Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из системы.
Схема решения:
Выписываем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований сводим ее к ступенчатому виду.
Определяем ранги основной и расширенной матрицы.
Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, то система не совместна, т.е. не имеет решения.
Е
слиr(A)=r(
A
) = n
и равен числу
неизвестных, то система
определенная,
т.е. имеет единственное решение.
С
помощью элементарных преобразований
приводим расширенную матрицу к удобному
для последующего решения виду.
При
помощи расширенной матрицы, полученной
после элементарных преобразований,
записываем
эквивалентную
систему и
решаем ее.Е
слиr(A)=r(
A
) < n,
то в этом
случае система неопределенная, т.е. она
имеет бесконечное множество решений.
При помощи преобразованной расширенной матрицы:
записываем эквивалентную систему по последней матрице,
выбираем основные переменные (коэффициенты при которых входят в базисный минор). Их число будет равно r(A),
оставшиеся переменные будут свободными,
начинаем выражать основные переменные через свободные, придавая свободным переменным произвольные значения,
получим бесконечное множество решений.
За основные переменные принимаются те переменные, коэффициенты при которых образуют базисный минор основной матрицы системы.
Примеры:
x
+ y
= 1 1 1 1 1 1 1
2*x+2*y = 5 A = 2 2 5 ~ 0 0 3 ;
Поскольку
r(
A
) = 2 , r(
A
)=1 - система не имеет решений.
При преобразовании второй строки каждый член второй строки складывали с соответствующим членом первой строки, умноженным на (-2).
2*x+3*y
- z = 1 2 3 -1 1 2 3 -1 1
2*x+4*y+2*z = 2 ; A = 2
4 2 2 ~ 0 1 3 1 ~
3*x - y + z = 4 3 -1 1 4 0 -11 5 5
2
3 -1 1 Посколькуr(
A
) = 3 r(
A
) = 3 и n
= 3
~ 0 1 3 1 система имеет единственное решение.
0 0 38 16
При первом преобразовании:
- каждый элемент второй строки складывали с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-1),
- каждый элемент третьей строки умноженный на (+2) складывали с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-3).
При втором преобразовании:
- каждый элемент третьей строки складывали с соответствующим элементом второй строки умноженным на (11).
2*x1-4*x2+6*x3
-2*x4
= 4 2 -4 6 -2 1
x1 + x2 - x3+2*x4 = 0 ; A = 1 1 -1 2 0 ~
2
-4 6 -2 4
~ 0 -6 8 -6 4
При преобразовании - каждый элемент второй строки умноженный на (-2) складывали с соответствующим элементом первой строки
Поскольку
r(
A
) = r(
A
) = 2 < n
= 4 - система имеет бесконечное множество
решений, - две основные переменные x1
и x2
и две свободные - x3
и x4.
2*x1-4*x2+6*x3
-2*x4
= 4
- 6*x2+8*x3 -6*x4 = 4
2*x1-4*(-2/3+(4/3)*x3-x4)+6*x3 -2*x4 = 4
x2 = -2/3+(4/3)*x3 - x4
2*x1+8/3-16/3 - x3+6*x3 + 4*x4-2*x4 = 4 x1=2/3 –(1/3)*x3-x4
x2 = -2/3+(4/3)*x3-x4 ; x2=-2/3+(4/3)*x3-x4
x3 x4 - свободные переменные. Они могут принимать произвольные значения:
x3 = C1 , x4 = C2, x1=2/3-C1/3-C2, x2=-2/3+(4/3)*C1-C2 , C1,C2 R.