Понятие метрического пространства
1. Определение и основные примеры. Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действительных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства — одному из важнейших понятий современной математики. Ниже мы изложим основные факты теории метрических пространств и их обобщения — топологических пространств. Результаты этой главы существенны для всего дальнейшего изложения.
Определение. Метрическим пространством называется пара (X, р), состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т. е. однозначной, неотрица* тельной, действительной функции р(х; у), определенной для любых х и у из X и подчиненной следующим трем аксиомам:
-
р (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,
-
р(x, y)= р(у, x) (аксиома симметрии),
-
р(x,z) ≤ р(x, y) + р(у,z) (аксиома треугольника).
Само метрическое пространство, т. е. пару (X, р), мы будем обозначать, как правило, одной буквой:
R = (X, р).
В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем зачастую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» X.
Примеры метрических пространств
Приведем примеры метрических пространств. Некоторые из этих пространств играют в анализе весьма важную роль.
1. Положив для элементов произвольного множества
мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек.
2. Множество действительных чисел с расстоянием
|
образует метрическое пространство R1.
3. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел x=(x1,x2,…xn) с расстоянием
(1)
называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством Rn. Справедливость аксиомы 1) и 2)для Rn очевидна. Покажем что, в Rn выполнена и аксиома треугольника.
Пусть x=(x1,… ,xn), y=(y1,… yn) и z=(z1,… zn);
тогда аксиома треугольника записывается в виде
≤ + (2)
Полагая yk – xk = ak, zk – yk= bk, получаем zk – xk = ak + bk,
≤+ (3)
Но это неравенство сразу следует из известного неравенства Коши-Бурянковского
≤ (4)
Действительно в силу этого неравенства имеем
=+2++2+=
Тем самым неравенство (3), а следовательно и (2), доказано. 4. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из п действительных чисел х = (хх,… ,хп), ио расстояние определим в нем формулой
(5)
Справедливость аксиом 1)—3) здесь очевидна. Обозначим это метрическое пространство символом Rn.
Возьмем снова то же самое множество, что и в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами формулой
(6)
Справедливость аксиом 1)—3) очевидна. Это пространство, которое мы рбозначим , во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство Rn.
Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как один и; тот же запас точек может быть по-разному метризован.
Множество С [а, b] всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте [a, b], с расстоянием
(7)
также образует метрическое пространство. Аксиомы 1)—3) проверяются непосредственно. Это пространство играет очень важную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же символом С [а, b], что и само множество точек этого пространства. Вместо С[0, 1] мы будем писать просто С.