Лекция 7.Формула Маклорена

вид формулы Тейлора

– формулу

Маклорена. Так как

ξ = x0 +θ(x − x0 ), 0 <θ <1 , то при x0 = 0

ξ =θ x . Поэтому оста-

точный член формулы Маклорена примет вид

Rn (x )=

f (n +1)(θ x )

x n +1

, 0 <θ <1,

(n +1)!

f (x)= f (0)+

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x2

+... +

f (n)(0)

xn +

f (n+1)(θ x)

xn+1

,

1!

2!

n!

(n +1)!

где 0 <θ <1 .

f (x)= eх,

f (0)=1,

х

′

f ′(x)= e ,

f (0)=1,

...............

...............

f (n)(x)= eх,

f (n)(0)=1,

f (n+1)(x)= eх,

f (n+1)(θ x)= eθ x .

x

x

x2

xn

xn+1

θ x

e

=1 +

+

+... +

+

e

,

1!

2!

n!

(n +1)!

где 0 <θ <1 .

Функция

f (x)=sin х.

Находим последовательно производ-

ные от f (x)=sinх:

f (x)=sin х,

f (0)= 0 ,

π

f

′

′

(0)=1,

f

=sin х+

,

(x)= cos х

2

f '' (0)= 0 ,

′′

π

х+ 2

,

f (x)= −sin х =sin

2

f (3)(0)= −1,

f

(3)

π

,

(x)= −cos х =sin х+3

2

....................................................................... ,

f

π

f

π

(n)(x)=sin х+ n

,

(n)(0)=sin n

2

,

2

π

π

f (n+1)(x)=sin х+(n +1)

2

,

f (n+1)(θx)=sin θх+(n +1)

2

,

x3

x5

xn

π

xn+1

π

sin х = x −

+

+... +

sin n

+

sin θx +(n +

1)

,

3!

5!

n!

(n +1)!

где 0 <θ <1 .

2

2

Функция f (x)=сos х. Вычислив значения последовательных

производных от функции

f (x)= сos х при x = 0 , получим:

π

f (n)(x)= cos x + n

2

59

π

0 при

n нечетном,

и

+ n

.

f (n)(0)= cos 0

2

=

n

при n четном.

(−1)2

Подставляя в формулу Тейлора, получим

x

2

x4

xn

π

xn+1

π

cos х =1 −

+

−... +

cos n

+

cos θx +(n +1)

,

2!

4!

n!

2

n +1

2

где 0 <θ <1 .

f (x)= ln(1 + х) определена

Функция

f (x)= ln(1 + х). Функция

и бесконечно дифференцируема на интервале (−1;+∞). Найдем

последовательные производные от этой функции:

f (x)= ln(1 + х),

f (0)= 0 ,

′

−1

,

f ′(0)=1,

f (x)= (1 + х)

f ′′(0)= −1 ,

′′

−2

,

f (x)= −(1+

х)

f ′′′(0)= 2 1,

′′′

+

−3

,

f (x)= 2 1(1

х)

..................................................................

f (n)(x)= (−1)n−1 (n −1)!(1 + x)−n ,

f (n)(0)= (−1)n−1 (n −1)!

f (n+1)(x)= (−1)n n!(1 + x)−(n−1) ,

f (n+1)(θx)= (−1)n n!(1 +θx)−(n+1) ,

0 <θ <1.

Подставляя вычисленные значения в формулу Маклорена,

получаем разложение

ln(1 + х) с остаточным членом в форме

Лагранжа:

x2

x3

n+1 xn

n+1

xn+1

ln(1+ х)= x −

+

−... +(−1)

+(−1)

.

2

3

n

(n +1)(1 +θx)n+1

Функция f (x)= (1 + х)m . Функция

f (x)= (1 + х)m , m R , оп-

f (x)= (1 + х)m ,

,

f (0)=1 ,

f

(x)= m(1 + х)

f ′(0)= m ,

′

m−1

60

′′

m−2

,

f ′′(0)= m(m −1),

f (x)= m(m −1)(1

+ x)

f ′′′(0)= m(m −1)(m −1),

′′′

m−3

,

f (x)= m(m −1)(m −2)(1

+ x)

................................................................... ,

f (n)(x)=

f (n)(0)=

= m(m −1)...(m −n +1)(1+ x)m−n ,

= m(m −1)...(m −n +1),

f (n+1)(x)=

f (n+1)(θx)=

= m(m −1)...(m −n)(1+ x)m−n−1 ,

= m(m −1)...(m −n)(1 +θx)m−n−1 ,

точке x0 = 0 в формулу Маклорена, имеем

(1+ х)m =1 + mx +

m(m −1)

x2 +... +

m(m −1)...(m −n +1)

xn + R

n

(x).

2!

n!

где

m(m −1)...(m −n)

R

(x)=

(1 +θ)m−n−1 xn+1 .

n

(n +1)!

лорена функции

f (x)= eх . Заменим в разложении x на (− x3 )

−x3

x3

x6

x9

n+1 x3n

(− x3 )n+1

−θ x3

e

=1

−

+

−

+... +(−1)

+

e

,

1!

2!

3!

n!

(n +1)!

ln x = ln(1 +(x −1))= (x −1)−

(x −1)2

+... +(−1)n+1

(x −1)n

+ R

n+1

(x),

n

2

где R (x)= (−1)n+1

(x −1)n+1

, 0 <θ <1 .

(n +1)(1 +θ(x −

1))n+1

n+1

членом в форме Пеано.

Пусть f (x) и g(x) определены в окрестности U (δ; x0 ).

Определение 1 .

Функция g(x) называется главной ча-

стью функции

f (x) в окрестности точки

x0 , если при x → x0

возможно представление

(x)= g(x)+o(g(x)).

f

При g(x)≠ 0 имеем

f (x)

=1 +

o(g(x))

и lim

f (x)

=1

,

g(x)

g(x)

g(x)

x→x0

т.е. при x → x0

главная часть функции g(x)

и сама функция

f (x) являются эквивалентными функциями.

Пример.

Выделить

главную

часть

функции

f (x)= 2x4 + x3 + 4x в окрестности точки x0 = 0 .

Решение.

Поскольку

lim

2x4

+ x3 +

4x

=1 ,

то функция

4x

x→0

g(x)= 4x является главной частью

f (x)

в окрестности точки

ности

рассматриваемой точки

x0 . Главной частью

функции

f (x)

в окрестности точки x0

является ее многочлен Тейлора.

ex =1 +

x2

+

...

+

xn

+o(xn ),

n!

2!

x3

x5

x7

n

x2n+1

+o(x

2n+1

),

sin х = x −

+

−

+... +(−1)

3!

5!

7!

(2n +1)!

cos х =1 −

x2

+

x4

+... +(−1)

x2n

+o(x2n ),

2!

4!

2n!

ln(1+ х)= x −

x2

+

x3

−

x4

+... +(−1)n−1

xn

+o(xn ),

n

2

3

4

(1+ х)α =1 +αx + α(α −1)x2

+... +

α(α −1)...(α −n +1)xn +o(xn ).

2!

n!

Таким образом,

используя многочлен Тейлора функции f (x)

в окрестности точки

x = 0 , можно записать асимптотические

(приближенные) формулы для f (x) в U (δ;0):

ex ~ 1 + x ,

ex ~ 1 + x +

x2

,

...

2!

sinх ~ x ,

sinх ~ x −

x

3

,

...

3!

e

-

x2

−cos x

Пример. Вычислить предел

lim

2

.

x3 sin x

x→0

Решение. Используя разложения функций ex ,

cos x ,

sin x

по формуле Маклорена, имеем:

x2

x2

x4

4

x2

x4

4

e-

−cos x

0

1 −

+

+o(x

)−1

+

−

+o(x

)

2

2

8

2

24

lim

=

= lim

=

x3 sin x

x3 (x +o(x))

x→0

0

x→0

x4

−

x4

+o(x4 )

1

−

1

+o(x)

1

8

8

24

= lim

24

= lim

=

.

1 +o(x)

x→0

x4 +o(x4 )

x→0

12

членом в форме Лагранжа.

Значения f (x) в U (δ; x0 ) вычисляют по формуле

f (x)≈ f

(x0 )+

f ′(x0 )

(x

− x0 )+... +

f (n)(x0 )

(x − x0 )n .

1!

n!

Погрешность приближения

f (n−1)(ξ)

n+1

R

(x)

=

(x − x )

, x <ξ < x .

(n +1)!

n

0

0

Решение. Разложение функции y = ex

по формуле Макло-

рена имеет вид:

e

x

x x2

xn

xn+1

θ x

=1 +

+

+... +

+

e

, 0 <θ <1 .

1!

2!

n!

(n +1)!

Заменив функцию

y = ex

многочленом Тейлора степени n ,

получим приближенное равенство

e

x

≈1 +

x

+

x2

+... +

xn

,

1!

2!

n!

абсолютная погрешность которого

R

(x)

≤

x

n+1

eθ x , 0 <θ <1 .

(n +1)!

n+1

Если рассматривать функцию ex

для −1 ≤ x ≤1 , то

R

(x)

≤

x

n+1

eθ x ≤

eθ x

<

3

.

n+1

(n +1)!

(n +1)! (n +1)!

Полагая x =1 , получаем приближенное значение числа e

1

≈1+1+

1

+... +

1

.

e

2!

n!

Имеем

3

< 0,001. Отсюда (n +1)!>3000 или n > 6 .

(n +1)!

65