- •1)Основная Лемма:
- •6. Доказать формулу .
- •7. Естественный способ задания движения точки.
- •8. Задание движения точки в полярных координатах.
- •2)Выводим ф-лу для нахож-я скорости в пол-х к-х:
- •9. Матрица ориентаций. Связь между координатами вектора в различных системах отсчета
- •10. Поступательное движение твердого тела
- •2) Матрица ориентации при вращательном движении
6. Доказать формулу .
1) Найдем модуль вектора кривизны. Для этого рассмотрим треугольник образующийся векторами . Угол между векторами наз. углом смежности.
<(
Треугольник РАВ явл. равнобедренным (РА=РВ=1)
(sinx)
.
2) Используя формулу можно показать, что кривизна окружности радиусаR равна .
СМ. РИС. В КОНСПЕКТЕ Касательная общая и для кривой и для окружности. Можно построить бесконечно много окружностей, которые проходят через две бесконечно близкие точки кривой. Существует только одна окружность проходящая через 3 бесконечно близкие точки. Кривизна точки Р равна кривизне соприкосающ. окружности. Центр окружности наз. центром кривизны, а радиус окружности- радиусом кривизны. обознач. радиус кривизны греческой буквой .
, где -радиус кривизны.
3)Плоскость РАВ находится и образованна касательной точкой достаточно близкой к точке Р, поэтому предельное положение этой плоскости- есть соприкасающиеся плоскости. Вектор средней кривизны находится в плоскости АВР, а предельное положение вектора средней кривизны есть вектор кривизны К. Следовательно вектор кривизны лежит в соприкасающейся плоскости.
Рассмотрим =90=90(при).
= 90,.
Т.к.илежит в соприкас.плосости, то вектор кривизны направлен вдоль главной нормали, а ед.вектор главной нормали обозн.. Т.к. модуль вектора =, то. Следовательно.
7. Естественный способ задания движения точки.
1)Для того чтобы задать движение точки естеств. способом, необходимо: а)задать траекторию ее движения относит. выбранной с-мы координат; б) на траектории следует выбрать начало отсчета и задать направление движения; в)задать закон движения точки вдоль траектории в виде s=s(t), где s-расстояние от точки до начала отсчета на траектории, измеренное вдоль траектории, при этом ф-ция s(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.
2)Скоростью точки в данный момент времени наз. предел средней скорости точки при ∆t→0, т.е.
Вывод формулы:
т.к.
1)↑↑→касат., провед. в точкеP
2)
|∆r|≈∆s
…==>
3) Отношение ∆V/∆t наз. средним ускорением точки за промежуток времени ∆t. Ускорение точки:
Вывод формулы: мы знаем, что , где--нормальное ускорение,-- касательное ускорение
- полное ускорение
8. Задание движения точки в полярных координатах.
1)Зададим систему отсчета и расстояние от начала с-мы до точки r=r(t), 𝞿=𝞿(t), .
направлен в сторону увеличения угла 𝞿. Выразим вектора ичерезi и j.
2)Выводим ф-лу для нахож-я скорости в пол-х к-х:
Продифференцируем эти равенства по времени
3)Найдем ускорение:
9. Матрица ориентаций. Связь между координатами вектора в различных системах отсчета
1)Матрицей ориентации наз-ся матрица А сост-ую из элем-ов , гдеопределяеся ф-ой:
2) Расм. вект. Р с началом в точке О, пусть его разложение по ортам не штрихованной системы координат имеет вид: =(1) Разл по штрихованым ортам системы корд им вид: =(2) Сравнивая (1) и (2) получаем что:(3) .Умножив обе части равенства на векторполучим;, т.ки
Затем проделам туже операцию для е2 и е3 получим систему
3) Запишем эту систему в матричной форме:
Р=А(4)
Умножив равенство (3) на
Используя (5) тогда (4) привет вид Р=(А, А, условие (6) явл. Не обходимым условием того что бы матрицы А могла бытьматрицей ориентаций.
4)Матрица ориентаций в случае поворота ??? начинается с