 0 баллов, если испытуемый неверно выполнил задание, либо 1 балл, если задание выполнено верно.

Анализируя полученные результаты можно отметить, что наиболее успешно опрашиваемые владеют свойствами степенной и показательной функций, а задания из разделов “Логарифмическая функция” и “Тригонометрическая функция” вызывают затруднения, что было учтено при составлении заданий для второго опроса.

В среднем успешность выше у слушателей подготовительных курсов, чуть ниже у студентов ППФ. Наиболее успешно опрашиваемые владеют свойствами степенной и показательной функций.

Наиболее успешно опрашиваемые владеют усвоенными, запомненными определениями и свойствами функций, при этом с меньшим успехом выполняют задания, требующие понимания и обоснования используемых свойств функций, которые следуют непосредственно из их определений.

Например, успешность ответа на вопрос: «Найдите значение выражения: 3^log₃⁷» изменялась от 100% до 87%, а успешность выполнения задания: «Если log_ab=3, то log_ab² = ?» колебалась в интервале от 83 до 33% (среднее: 58%).

Особенно существенна разница в успешности выполнения заданий фиксирующих необходимость записать, опираясь на собственную память, типичные для школьной математики выражения (Например, средняя успешность в задании написать выражение: sin(α+β) – 55%) и вывести - представить алгоритм получения типовых соотношений, используя другие известные студентам по школьной программе, определения и свойства функций (Например, средняя успешность задания «Покажите, что: сos2α=cos²α-sin²α)» - 9%) крайне низка.

Учитывая репрезентативность полученных данных в пределах нашей выборочной совокупности (представительность в каждой из групп выборки менялась в пределах от 62 до 93%, в среднем – 73% по полной выборке), можем зафиксировать, что слушатели подготовительных курсов, студенты первого и третьего курса в оценочных процедурах демонстрируют хорошее узнавание и воспроизведение основных определений и свойств функций и практически полное неумение получать, обосновывать, используя самые простые освоенные операции, из определений и первичных свойств вторичные соотношения. Это свидетельствует о невысоком уровне системности владения содержанием при достаточно успешном его поэлементном припоминании.