математический анализ _часть 1
.pdfСаратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского
Л.Л. Громова, А.М. Захаров, М.А. Осипцев, Л.В. Сахно
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Часть 1. Введение в анализ. Числовые ряды. Дифференциальное исчисление
Учебное пособие для студентов механико-математического факультета
ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2005
УДК 517(075.8) ББК 22.19.я73
Г
Громова Л.Л., Захаров А.М., Осипцев М.А., Сахно Л.В.
Б82 Практические занятия по математическому анализу: В 3 ч. Часть 1. Введение в анализ. Числовые ряды. Дифференциальное исчисление: Учеб. пособие для студентов мех.-мат. фак. – Саратов: Изд-во Сарат.
ун-та, 2005. – 48 с.: ил. ISBN 5-292-
Пособие является руководством к решению задач по математическому анализу, состоит из трех частей. В первой части рассмотрены теория пределов последовательностей, числовые ряды, предел и непрерывность функций, дифференциальное исчисление функций одного переменного. Приводятся необходимые теоретические сведения, а также многочисленные примеры, в которых разъясняется решение типовых задач. В пособии даются две контрольные работы по изложенным темам.
Для студентов механико-математического факультетов.
Рекомендуют к печати:
Кафедра математического анализа механико-математического факультета Саратовского государственного университета Кандидат физико-математических наук А. Л. Лукашов
|
УДК 517(075.8) |
|
ББК 22.19.я73 |
|
Работа издана в авторской редакции |
ISBN 5-292- |
© Громова Л.Л., Захаров А.М., |
|
Осипцев МА., Сахно Л.В., 2005 |
|
2 |
ПРОГРАММА КУРСА
1. Теория пределов последовательностей.
Конечные и бесконечные множества, операции над ними. Понятие счетного множества. Понятие действительного числа как бесконечной десятичной дроби. Верхняя и нижняя грани ограниченного множества, их существование.
Понятие последовательности и ее предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Сходимость ограниченной монотонной последовательности. Арифметические действия над сходящимися последовательностями. Число и его роль в математическом анализе.
Теоремы о переходе к пределу в неравенствах и о сходимости последовательности, ограниченной двумя сходящимися последовательностями, имеющими одинаковые пределы.
Частичный предел, верхний и нижний пределы, их существование. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
2. Числовые ряды.
Понятие числового ряда. Сходимость и сумма ряда. Свойства рядов как свойства последовательностей частных сумм. Абсолютная сходимость ряда, ее связь со сходимостью. Признак мажорации. Геометрический ряд. Признаки Коши и Даламбера абсолютной сходимости ряда. Условная сходимость. Признак Лейбница сходимости ряда.
3. Предел и непрерывность функций.
Понятие предела и непрерывности функции в точке. Эквивалентность определений Коши и Гейне. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность композиции непрерывных функций.
Односторонние пределы и односторонняя непрерывность функции. Существование одностороннего предела монотонной ограниченной функции. Первый и второй замечательные пределы. Теоремы о существовании и непрерывности обратной функции. Классификация точек разрыва функции.
Определение и непрерывность элементарных функций: степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических и их обратных. Графики элементарных функций.
3
4. Дифференциальное исчисление функций одного переменного.
Понятие дифференцируемой функции в точке, производной и дифференциала. Физический и геометрический смысл понятия дифференцируемости и производной функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцируемость и производная сложной и обратной функций. Арифметические действия над дифференцируемыми функциями. Производные элементарных функций.
Локальный экстремум функции, теорема Ферма. Теоремы о среднем значении дифференцируемых функций: Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя для отыскания предела отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций.
Производные высших порядков. Многочлен и формула Тейлора. Достаточное условие экстремума функции. Критерий монотонности функции на интервале. Выпуклые функции, критерий выпуклости. Точки перегиба, необходимое условие точки перегиба.
Методы приближенного вычисления значений функции и решения уравнений.
4
1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Число х называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа ε найдётся номер
n0 такой, что для всех n , начиная с этого номера, выполняется неравенст-
во | xn − x |< ε.
Символически это определение записывается так:
lim x |
n |
= x ε > 0 n : n ≥ n |
0 |
| x |
n |
− x |< ε. |
n→∞ |
0 |
|
|
Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Если предела не существует, то такая последовательность называется расходящейся.
ТЕОРЕМЫ об арифметических операциях над пределами последовательностей
Если существуют пределы lim xn = x и lim yn = y , то
n→∞ n→∞
1) предел суммы последовательностей равен сумме пределов последовательностей:
lim (xn + yn ) = lim xn + lim yn |
= x + y ; |
||
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
|
2) предел разности последовательностей равен разности пределов |
|||
последовательностей: |
|
|
|
lim (xn − yn ) = |
lim xn − |
lim yn |
= x − y ; |
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
|
3) предел произведения последовательностей равен произведению пределов последовательностей:
lim (xn yn ) = |
lim xn |
lim yn = xy ; |
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
4) предел частного последовательностей равен частному пределов последовательностей:
|
xn |
|
lim x |
n |
|
|
x |
|
|
lim |
= |
n→∞ |
= |
|
( lim yn ≠ 0 , |
yn ≠ 0 ). |
|||
|
lim yn |
|
y |
||||||
n→∞ yn |
|
|
|
n→∞ |
|
||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности,
доказать, что lim 5n +1 |
= −5 . Если ε = 0,01, то, начиная с какого номера, |
n→∞ 1 − n |
|
выполняется неравенство xn −5 < ε.
Решение. Согласно определению предела последовательности, тре-
буется |
|
доказать, |
что |
|
|
ε > 0 n0 : n ≥ n0 |
|
выполняется |
неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5n +1 |
+ 5 |
|
< ε. Решим это неравенство относительно n. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n +1 + 5 −5n |
|
< ε, |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
< ε, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
6 |
|
< ε, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
< ε, |
|
|
|
6 < ε(n −1) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n > |
6 |
+1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Итак, если |
n > |
|
+1, то исходное неравенство действительно спра- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ε |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ведливо. |
|
|
Номер |
n0 , |
начиная с |
|
которого |
|
|
|
выполняется |
неравенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
5 |
|
< ε, можно найти по формуле |
|
|
n0 = |
|
|
|
+ |
1 |
+1. Здесь квадратные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 − n |
|
|
|
ε |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
||||||||
скобки |
означают |
целую |
часть |
|
числа. |
|
При |
|
|
|
|
|
ε = 0,01 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n0 = |
|
|
|
|
|
+1 +1 = 602 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Пример 2. Вычислить предел |
|
lim |
3n2 +5n − 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 1 + 2n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби |
на старшую сте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пень. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n2 + 5n − 2 |
|
|
|
3 + |
|
|
− |
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
= lim |
|
|
n |
n2 |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 1 + 2n + 7n2 |
|
n→∞ |
1 2 |
+ 7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Здесь воспользовались тем, что при n , стремящемся к бесконечно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сти, 5 |
→0 , |
2 |
→0 , |
|
1 |
|
|
→0 , |
2 →0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Если в числителе и знаменателе записаны многочлены, то предел такой дроби зависит от их степеней.
1.Если степени числителя и знаменателя совпадают, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.
2.Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности.
3.Если степень знаменателя больше степени числителя, то предел равен нулю.
6
Пример 3. |
Согласно приведенному правилу |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
2n −3 |
|
2 |
|
2 |
|
|
7n5 |
− n4 + 72n + 2 |
|
7 |
|
||||||
lim |
|
|
|
+ |
|
|
= 0 + |
|
= |
|
; |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
; |
|
4n + 2 |
3n +5 |
3 |
3 |
|
|
|
+ 2n3 −13 |
3 |
||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ 3n5 |
|
|
|||||||||||||
lim |
5n5 −83n4 −7n + 2n6 |
= ∞; |
|
lim |
n3 |
+ |
3n4 + n |
− n5 |
= 0 . |
||||||||||||
|
100n4 − 2n3 |
−3 |
|
3n4 |
+12n6 |
+ 4 |
|
||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 4. |
Вычислить предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( n2 − 2n − 4 − n2 −6n +5) .
n→∞
Решение. Пределы такого вида широко распространены и решаются домножением на сопряженное выражение с применением формул сокращенного умножения:
lim ( n2 − 2n − 4 − n2 −6n +5) =
n→∞
= lim |
( |
n2 −2n −4 − |
n2 −6n +5)( n2 |
−2n |
−4 |
+ n2 −6n +5) |
= |
|
||||||||||
|
|
n2 −2n −4 + n2 −6n +5 |
|
|
|
|||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
n2 |
−2n −4 −n2 +6n −5 |
= lim |
|
|
|
4n −9 |
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 −2n −4 + n2 −6n +5 |
|||||||||||
n→∞ n2 −2n −4 + n2 −6n +5 |
n→∞ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 − |
9 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
n |
|
|
|
= |
|
=2. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+1 |
|
|
|||||
|
|
n→∞ 1− |
2 |
− |
4 |
+ |
|
1− |
6 |
+ |
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
Определение 3. Последовательность {xn } называется ограниченной, если найдется такое число M , что для всех номеров n выполняется неравенство xn ≤ M .
Известно, что произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.
Пример 5. Вычислить предел |
lim |
|
n |
2 sin 3n |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
− 2n + |
|
|
||||||||||
|
|
n2 |
n→∞ n4 |
1 |
|
|
|||||||||
Решение. Так как lim |
|
|
= 0 , а |
|
sin 3n |
|
<1, то |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n→∞ n4 − 2n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
lim |
|
n2 sin 3n |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
− 2n +1 |
|
|
|
|
||||||||
|
n→∞ n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Для решения задач по теме «Ряды» надо изучить признаки сходимости положительных и знакопеременных рядов, абсолютную и условную сходимость. Краткий перечень сведений из теории приводится ниже в виде теорем.
∞ |
сходится, то lim an = 0 . |
ТЕОРЕМА 1. Если ряд ∑an |
|
n=1 |
n→∞ |
|
|
Однако для решения задач эта теорема более удобна в следующей |
|
равносильной форме. |
|
ТЕОРЕМА 1'. Если lim an |
не равен 0 или не существует, то ряд |
n→∞ |
|
∞
∑an расходится.
n =1
ТЕОРЕМА 2 (признак сравнения I). Пусть даны два знакоположи-
∞ |
∞ |
|
an |
|
|
тельных ряда ∑an и |
∑bn . Если |
lim |
= k, 0 < k < ∞, то оба ряды ве- |
||
|
|||||
n =1 |
n =1 |
n→∞ bn |
дут себя одинаково (одновременно сходятся или расходятся).
ТЕОРЕМА 3 (признак сравнения II). Если члены знакоположитель-
|
∞ |
∞ |
|
|
ных рядов ∑an |
(A) и ∑bn |
(B) для всех n, начиная с некоторого номера, |
||
|
n =1 |
n =1 |
|
|
удовлетворяют неравенству |
an ≤ bn , то из сходимости ряда (B) следует |
|||
сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A) следует расходимость ря- |
||||
да (B). |
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера). Если для знакоположительного |
||||
ряда lim |
an+1 |
= q , то при q >1 ряд расходится, при q <1 ряд сходится. |
||
|
||||
n→∞ |
an |
|
|
При q =1 ряд может сходиться, а может расходиться.
ТЕОРЕМА 5 (признак Коши). Формулировка совпадает с теоремой 4
с той разницей, что q = lim n an .
n→∞
Кроме того полезно помнить поведение некоторых стандартных
рядов.
∞ |
1 |
|
ТЕОРЕМА 6. Ряд ∑ |
|
при α >1 сходится, а при α ≤1 расходится. |
|
||
n =1nα |
|
Отметим, что при α =1 получаем расходящийся ряд ∑∞ 1 , который
n=1 n
называется гармоническим. В школе изучается ряд
∞
1 + q + q2 +…+ qn +…= ∑qn
n =1
8
– геометрическая прогрессия, который сходится при q <1.
∞
Пусть теперь ряд ∑an (A) имеет члены произвольного знака. Соста-
n =1
∞
вим ряд ∑ an ( A ).
n =1
∞
ТЕОРЕМА 7. Если сходится ряд ∑ an ( A ), то сходится (абсолют-
n =1
∞
но) ряд ∑an (A).
n =1
ТЕОРЕМА 8 (признак Лейбница для знакочередующихся рядов). Ес-
ли модули членов знакочередующегося ряда ∑∞ (−1)n +1 an монотонно убы-
n =1
вают и стремятся к нулю, то этот ряд сходится.
Если ряд ( A ) расходится, а ряд (A) сходится, то он называется схо-
дящимся условно.
При решении примеров полезно знать некоторые пределы. Напомним их.
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ln(1 + |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 )n = e, |
|
|
|
|
a n −1 |
|
||||||||
lim n n =1, |
lim (n + |
lim |
n |
=1, |
lim |
= ln a, a > 0 . |
||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
n |
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
Пример 6. Установить сходимость или расходимость ряда
∑∞ n2 .
n=1n(n +1)
Решение. Полезно сразу использовать теорему 1'. Здесь an = |
|
n |
2 |
|
|
, |
|||||||||||||||||
n(n |
+1) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и lim |
|
n2 |
=1 ≠ 0 , значит, данный ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n→∞ n(n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n2 |
|
||||||
Пример 7. Установить сходимость или расходимость ряда ∑ |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =14n |
+1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
= |
|
|
> 0 , поэтому можно применять теоремы 1 – 5. |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n +1 |
|
|
|
|
(n +1)2 |
|
|
|
|
|
||||
Из них проще всего взять признак Даламбера. Запишем an+1 = |
. То- |
||||||||||||||||||||||
4n+1 +1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
an+1 |
|
|
|
|
(n +1)2 (4n +1) |
|
4n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
гда lim |
= lim |
|
= lim |
= |
1 <1. Ряд сходится. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(4n+1 +1)n2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n→∞ |
an |
|
n→∞ |
|
|
n→∞ 4n+1 +1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8. Установить сходимость или расходимость ряда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n + |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( |
|
|
|
) 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2n +1 |
) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. |
an = ( |
2 |
> 0 . Применимы теоремы 1 – 5. Здесь удоб- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
нее |
взять |
|
признак |
Коши |
|
|
|
|
и |
|
легко |
вычислить |
||||||||||||||
|
|
2n +1) |
n |
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim n an |
= lim ( |
2 |
|
<1 , следовательно, ряд сходится. |
||||||||||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
3n +1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Чтобы воспользоваться теоремой 2, надо сначала выбрать для данно- |
||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|||
го ряда |
∑an другой ряд |
∑bn так, чтобы lim |
≠ 0 |
(или ∞) и поведение |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ bn |
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда ∑bn было уже известно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9. Установить сходимость или расходимость ряда |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
an = |
|
|
1 |
|
|
> 0 . Так как |
|
lim |
an |
= lim |
1 |
|
= 0 , то данный |
||||||||||||
|
2n +3 |
|
|
2n + 3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
ряд может как сходиться, так и расходиться. Теоремы 4, 5 ответа не дают, q =1. Так как знаменатель линейно зависит от n, то берём для сравнения
∞ |
1 |
|
|
|
a |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд ∑ |
|
. Тогда |
lim |
|
= |
lim |
|
|
|
= |
|
. Оба ряда ведут себя одинаково. |
||||||||||||
|
|
|
2n + |
3 |
2 |
|||||||||||||||||||
n =1n |
|
|
n→∞ bn |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∞ |
1 |
расходится (гармонический), то данный ряд тоже расхо- |
||||||||||||||||||||
Так как ряд ∑ |
n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Замечание. Если бы |
a |
n |
= |
|
|
, то b |
= |
. В случае дробного по- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2nk |
+3 |
|
|
|
n |
|
|
nk |
|
||||
казателя решение аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 10. Установить сходимость или расходимость ряда |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 n3 − n +1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
Находим, |
что |
|
n3 −n +1 = n 32 1 − 1 |
+ 1 , поэтому для |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n2 |
n3 |
сравнения берём ряд с общим членом b |
n |
= |
|
|
( α =3/ 2 >1, ряд сходится). |
|||||||||||||||||||
n |
32 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|