Лекция 10.Векторные функции

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

1.Понятие векторной функции. Годограф.

2.Предел и непрерывность векторной функции.

3.Производная и дифференциал векторной функции.

4.Геометрический и физический смысл производной векторфункции.

1.Понятие векторной функции. Годограф .

Вкурсе математики и ее многочисленных приложениях часто приходится иметь дело не только с числовыми функциями, но и с функциями, у которых область определения D или множество

значений E состоят из элементов другой природы, например D R , а E – подмножество множества векторов.

Определение 1. Векторной функцией действительного аргумента (вектор-функцией скалярного аргумента) называет-

ся отображение, которое каждому действительному числу t T R ставит в соответствие один и только один вектор a

трехмерного пространства R3 .

Обозначается: a = a(t), t T .

Различным значениям t T соответствуют разные значения вектор-функции, т.е. вектор a = a(t) имеет определенную длину (модуль) и определенное направление. Следовательно, вектор ar = ar(t) может изменяться как по величине, так и по направлению.

Выберем общую точку приложения O векторов a = a(t) (рис.1). При непрерывном изменении аргумента t конец вектора ar = ar(t) описывает некоторую линию Γ.

84

Рис.1.

Определение 2. Линия Γ описываемая в пространстве концом вектора a при непрерывном изменении аргумента t T R , называется годографом вектор-функции скалярного аргумента a(t).

С физической точки зрения годограф вектор-функции можно рассматривать как траекторию движущейся в пространстве материальной точки, а всякую линию Γ, в пространстве как го-

есть множество связанных векторов, расположенных на луче, выходящем из точки O . Годографом такой вектор-функции является луч Γ (рис.2), если T = R .

Рис.2.

2. Если при изменении t модули векторов a = a(t) не меняются, а изменяется только направление, то векторы из множества {ar(t) t T} будут находиться в шаре радиусом ar(t) с центром в точке O . Годографом такой функции является линия, принадлежащая сфере радиусом ar(t) (рис.3).

85

Рис.3.

Пусть в пространстве R3 задана прямоугольная система координат Oxyz . Тогда задание вектор-функции означает задание

координат вектора a(t). Если начало вектора a(t) совпадает с точкой O , то a = a(t) называется радиусом-вектором точки M и обозначается r (t) (рис.4).

Рис.4.

Любой радиус-вектор rr(t)=OM пространства R3 задается своими координатами x(t), y(t), z(t) (координаты вектора совпадают с координатами точки M Γ (рис.4)) и может быть разложен по ортам i , j , k :

rr(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k .

86

x = x(t), rr(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k y = y(t),z = z(t),

где t T .

Поэтому исследование векторной функции скалярного аргумента сводится к исследованию трех координатных функций x = x(t), y = y(t), z = z(t), определенных на множестве T . В ко-

ординатной форме вектор-функция запишется в виде r (t)= (x(t); y(t); z(t)).

2. Предел и непрерывность векторной функции.

тельно, понятие предела вектор-функции сводится к понятию предела скалярной функции. Поэтому можно записать:

lim r (t)= a ε > 0 δ > 0: t U (t0 ;δ) rr(t)−ar <ε .

t→t0

t U (t0 ;δ) лежат в шаре радиуса ε с центром в конце вектора a (рис.5.).

87

Рис.5.

Таким образом, для того чтобы вычислить предел векторфункции, достаточно найти соответствующие пределы коорди-

88

нат этой функции. Если хотя бы один из пределов координат

функции r (t) не существует, то не существует и lim r (t).

t→t0

Пример. Вычислить lim r (t), если

t→2

rr(t)= (3t + 2)ir +(2t −1)rj +(1 −t)k .

Очевидно, что векторная функция непрерывна в некоторой точке тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны ее координатные функции x(t), y(t), z(t).

Определение 5. Вектор-функция α(t), t T , называется

бесконечно малой по сравнению со скалярной функцией β(t), t T , при t →t0 , если существует векторная функция ε(t), t T , такая, что в окрестности U (δ;t0 ) имеет место равенство

α(t)=ε(t) β(t), limε(t)=0 .

t→t0

Обозначается: α(t)= o(β(t)).

Определение 6. Вектор-функция r (t), t T называется линейной, если она имеет вид

89

rr(t)= ar t +b ,

где a и b какие-либо два фиксированных вектора.

3.Производная и дифференциал векторной функции.

Введем понятие производной вектор-функции r (t), t T в

данной точке t0 . Для этого дадим аргументу t0 приращение ∆t ≠ 0 и рассмотрим вектор ∆rr(t0 )= rr(t0 + ∆t)−r (t0 ). Составим

отношение

∆r (t0 ) = rr(t0 + ∆t)−r (t0 ).

∆t ∆t

Определение 7. Если существует предел отношения приращения ∆r (t0 ) вектор-функции r (t) в точке t0 к приращению скалярного аргумента ∆t при ∆t →0 , то этот предел назы-

вается производной вектор-функции rr(t) в точке t0 .

Обозначается: rr' (t0 )

rr' (t0 )= lim ∆rr∆(tt0 ) = lim rr(t0 + ∆∆tt)−r (t0 ) .

∆t→0 ∆t→0

Так как

∆rr(t0 )=[x(t0 +∆t)− x(t0 )]ir+[y(t0 +∆t)− y(t0 )]rj +[z(t0 +∆t)− z(t0 )]k =

= ∆x (t 0 )ir + ∆y (t 0 )rj + ∆z (t 0 )k ,

то по определению получим

rr' (t0 )= x′(t0 )ir+ y′(t0 )rj + z′(t0 )k .

Итак, вычисление производных от векторной функции скалярного аргумента в точке t0 сводится к вычислению производных ее координат.

Определение 8. Вектор-функция r (t), t T называется дифференцируемой в точке t0 T , если приращение ∆r (t0 ) в

этой точке представимо в виде:

∆r (t0 )= a ∆t +o(∆t), ∆t →0 .

Линейная вектор-функция a ∆t приращения аргумента ∆t называется дифференциалом функции r (t) в точке t0 .

90

Обозначается: dr = a ∆t .

Учитывая определение 5, приращение ∆r (t0 ) можно записать в виде

∆r (t0 )= a ∆t +ε(∆t)∆t , lim ε(∆t)= 0 .

∆t→0

Свойства дифференцируемых векторных функций

1.Если векторная функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

2.Если векторная функция r (t) дифференцируема в точке t0 ,

то она имеет в этой точке производную и r '(t0 )= a .

3. Векторная функция, имеющая в некоторой точке производную, дифференцируема в этой точке.

4. Если t =t(τ) – дифференцируемая в точке τ0 скалярная функция, r (t) – дифференцируемая в точке t0 =t(τ0 ) векторная функция, то

5. Для произвольных векторных функций имеют место формулы:

(rr1 ± rr2 )' = rr1' ± rr2' ,

(f rr)' = f ' rr + f rr' ,

(rr1 rr2 )' = rr1' rr2 + rr1 rr2' , (rr1 ×rr2 )' = rr1' ×rr2 + rr1 ×rr2' .

6. Если вектор-функция r (t) дифференцируема в точке t0 и векторы r (t) имеют одинаковую длину в некоторой окрестности точки t0 , то производная r '(t0 ) ортогональна вектору r (t0 ):

r '(t0 ) r(t0 )= 0 .

7. Если вектор-функция r (t) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в каждой точке этого отрезка, то существует такая точка ξ (a;b), что

rr(b)−rr(a) ≤ rr'(ξ) (b −a).

91

4. Геометрический и физический смысл производной векторфункции.

Геометрический смысл производной вектор-функции.

Пусть вектор-функция r (t) определена на множестве T , непре-

разность двух векторов, есть вектор, соединяющий конец вектора уменьшаемого с концом вектора вычитаемого (рис.6).

Рис.6.

Отношение ∆r∆(tt0 ) представляет собой вектор, коллинеарный

вектору ∆r (t0 ), так как он отличается лишь скалярным множителем.

Таким образом, вектор ∆r (t0 ) (см. рис.6) совпадает по на-

∆t

правлению с секущей M 0 M1 . При ∆t →0 точка M1 стремится к M 0 , перемещаясь по кривой Γ а секущая M 0 M1 занимает пре-

дает по направлению с касательной к годографу в точке M 0 и направлен в сторону возрастания t .

92

Итак, с геометрической точки зрения производная векторфункции в точке t0 есть вектор rr' (t0 ), направленный по каса-

тельной к годографу этой функции в сторону возрастания параметра t .

Физический смысл производной вектор-функции. Предпо-

ложим, что материальная точка движется по траектории, являющейся годографом вектор-функции r (t), где роль параметра t играет время движения. За промежуток времени ∆t точка на кривой переместится из положения M 0 в положение M . Вектор ∆r (t0 ) задает перемещение материальной точки за время ∆t .

Отношение ∆r∆(tt0 ) есть средняя скорость перемещения точки за

время ∆t . Переходя к пределу при ∆t →0 , получим мгновенную скорость v точки в момент времени t0 :

v = r′(t0 )= lim ∆r∆(tt0 ) = x′(t0 )ir + y′(t0 )rj + z′(t0 )kr .

∆t→0

Таким образом, механический смысл производной от век- тор-функции состоит в том, что rr' (t0 ) есть вектор мгновенной

скорости перемещения материальной точки по траектории, являющейся годографом функции.

Производная вектор-функции r (t) является, в свою очередь,

вектор-функцией скалярного аргумента, и ее также можно дифференцировать.

Механический смысл второй производной от векторфункции состоит в том, что r′′(t0 ) есть вектор ускорения движе-

93