МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Математический факультет

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ

Отчет

Выполнил:

студент группы ПМ-21 Кардасёв В.А.

Проверила: Свитич Н.А.

Гомель 2012г

Содержание

1. Лабораторная работа №1 …………………………………………………………………..3

2. Лабораторная работа №2 …………………………………………………………………..7

3. Лабораторная работа №3 …………………………………………………………………..10

4. Лабораторная работа №4 …………………………………………………………………..13

5. Лабораторная работа №4 …………………………………………………………………..16

6. Лабораторная работа №6 …………………………………………………………………..19

7. Лабораторная работа №7 …………………………………………………………………..22

8. Лабораторная работа №8 …………………………………………………………………..24

9. Лабораторная работа №9 …………………………………………………………………..28

10. Лабораторная работа №10 …………………………………………….………….………..33

Лабораторная работа №1 Тема: «Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений»

Постановка задачи:

Решить систему линейных алгебраических уравнений:

1. методом Гаусса по схеме единственного деления;

2. методом Гаусса с выбором главного элемента.

3. Найти определитель матрицы

4. Найти обратную матрицу

Изученные теоретические вопросы: Метод Гаусса

Метод Гаусса и его модификации основаны на приведении с помощью элементарных преобразований исходной системы к системе верхней треугольной или диагональной матрицы. В схеме единственного деления на каждом шаге строка делится на элемент, стоящий на главной диагонали (ведущий элемент), и исключаются элементы под главной диагональю.

После -го шага матрица системы принимает вид

.

Процесс приведения матрицы исходной системы к системе с верхней диагональной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса, а процесс получения значений неизвестных – обратным ходом. Неизвестные из преобразованной системы находятся по формулам

, ,.

Иногда может оказаться, что система имеет единственное решение, хотя какой-либо из главных миноров матрицы равен нулю. Кроме того, заранее неизвестно, все ли главные миноры матрицы отличны от нуля. В этих случаях обычный метод Гаусса может оказаться непригодным так, как в процессе вычисления какой-то ведущий элементстанет равным нулю. Кроме того, если на главной диагонали элементмал, то деление на этот элемент приводит к значительным ошибкам округления. Избежать указанных трудностей позволяет метод Гаусса с выбором главного элемента. В этом методе исключается не следующее по порядку неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. При применении такого варианта метода Гаусса не будет происходить деление на нуль. Различают три варианта метода Гаусса с выбором главного элемента:

а) метод Гаусса с выбором главного элемента по строке: в системе на каждом шаге исключения проводится соответствующая перенумерация переменных;

б) метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу: на каждом шаге исключения проводится перенумерация уравнений;

в) метод Гаусса с выбором главного элемента во всей матрице системы: в этом случае проводится перенумерация и переменных и уравнений.