- •14. Прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.
- •16. Взаимное расположение прямой на плоскости.
- •17. Общее уравнение прямой линии на плоскости. Его частные случаи.
- •22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.
- •23. Кривые линии 2-го порядка.
- •24. Парабола и ее свойства.
- •25.Эллипс и его свойства:
- •26. Гипербола и ее свойства.
- •27. Понятие о поверхностях 2-го порядка.
- •28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции.
- •29. Определение пределов последовательности и функции. Основные свойства пределов функции 1-ой переменной.
- •30. Основные теоремы о пределах.
- •31. Первый и второй замечательные пределы.
- •33. Непрерывность функции в точке и на интервале.
- •41. Дифференцирование сложных функций:
- •46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной функции.
- •47. Производная высших порядков функции 1-й переменной.
- •48. Производные 1,2-го порядка неявных функций.
- •49. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала.
- •50. Теорема Ролля.
- •51. Теорема Лагранжа.
- •52. Теорема Коши.
- •53. Необходимые и достаточные признаки монотонности функции:
- •54. Экстремумы функций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции 1-й переменной.
- •55. Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.
- •56. Асимптота графика функции.
- •57. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
- •58. А) Частная производная функции нескольких переменных. Б) Частный и полный дифференциалы.
- •59. Производная 2-го порядка функции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2-х переменных.
- •60. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума функции 2-х переменных.
- •61. Общая схема исследования функции необходима для построения графика.
41. Дифференцирование сложных функций:
Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной. y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx Например:
42. Дифференцирование обратной функции. y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.| Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. xy`=1/yx`. Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов: lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. yx`=1/xy или f`(x)=1/j`(x) Например:
43. Производные степенных и тригонометрических функций.
Основные формулы: 44. Производные обратных тригонометрических функций. Основные формулы
: Для сложных функций:
45. Производные показательных и логарифмических функций. Основные формулы:
Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:
46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной функции.
y=ax - показательная ф-ция, y=xn - степенная, y=xx - показательно-степенная.
y=[f(x)]j(x) - показательно-степенная ф-ция.
lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.
(1/y)*y`=(lny)
(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1
y`=y*(lnx+1)=xx(lnx+1)
Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.
Степенная ф-ция:
1.y=xn, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1
y`=y*n*(x-1)=n*xn*x-1=n*xn-1
2.y=eU, где U=sinx
U`=cosx, y`=(eU)`=eU*U`=esinx*cosx.
47. Производная высших порядков функции 1-й переменной.
y=f(x)
y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)
y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)
f(n)(x)=[f(n-1)(x)]`
48. Производные 1,2-го порядка неявных функций.
Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.
y=f(x), y=x2-1 - явные
F(x,y)=0, a2=x2+y2 - неявные ф-ции.
1)a2=x2+y2 - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.
y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная
y*y`=-x, y`=-x/y
2) x3-3xy+y3=0
3x3-3(xy)`+3y2*y`=0 //:3
x2-(x`y+y`x)+y2*y`=0
y`y2-xy`=y-x2
y`=(y-x2)/(y2-x)
49. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Свойства дифференциала.
limy=A, y=A+a
limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx
Dx®0
Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.
dy=y`Dx
Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.
Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx
Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx
Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx
Св-ва: 1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)
2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
50. Теорема Ролля.
Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.