043_С.р до 2-го ПК _Бубняк_

Рекомендовано до друку методичною радою факультету будівництва та архітектури ЛНАУ Протокол №____ від__________ 2012 р.

Автор: к. ф.-м. н., доцент Т. І. Бубняк

В частину 2 входять завдання аналітичної геометрії на площині та в просторі, які дають студентам першого курсу. Ця частина містить додатки де можна знайти значення тригонометричних функцій різних кутів.

Мета видання збірника: – забезпечити студентів матеріалом для самостійної (індивідуальної) роботи зі всього курсу вищої математики. Крім того збірник може бути використаний викладачами для проведення практичних занять.

Бубняк Т. І.

Б25 Вища математика: Збірник задач. –. Львів: 2012. – Ч.2, 19с.

Рецензент: д. ф.-м. н., професор С. В. Мягкота

Редактор: М. М. Забор Коректор: Д. В. Митякинська

© Львівський національний аграрний університет, 2012

2

2. Промінь світла напрямлений по прямій y 2 x 4, дійшовши до осі

3

абсцис, він від неї відбився. Визначити точку зустрічі променя з віссю і рівняння відбитого променя.

3. Скласти найпростіше рівняння еліпса, знаючи, що: а) півосі його відповідно дорівнюють 4 і 2; б) віддаль між фокусами дорівнює 6 і велика піввісь 5.

Варіант 6 1. Пряма лінія проходить через точку А(3; 1) і утворює з віссю ОХ кут 450.

На цій прямій знайти точку, ордината якої дорівнює 4.

2. Написати рівняння бісектрис кутів, утворених прямими: x 7y 6 0 і 5x 5y 1 0.

3. Струмінь води, який викидається фонтаном, приймає форму параболи, параметр якої p 0,1. Визначити висоту струменя, якщо відомо, що вода падає у басейн на віддалі 2м від місця виходу.

Варіант 7 1. Знайти центр правильного шестикутника, знаючи дві сусідні його вершини: А(2; 0) і В(5; 33).

2. Через точку перетину прямих 2x 5y 8 0 і x 3y 4 0 провести пряму, яка крім того, проходить через початок координат.

3. Скласти рівняння гіперболи, яка має спільні фокуси з еліпсом x2 y2 1, 49 24

при умові, що ексцентриситет дорівнює 1,25.

Варіант 8 1. Знаючи дві протилежні вершини ромба А(8; -3), С(10; 11) і довжину

сторони АВ=10, визначити координати інших вершин ромба.

2. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну з його вершин А(-4; 2), і рівняння двох медіан: 3x 2y 2 0, 3x 5y 12 0.

3. Як перетвориться рівняння кола x2 y2 4x 12y 9 0, якщо перенести початок координат у його центр.

Варіант 9 1. Перевірити, що чотирикутник з вершинами А(1; 3), В(4; 7), С(2; 8) і

D(-1; 4) – паралелограм і обчислити його висоту, взявши АВ за основу.

2. Дано трикутник з вершинами: А(1; 2), В(3; 7), С(5; -13). Обчислити довжину перпендикуляра, опущеного з вершини В на медіану, проведену з вершини А.

3. Скласти рівняння кола, яке дотикається осі ОХ в точці (5; 0) і відтинає від осі ОУ хорду довжиною 10 одиниць.

Варіант 10

4

1. Обчислити площу трикутника з вершинами А(4; 2), В(9; 4), С(7; 6).

2. Через точку М(3; 2) провести пряму так, щоб її відрізок, замкнений між осями координат, поділявся в даній точці пополам.

до великої осі. Знайти довжину цієї хорди.

Варіант 11 1. Центр ваги однорідного стержня є в точці М(5; 1); один із кінців його

співпадає з точкою А(-1; -3). Визначити положення другого кінця. 2. При якому значенні параметра a прямі (3a 2)x (1 4a)y 8 0 і (5a 2)x (a 4)y 7 0 будуть перпендикулярні одна до одної.

3. Дано гіперболу x2 y2 1. Треба: а) обчислити координати фокусів та

9 16

знайти ексцентриситет; б) написати рівняння асимптот.

Варіант 12 1. Визначити траєкторію точки М, яка при своєму русі залишається вдвоє ближче до точки А(1; 0), ніж до точки В(4; 0).

2. Перевірити, що чотири точки А(-2; -2), В(-3; 1), С(7; 7), D(3; 1) є

вершинами трапеції і скласти рівняння середньої лінії і діагоналей трапеції. 3. Обчислити півосі гіперболи, знаючи, що віддаль між фокусами дорівнює 8

і віддаль між директрисами 6 (рівняння директрис x a ). e

Варіант 13 1. Скласти рівняння геометричного місця точок, що знаходяться від точки А(3; 0) вдвоє ближче ніж до прямої х =12.

2. При якому значенні параметра a рівняння 3ax 8y 13 0 і рівняння

Варіант 14 1. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку А(3; -1) і паралельна:

а) бісектрисі першого координатного кута; б) прямій y 3x 7.

2. Обчислити координати точки перетину перпендикулярів, поставлених до середин сторін трикутника, вершинами якого є точки: А(2; 3), В(0; -3);

С(5; -2).

3. Скласти найпростіше рівняння еліпса, знаючи, що: а) велика піввісь дорівнює 10 і ексцентриситет 0,8; б) сума півосей дорівнює8 і віддаль між фокусами 8.

5

Варіант 15 1. Сила Р прикладена до початку координат, і її складові на осі координат

відповідно рівні 5 і -2. Записати рівняння прямої, по якій напрямлена сила. 2. Через точку перетину прямих 2x 5y 8 0 і x 3y 4 0 провести пряму, яка крім того паралельна до осі абсцис.

3. На параболі y2 8x знайти точку, фокальний радіус-вектор якої дорівнює

20.

3. Скласти рівняння гіперболи, осі якої збігаються з осями координат, знаючи, що: а) дійсна вісь дорівнює 6 і гіпербола проходить через точку

(9; 4); б) гіпербола проходить через точки Р(-5; 2) і Q(25;2).

Варіант 17 1. На осі абсцис знайти точку, яка віддалена від точки А(4; -6) на 5 одиниць.

2. Написати рівняння прямої, яка проходить через початок координат і а) перпендикулярна до прямої y 0,5x 1;

б) утворює кут 450 з прямою y 2x 5.

3. Знайти рівняння кола, якщо відомі координати кінців одного з діаметрів його АВ: А(2; 4) і В(6; 8).

Варіант 18 1. Знайти радіус кола описаного навколо трикутника з вершинами А(0; 0),

В(3; 0), С(0; 4).

2. Знайти траєкторію точки, яка при своєму русі залишається у два рази далі від точки F(0; 6), ніж від прямої y 4.

Варіант 19 1. Визначити ординату точки М, знаючи, що абсциса її дорівнює 9, а віддаль до точки А(-1; 5) дорівнює 10.

2. Задано дві точки А(-2 3) і В(6; -3). Скласти рівняння прямої лінії, перпендикулярної до відрізка АВ і яка поділяє його у відношенні λ 1.

3. Віддалі одного з фокусів еліпса до кінців його великої осі відповідно дорівнюють 5 і 3. Скласти рівняння цього еліпса.

Варіант 20 1. На бісектрисах координатного кута знайти точки, віддаль яких від точки М(-1; 0) дорівнює 1.

6

2. Промінь світла напрямлений по прямій y 2x 4, дійшовши до осі абсцис, він від неї відбився. Визначити точку зустрічі променя з віссю і рівняння відбитого променя.

3. Скласти найпростіше рівняння еліпса, знаючи, що: а) півосі його відповідно дорівнюють 5 і 1; б) віддаль між фокусами дорівнює 8 і велика піввісь 5.

Варіант 21 1. Пряма лінія проходить через точку А(2; 1) і утворює з віссю ОХ кут 450.

На цій прямій знайти точку, ордината якої дорівнює 8.

2. Написати рівняння бісектрис кутів, утворених прямими: x 2y 5 0 і x y 1 0.

3. Струмінь води, який викидається фонтаном, приймає форму параболи, параметр якої p 0,2. Визначити висоту струменя, якщо відомо, що вода падає у басейн на віддалі 4м від місця виходу.

Варіант 22

1. Знайти центр прямокутника і вершину D, знаючи три вершини: А(1; 0),

пряму, яка крім того, проходить через початок координат.

3. Скласти рівняння орбіти штучного супутника Землі, якщо найвища точка орбіти над Землею 5000км, а найнижча 300км. Землю вважати кулею з радіусом 6370км.

Варіант 24 1. Перевірити, що чотирикутник з вершинами А(-5; 0), В(5; 0), С(10; 10) і

D(0; 10) – паралелограм і обчислити його діагоналі.

2. Дано трикутник з вершинами: А(1; 2), В(3; 7), С(5; -13). Обчислити його площу.

3. Скласти рівняння кіл, які дотикаються осі ОХ в точці (6; 0), а також дотикаються осі ОУ.

Варіант 25 1. Обчислити площу паралелограма з вершинами

A( 5;0), B(5;0),C(10;10), D(0;10).

7

2. Через точку М(4; 2) провести пряму так, щоб її відрізок, замкнений між осями координат, поділявся в даній точці пополам.

до великої осі. Знайти довжину цієї хорди.

Варіант 26 1. Центр ваги однорідного стержня є в точці М(2; 1); один із кінців його

співпадає з точкою А(-1; -3). Визначити положення другого кінця. 2. При якому значенні параметра a прямі x (1 4a)y 8 0 і (5a 2)x y 7 0 будуть перпендикулярні одна до одної.

3. Дано гіперболу x2 y2 1. Треба: а) обчислити координати фокусів та

9 25

знайти ексцентриситет; б) написати рівняння асимптот.

Варіант 27 1. Визначити траєкторію точки М, яка при своєму русі залишається вдвоє ближче до точки А(2; 0), ніж до точки В(11; 0).

2. Перевірити, що чотири точки А(-5; 0), В(5; 0), С(1; 5), D(-1; 5) є

вершинами трапеції і скласти рівняння середньої лінії і діагоналей трапеції. 3. Обчислити півосі гіперболи, знаючи, що віддаль між фокусами дорівнює

10 і віддаль між директрисами 6 (рівняння директрис x a ). e

Варіант 28 1. Скласти рівняння прямої, що знаходяться між паралельними прямими

2x 3y 6 0, 2x 3y 18 0.

2. При якому значенні параметра a рівняння ax 8y 13 0 і рівняння (a 1)x 2ay 21 0 зображають перпендикулярні прямі.

3. Визначити центр і радіус кола, даного рівнянням: x2 y2 2x 4y 11 0.

Варіант 29 1. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку А(4; 0) і паралельна:

а) бісектрисі першого координатного кута; б) прямій y 3x 7.

2. Обчислити координати точки перетину перпендикулярів, поставлених до середин сторін трикутника, вершинами якого є точки: А(2; 3), В(0; -3);

С(5; -2).

3. Скласти найпростіше рівняння еліпса, знаючи, що: а) велика піввісь дорівнює 16 і ексцентриситет 0,8; б) сума півосей дорівнює 8 і віддаль між фокусами 8.

Варіант 30

8

1. Світловий промінь падає на поверхню води, з показником заломлення

води 4. Кут падіння дорівнює 600. Взявши точку падіння за початок

3

координат, а нормаль в ній до поверхні води – за вісь ординат, знайти рівняння падаючого і заломленого променя (вісь абсцис – в площині променів).

2. Через точку перетину прямих 2x 5y 8 0 і x 3y 4 0 провести пряму, яка крім того паралельна до осі ординат.

3. На параболі y2 8x знайти точку, фокальний радіус-вектор якої дорівнює

30.

Тема 6. Аналітична геометрія в просторі

Варіант 1 1. Дано дві прямі: одна з них проходить через точки А(–3; 5; 15) і В(0; 0; 7),

а друга – через точки С(2; –1; 4) і D(4; –3; 0). Дізнатися, чи перетинаються ці прямі, і якщо перетинаються, то знайти точку перетину.

В к а з і в к а. Нехай λ– відношення у якому поділяється АВ спільною точкою, а μ – теж для СD. Тоді координати точки перетину визначаються

2. Три грані тетраедра, розміщеного у другому октанті, збігаються з координатними площинами. Написати рівняння четвертої грані, знаючи

x 4 y 1 z 7 . 8 3 3

Варіант 2 1. Визначити віддаль точки А(12; -3; 4) від початку координат і від осей

координат.

2. Знайти точку, симетричну з точкою (4; 3; 10) відносно прямої

Варіант 3 1. У третьому октанті знайти точку, знаючи її віддаль від трьох осей

9

Варіант 5

1. На координатній площині (YOZ) знайти точку, однаково віддалену від трьох заданих точок: А(3; 1; 2), В(4; –2; –2), С(0; 5; 1).

3. Написати рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі:

Варіант 6 1. Рухома точка, яка мала початкове положення М0(5; –1; 2), переміщається

паралельно до осі ОУ. Знайти точку її зустрічі з площиною x 2y 3z 7 0.

2. Знайти проекцію точки (4; –3; 1) на площину x 2y z 3 0.

3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки перетину площини

M2( 1;0;4), M3( 2; 1;1).

10