Лекция 5.Правило Лопиталя
.pdf
Лекция 5. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
1.Правило Лопиталя.
2.Неопределенность вида 00 и ∞∞ .
3.Другие виды неопределенностей и их раскрытие.
1. Правило Лопиталя.
Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть функции f (x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:
1) определены и дифференцируемы на интервале (a;b), за исключением, быть может, точки x0 , причем g(x)≠ 0 и g′(x)≠ 0 для любого x (a;b);
2) lim f (x)= lim g(x)=0 (либо |
lim f (x)= lim g(x)=∞ ); |
||
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
3) существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных
|
|
|
|
lim |
f ' (x) |
= A . |
|
||||||
|
|
|
|
g ' (x) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
существует также |
предел |
отношения функций |
||||||||||
lim |
f (x) |
, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
f (x) |
= lim |
f ' |
(x) |
. |
|||||
|
|
|
g(x) |
|
g ' (x) |
|
|||||||
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
||||||||
► Рассмотрим доказательство теоремы только для случая
раскрытия неопределенностей вида |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
Доопределим функции |
f и g |
в |
точке |
x = x0 , положив |
||
f (x0 )= g(x0 )=0 . Доопределенные таким образом функции бу- |
||||||
дут непрерывны в точке |
x0 . Рассмотрим отрезок [x0 ; x], |
где |
||||
x0 < x <b . На этом отрезке функции |
f |
и g |
непрерывны, |
а на |
||
интервале (a; x) – дифференцируемы. Следовательно, по теоре-
ме Коши существует точка ξ ( a < x0 <ξ < x ) такая, что
|
f (x)− f (x0 ) |
|
|
|
′ |
||||
|
|
= |
f (ξ) |
. |
|||||
|
g(x)− g(x0 ) |
|
′ |
||||||
|
|
g (ξ) |
|||||||
С учетом того, что f (x0 )= g(x0 )= 0 , имеем |
|||||||||
|
|
f (x) |
|
f |
′ |
||||
|
|
= |
(ξ) |
. |
|||||
|
|
|
|
|
′ |
||||
|
|
g(x) |
g (ξ) |
||||||
Если x → x0 , то и ξ → x0 . Поэтому, согласно условию 3) тео-
ремы, из данного равенства следует, что |
|
||||||
lim |
f (x) |
= lim |
f ′(x) |
. ◄ |
|||
g(x) |
|
g (x) |
|
||||
x→x0 |
x→x0 |
|
|||||
|
|
′ |
|
||||
Замечания. 1. Смысл правила Лопиталя заключается в том, что оно позволяет свести вычисление предела отношения функ-
ций в случае неопределенности вида 00 или ∞∞ к пределу отно-
шения производных, который очень часто вычисляется проще.
2.Правило Лопиталя справедливо и в случае x0 =∞ .
3.Если производные f ′(x) и g′(x) удовлетворяют тем же
требованиям, что и сами функции |
f (x) |
и g(x), и lim |
f ′′(x) |
су- |
|||||||||||
g |
(x) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|||
ществует, применив дважды правило Лопиталя, найдем |
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
f (x) |
= lim |
f ′(x) |
= lim |
f ′′(x) |
. |
|
|
|
|
|||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→x0 |
x→x0 |
g |
(x) |
x→x0 |
g |
(x) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
|
|
||||||
Правило Лопиталя можно применять до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются.
2. Неопределенность вида 00 и ∞∞ .
Рассмотрим применение правила Лопиталя к вычислению пределов в случаях неопределенностей двух видов: 00 или ∞∞
Примеры.
48 |
49 |
1. |
lim |
1 |
−cos x |
= |
|
|
|
0 |
= lim |
(1−cos x)' |
= lim |
sin x |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 )' |
|
|
|
|
|
2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
lim |
sin x |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ex −1)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. lim |
ex −1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
(x)' |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln 5x |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
(ln 5x)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ctg x)' |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→0 |
+0 ctg x |
|
|
|
|
∞ |
x→0 |
+0 |
|
|
|
|
x→0 |
+0 |
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|||||||
= − |
|
lim |
sin2 |
x |
= |
|
|
lim |
sin x |
|
|
lim sin x = −1 0 =0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
(ln x)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
=0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
(x)' |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
(xn )' |
|
|
|
|
|
|
|
nxn −1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
= |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
ex |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→+∞ ex |
|
|
|
|
∞ |
|
|
x→+∞ (ex )' |
|
|
x |
→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(nxn−1 )' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n −1)xn−2 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n...2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
=... = |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|||||||||||||||
|
(ex )' |
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3.Другие виды неопределенностей и их раскрытие.
Неопределенность вида 0 ∞ . Неопределенность данного
вида сводится к неопределенности вида 00 или ∞∞
Пример. |
|
|
|
|
|
|
(ln x)' |
|
|
lim x ln x =(0 ∞)= |
|
ln x |
|
∞ |
= |
|
|
||
lim |
|
= |
|
lim |
|
|
= |
||
1 |
|
' |
|||||||
x→0+0 |
x→0+0 |
|
∞ |
|
x→0+0 1 |
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
x |
|
|
= − lim x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→0+0 − |
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенность вида ∞ ∞ . Неопределенность данного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вида сводится к неопределенности вида |
|
0 |
|
или ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x − x |
|
0 |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
− |
|
|
|
|
|
=(∞−∞)= lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x tg x |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
x→0 x |
|
|
tg x |
|
|
|
x→0 |
|
0 |
|
x→0 |
tg x + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
+cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→0 |
x + |
|
0 |
x→0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Неопределенности вида 1∞ , 00 , ∞0 . Для того чтобы свести |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
данные неопределенность к виду |
0 |
или |
|
∞ |
, необходимо пред- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ставить выражение u(x)v(x ), стоящее под знаком предела как
eln u(x )v (x ) .
Примеры.
1
1. Вычислить предел lim(cos x)x2 .
x→0
Решение. Имеем
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
ln(cos x ) |
|
lim |
1 |
ln(cos x ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim(cos x) |
x2 |
|
= (1∞ )= lim eln(cos x )x2 |
= lim e x2 |
|
|
|
=ex→0 x2 |
|
. |
|||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим предел |
|
|
|
|
|
ln(cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
−tg x |
|
||||||||||||||
|
1 |
ln(cos x)=(∞ 0) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
= |
|||||||||||||
x2 |
|
|
x2 |
|
|
2x |
|
||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
0 |
x→0 |
|
|
|||||||||||
= − |
1 |
lim |
sin x |
lim |
|
1 |
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 x→0 |
x |
|
x→0 cos x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда
50 |
51 |
|
|
|
1 |
lim |
1 |
ln(cos x ) |
|
|
− |
1 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim(cos x) |
x2 |
= ex→0 x2 |
|
|
|
=e |
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить предел |
lim |
x x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Имеем |
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
x x = (00 )= lim eln x |
x |
= lim ex ln x |
|
|
lim x ln x |
= e0 |
=1 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
= ex→0+0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x→0+0 |
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. Вычислить предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim (ln x)x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение. Имеем |
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ln(ln x ) |
|
lim |
ln(ln x ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
(ln x)x |
= (∞0 )= lim eln(ln x )x |
= lim e x |
|
= ex→+∞ x |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислим предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(ln x) |
|
|
∞ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ln(ln x)=(0 ∞)= lim |
|
|
|
|
|
ln x x |
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= lim |
=0 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→+∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
x→+∞ |
|
1 |
|
|
|||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
lim |
ln(ln x ) |
=e |
0 =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
(ln x)x |
= ex→+∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вопросы для самоконтроля
1.При раскрытии каких неопределенностей используется правило Лопиталя?
2.Сформулируйте и докажите правило Лопиталя.
52