ТКП - Тема 6

Показником економічності ММ може служити також кількість використовуваних в ній внутрішніх параметрів.

Чим більше параметрів використовується в ММ, тим більше витрати машинної пам'яті і більше зусиль потрібно для отримання чисельних значень параметрів. Всі ці оцінки економічності носять відносний характер і їх значення змінюються із зростанням ефективності засобів обчислювальної техніки.

Ступінь універсальності ММ (інваріантність ММ) визначаються застосовністю до аналізу більш менш численної групи однотипних об'єктів, до їх аналізу в одному або багатьох режимах функціонування. ММ в САПР повинні мати високий ступінь універсальності.

Розглянуті вимоги суперечливі і, щоб їх забезпечити в різних проектних завданнях, доводиться використовувати для одного і того ж елементу різні Мм.

6.1.6 Методи отримання математичних моделей

Кожен об'єкт може бути описаний достатньо великою кількістю Мм. Проте у величезній безлічі можливих ММ можна виділити кінцеву безліч існуючих ММ, створених раніше і не обов'язково для проектування.

У опублікованих роботах можна виділити три групи джерел таких ММ:описи САПР;тематичні монографії;

загальноінженерна література.

Якщо жоден з існуючих ММ не задовольняє розробника, то користувач починає створювати власну.

До створюваної знов моделі пред'являються такі вимоги:

а) формалізація отримання систем рівнянь, що є основою автоматичного отримання рівнянь на ЕОМ; б) отримання ММ, які забезпечують мінімальні обчислювальні витрати на

моделювання і на експлуатацію ЕОМ; в) достатня універсальність, тобто застосовність до більшості способів моделювання.

У загальному випадку процедура отримання ММ елементів включає такі операції:

вибір властивостей об'єкту, що підлягають віддзеркаленню в ММ;збір початкової інформації про вибраний об'єкт проектування;синтез структури ММ;розрахунок чисельних значень параметрів ММ;

оцінка точності і адекватності Мм. Порядок розробки ММ об'єкту як системи:

відбір елементів об'єкту моделювання;встановлення відносин між елементами;

11

групування об'єктів і відносин;вибір класу типових ММ;розробка Мм.

Теоретичні методи отримання ММ базуються на вивченні фізичних закономірностей процесів, що протікають в електромеханічному пристрої, складанні відповідного математичного опису, обгрунтуванні і ухваленні спрощуючих допущень, виконанні необхідних розрахунків і приведенні результату до прийнятої форми представлення моделей.

Експериментальні методи грунтуються на використанні зовнішніх проявів властивостей об'єкту, які фіксуються під час експлуатації або при проведенні експериментів.

Методи отримання ММ різні для різних їх видів. При створенні ММ на мікро рівні використовуються закони фізики з урахуванням необхідності

інтегральні рівняння алгеброю.

Перераховані процедури грунтуються на методах кінцевих різниць і кінцевих елементів.

При моделюванні на макро рівні необхідні компонентні і топологічні рівняння одержують за допомогою електротехнічних методів вузлових потенціалів і контурних струмів, а також змінних стану. Формальна подібність початкових компонентних і топологічних рівнянь в системах різної фізичної природи дозволяє застосовувати їх для моделювання різних

умови дослідження і встановлювати параметри в необхідних межах. У активних експериментах дослідження проводяться по заздалегідь розробленому плану (планування експерименту), який зумовлює кількість досліджень і значення параметрів в кожному експерименті.

Результати експериментів обробляються за допомогою регресійного аналізу і дозволяють одержати ММ у вигляді систем лінійних, або квадратних рівнянь. Опис структур і функцій об'єктів за допомогою висловів, алгебри, грунтується при теоретико-множинному представленні об'єкту проектування і дозволяє розробити єдину систему Мм. В процесі проектування користувач працює з висловами (рівняннями) про певні властивості об'єкту. Отримання висновків про безліч допустимих зв'язків, які витікають з висловів, означає формальний перехід від функцій до структури. При цьому зв'язок окремих висловів за допомогою логічних операторів повинен забезпечувати комплексний опис властивостей об'єкту. При переході до конкретних принципових схем необхідно довести, що існує

12

відповідність між логічними зв'язками висловів і їх технічною інтерпретацією.

Для реалізації структурних ММ чисто використовують графи, матричні і спискові уявлення. Принципова схема легко перетворюється у відповідний граф, якщо елементам схеми поставити у відповідність вершини графа, а з'єднання між елементами – його гілки – зв'язки.

Матриця відповідності (матриця инциндентности) будується таким чином, що її рядки відповідають вершинам, а стовпці – гілками. Елементи матриці аij рівні 1, якщо вітка инциндентна i - тому вузлу, в протилежному випадку – аij=0.

6.1.7 Математичні моделі на ієрархічному рівні В

На рівні проектування базових елементів для електромеханічних пристроїв використовуються розподілені ММ, що є системами диференціальних рівнянь в приватних похідних.

Початкові рівняння. Одним з основних принципів моделювання САПР є наступний: при створенні теоретичних моделей доцільно виходити з основних фізичних законів в їх найбільш «чистому», фундаментальному вигляді. Дотримання цього принципу забезпечує отримання досить універсальних моделей і гарантує від порушення фізичних законів при моделюванні.

До найбільш загальних фундаментальних законів в першу чергу відносяться закони збереження маси, кількості руху, енергії. Загальне формулювання цих законів, що дозволяє перейти до математичних рівнянь, записуються так: зміна в часі деякої субстанції в елементарному об'ємі рівна сумі притоки-стоку цієї субстанції через поверхню елементарного об'єму.

Як субстанція виступають маса, кількість руху, енергія. Це формулювання справедливе і для деяких інших субстанцій, наприклад, кількості елементарних електричних зарядів, кількості теплоти, але при цьому до суми притоки-стоку через поверхню об'єму потрібно додати член, що характеризує швидкість генерації або знищення субстанції в даному об'ємі.

Тоді загальний вид рівнянь, що становлять основу розподілених моделей, буде наступним:

де - деяка фазова змінна, що виражає субстанцію (щільність, енергія і т.п.); J – потік фазової змінної; G – швидкість генерації субстанції; t – час.

Потік фазової змінної є вектор J=(Jx, Jy, Jz), дивергенція цього вектора, як і будь-якого іншого, визначається формулою:

13

divJ J x J y J z

x y z

і характеризує суму притоки-стоку субстанції через поверхню елементарного об'єму.

Рівняння закону збереження маси має вигляд:

де - щільність маси, U – швидкість. У гидроаэродинамике його називають рівнянням нерозривності.

При одновимірному розгляді, коли від нуля швидкість існує тільки в

одному напрямі, наприклад, напрямі осі X, рівняння (6.5) спрощується

( U )t x

Рівняння закону збереження кількості руху (імпульсу) без урахування дій зовнішніх сил в одновимірному наближенні записується у вигляді:

де Р – тиск; U – швидкість. У гидроаэродинамике для ідеальної рідини це рівняння Ейлера.

Рівняння закону збереження енергії:

Уодновимірному випадку

( E) J Et x

Розглянуті рівняння лежать в основі математичних моделей багатьох електротехнічних, механічних, теплотехнічних, гидроаэродинамических пристроїв на ієрархічному рівні В.

Як приклад можна розглянути рівняння теплопровідності.

При проектуванні електромеханічних пристроїв, радіоелектронних і інших пристроїв на рівні В рівняння теплопровідності, що пов'язує зміну температури в часі і просторі з властивостями середовища, грає важливу роль. Рівняння теплопровідності виводиться на основі положення: зміна в часі кількості теплоти в елементарному об'ємі рівна сумі притоки-стоку теплоти і зміни теплоти за рахунок її перетворення в інші види енергії в тому ж об'ємі, тобто рівняння теплопровідності витікає із закону збереження енергії:

14

Q divJQ GQ

t

де Q – це кількість теплоти, - кількість теплоти, що виділяється в одиницю

часу в даному елементарному об'ємі, J Q - вектор щільності теплового потоку.

Позначивши через З питому теплоємність системи, можна пов'язати

ММкомпоненту теплової системи вийде, якщо до рівняння

теплопровідності додати залежність GQ GQ від просторових координат і часу

і сформулювати краєві умови.

Початкові умови мають вид Ф(x,y,z,T)=0 для t=0.

Граничні умови можуть бути декількох типів. Якщо компонент розглядається автономно, то повинна бути задана температура Т П на його

поверхні або щільність теплового потоку на поверхні J QП ; якщо компонент складається з декількох однорідних частин, то всі частини необхідно розглядати спільно.

Проте при моделюванні електромеханічних пристроїв необхідно враховувати і інші види теплообміну. Особливо важлива для трансформаторів з масляним охолоджуванням і інших видів електроустаткування з масляним або рідинним охолоджуванням конвекція.

При конвекції умови теплообміну підкоряються закону Ньютона:

15

теплообміну.

Результат рішення рівняння теплопровідності – отримання температурних полів в твердому телі, на основі яких робляться висновки про працездатність компонентів ОП.

6.1.8Компонентні і топологічні рівняння на ієрархічному рівні Б

ММелементів рівня Б одержують на основі теоретичного підходу. На першому етапі моделювання виділяють елементи шляхом розбиття загальної структури системи (об'єкту) на окремі етапи. На другому етапі переходять до усереднених в межах ділянки значень параметрів і фазових змінних.

Початковими рівняннями для отримання ММ елементів є рівняння попереднього рівня, наприклад (6.5) і рівняння стану типу (6.9). Усереднювання значень параметрів і фазових змінних полягають, перш за все, в заміні приватних похідних на відносини, де l- довжина ділянки

(елементу) у напрямі осі x; 1 , 2 - значення фазової змінної на межах ділянки.

У простих елементах зв'язком між фазовими змінними виражається одним з наступних трьох видів:

де U, I і - фазові змінні (I – фазова змінна типу потоку або струму, - фазова змінна типу потенціалу), R, C, L – внутрішні параметри. У складних елементах ускладнюються і зв'язки між змінними, але в більшості випадків можливо уявлення і цих складніших зв'язків у вигляді сукупності виразів (6.12). Рівняння (6.12) називають компонентними рівняннями. Повні ММ одержують об'єднанням ММ елементів в загальні системи рівнянь. Це виконується на основі фізичних законів, що виражають умови рівноваги і безперервності фазових змінних. Рівняння цих знаків називають топологічними рівняннями. Форма компонентних рівнянь (6.12.) і топологічних рівнянь однакова для більшості систем різної фізичної природи. Ця обуславливает наявність аналогій між різними фізичними системами.

Встановлення аналогій має важливе значення для ефективного використання САПР, оскільки дозволяє одні і ті ж математичні методи застосувати для вирішення багатьох проектних завдань з різним фізичним змістом. Аналогії дозволяють підвищити ступінь універсальності багатьох елементів САПР, зокрема, елементів програмного забезпечення, дозволяючи

16

використовувати програми однієї САПР в інших. Ця ж обставина має велике методологічне значення, оскільки дозволяє висловлювати питання моделювання різних технічних об'єктів з єдиних позицій.

Конкретніше ці положення ілюструються в електромеханіці на прикладі електричних ланцюгів. Основними фазовими змінними цих систем є струми і напруги в елементах (резисторах, конденсаторах, котушках індуктивності, джерелах струму і напруги, трансформаторах і т.д.). Компонентні рівняння елементів мають вигляд:

де I - струм, U - напруга, рівна різниці потенціалів на кінцях елементу, R- сопротивление,C-емкость, L-індуктивність.

Якщо З і L постійні, то

При з'єднанні елементів в електричній схемі утворюється структура, в якій легко розрізняються гілки – самі двополюсні елементи-вузли.

Топологічні рівняння записуються щодо вузлів і контурів, наявних в системі. Роль топологічних рівнянь виконують рівняння законів Кирхгофа:

Рівняння (6.14) по першому закону Кирхгофа записується для будьякого вузла і можуть бути названі рівняннями рівноваги.

Рівняння (6.15) виражають другий закон Кирхгофа і можуть бути названі рівняннями спільності.

У електронних системах до простих елементів додаються складніші (багатополюсні) елементи (біполярні транзистори, МДП-транзистори, тиристори і т.д.). При моделюванні їх необхідне попереднє розділення структури на ділянки з подальшим представленням кожної ділянки сукупністю простих елементів. Таке уявлення звичайно дається за допомогою еквівалентних схем. На мал. 6.2 приведений приклад еквівалентної схеми напівпровідникового діода, де r-об'ємний опір напівпровідникових нейтральних в електричному відношенні областей; I d і З

– відображають електронно-дірковий перехід, а-анод; к-катод.

17

Компонентні рівняння для елементів гнучкості (пружина або стрижень). Якщо на них діють тільки подовжні сили і необхідно моделювати тільки подовжні переміщення, то компонентні рівняння одержують на основі закону Гука.

де механічна напруга, що діє в подовжньому напрямі елементу, l – довжина елементу, l - зміна l під дією напруги ; ю - модуль Юнга ( ю 1к , де до –

коефіцієнт пружності).

FS ,

де F – сила, S – площа поперечного перетину даної елементарної ділянки. Продиференціювавши в часі, одержимо

Перше топологічне рівняння для механічної системи є рівняння рівноваги сил, що діє на дане тіло. Це рівняння виражає принцип Даламбера

Fk 0 ,

і є аналогом першого закону Кирхгофа.

Друге топологічне рівняння для механічної системи виражає принцип складання швидкостей, відповідно до якого сума абсолютної, відносної і переносних швидкостей рівна нулю:

U i 0 .

Це аналог другого закону Кирхгофа. Аналогічний підхід до моделювання механічних обертальних систем, гідравлічних і пневматичних систем.

Теплові системи.

Для цих систем основні фазові змінні – температура Т і тепловий потік g T . При виділенні елементів тверде тіло розбивається на ділянки. Кожна

ділянка характеризується середньою теплоємністю З, зв'язок між приростом кількості теплоти d в елементі і приростом температури dT виражається так:

d Q =C T dT .

тут CT - аналог електричної місткості.

19

Кожна ділянка володіє теплопровідністю. Використовуючи рівняння закону Фур'є ( J Q gradT, коефіцієнт теплопровідності, J Q - щільність

теплового потоку), і умножаючи його на площу поперечного перетину ділянки (S), а градієнт температури замінюючи на відношення різниці температур T1 T2 до довжини ділянки l, одержуємо

Для ділянок контакту твердого тіла рідким або газоподібним середовищем тепловий опір визначається теплоотдачей через конвекцію. При цьому тепловий опір, де конв - коефіцієнт тепловіддачі через конвекцію.

Аналоги.

Виконаний аналіз показує аналогію між механічними, гідравлічними, пневматичними, тепловими і електричними системами.

Аналогами електричної напруги є тиск, температура, швидкість; Аналогами електричного струму – сили і потоки рідини, газу, теплоти. Як топологічне рівняння рівноваги – аналоги першого закону Кирхгофа

– є рівняння потоків у вузлах з'єднання елементів

n

I k 0 ,

k1

аяк топологічне рівняння сумісності - аналога другого закону Кирхгофа –

виступають рівняння сумісності тиску, температур або швидкість в будьякому замкнутому контурі

m

U K 0 ,

K 1

де, U K - фазові змінні, що відносяться до к-ой гілки, n – кількість гілок, відповідних до даного вузла; m – кількість гілок в даному контурі.

Розглянуті топологічні рівняння строго справедливі тільки для сталих процесів. У тих випадках, коли час розповсюдження збуджень (змін фазових змінних) по гілках системи сумірно з тривалістю інтервалів, на яких ведеться дослідження, або перевищує їх, застосовувати ці рівняння не можна. Межі застосовності топологічних рівнянь визначаються швидкостями розповсюдження вобуждений, розмірами компонентів системи і частотами зміни фазових змінних.

Для електричних систем швидкість розповсюдження збуджень є швидкість світла, для гідравлічних, пневматичних і механічних систем – це швидкість розповсюдження звуку у відповідному середовищі і розмірів цього середовища в конкретному об'єкті. Під збудженням розуміється зміна фазових змінних.

Критичною довжиною називають наближений граничний розмір середовища, при перевищенні якого необхідно враховувати час розповсюдження збуджень. Критична довжина залежить від тимчасового діапазону модельованого об'єкту. Наприклад, якщо моделюється електричний об'єкт в наносекундному діапазоні, то критична довжина

20