REL исходный с п

1

Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина

Серия Прикладная математика в инженерном деле

В.В. Рыков

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК

Конспект лекций для студентов специальности 33.05.00-Безопасность технологических процессов и производств РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина

Москва, 2006

2

ÓÄÊ 62 192 : 52(031)

Настоящее издание представляет собой исправленный специально для электронного издания конспект одноименного курса лекций, прочитанных студентам специальности 33.05.00 Безопасность технологических процессов и производств Российского государственного университета нефти и газа им. И.М. Губкина в осеннем и весеннем семестрах 1998-2000 учебных годов.

В лекциях отражены три основных направления, связанных с техногенной безопасностью и технологическими рисками элементы теории надежности, элементы общей теории риска и основы страховой математики, составляющие три главы курса.

Использованная при подготовке курса литература приведена в конце каждой главы. Основной единицей курса является параграф, поэтому нумерация формул, рисунков, таблиц, теорем и т.п. своя внутри каждого параграфа. При ссылках на формулы из других параграфов используется двойная нумерация.

При работе над конспектом лекций большую помощь мне оказали студ. гр. МБ-96-08 Алексей Ляпин и Маша Иванова, первый из которых добросовестно набрал большую часть текста в редакторе WORD, а вторая неоднократно распечатывала его и вносила правку. В редактировании и подготовке второго варианта лекций в весеннем семестре 1998-99 учебного года активно участвовали студенты гр. АС-94-8 Максим Мастерских, Владимир Бурулев и Максим Мухин. Наконец, студент гр. МБ-98-08 Роман Монахов заново отредактировал все рисунки. Приношу им всем свою искреннюю благодарность.

c Рыков В.В. 2006

Часть I

НАДЕЖНОСТЬ

ТЕХНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

3

4

Ÿ1 Основные понятия и характеристики надежности

1.1Основные понятия

Приводимые ниже понятия соответствуют принятой в теории надежности терминологии [1] и приводятся с учетом [2] и [6]).

Под объектом в теории надежности понимают элемент, техни- ческое изделие, установку, аппарат и вообще систему или ее часть, рассматриваемую с точки зрения их надежности.

В дальнейшем при изучении простых объектов мы будем использовать термин изделие, а при изучении сложных (комплексных) объектов термин система, термин элемент употребляется для обозначения минимальных составных частей системы.

Эксплуатация объекта (изделия или системы) - это совокупность всех фаз его существования (транспортировка, хранение, использование, обслуживание и ремонт).

Надежностью объекта называется его способность выполнять определенные задачи при определенных условиях эксплуатации.

Под качеством объекта понимают совокупность свойств, определяющих степень его пригодности для использования по назначению.

Таким образом, надежность объекта это одна из составляющих компонент его качества.

Теория надежности - это научная дисциплина о закономерностях, которых следует придерживаться при проектировании, изготовлении, испытаниях и эксплуатации объекта для получения максимальной эффективности при его использовании.

Теория надежности оперирует такими понятиями, как безотказность, отказ, долговечность, ремонт, ремонтопригодность объектов.

Под безотказностью понимается способность объекта сохранять работоспособность в течение определенного интервала времени при определенных условиях эксплуатации.

Отказ это частичная или полная утрата таких свойств объектов, которые принципиально снижают или приводят к полной потере работоспособности. В связи с эти отказы классифицируют на полные и частичные. Кроме того, отказы подразделяются на внезапные,

5

при которых объект внезапно (неконтролируемо) утрачивает работоспособность, постепенные, при которых работоспособность утра- чивается постепенно (обычно по мере выхода некоторых физических параметров объектов за допустимые допуски), и сбои временную утрату работоспособности.

Долговечность это способность объекта к длительной эксплуатации при необходимом техническом обслуживании.

Ремонт это процедура, которая восстанавливает качество объекта.

Ремонтопригодность приспособленность объекта к предупреждению, обнаружению и устранению отказов.

Безопасность это свойство объекта (изделия) не допускать ситуаций, опасных для людей и окружающей среды.

Дальнейшие понятия и определения будут вводиться по мере необходимости.

Поскольку надежность это сложное и комплексное свойство объектов, то оно характеризуется различными показателями (характеристиками). Рассмотрим различные характеристики и показатели надежности элементов и систем, и прежде всего рассмотрим эти характеристики для изделий и систем, работающих до первого отказа.

1.2 Характеристики надежности изделия, работающего до первого отказа.

В этом разделе надежность объекта изучается независимо от надежности составляющих его частей как единого целого, в связи с чем вместо термина "объект"будем использовать термин "изделие". Пусть изделие может находиться в двух состояниях: работоспособном, которое будем обозначать цифрой "1", и неработоспособном, или отказовом, которое будем обозначать цифрой "0".

Обозначим через время до отказа (длительность безотказной работы) нового изделия. Заметим, что это случайная величина (СВ), а ее основная характеристика это ее функция распределения (ФР)вероятность того, что случайное время до отказа T не превзойдет фиксированного времени t,

6

Здесь и далее символ Pf g означает вероятность события, заключенного в фигурные скобки. В случае непрерывных во времени наблюдений за работой изделия эта функция является непрерывной монотонно не убывающей функцией. В случае дискретных наблюденийступенчатой. Дополнительную функцию

следуя математической терминологии, будем называть функцией надежности1. Для непрерывного распределения графики этих функций представлены на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Функции распределения длительности безотказной работы и надежности некоторого изделия.

При непрерывных наблюдениях случайная величина также ха-

1 Согласно российскому ГОСТу по надежности - эта функция называется вероятностью безотказной работы в интервале времени (0; t], но мы будем использовать более короткий термин, принятый в математической литературе.

7

рактеризуется своей плотностью распределения2 (ÏÐ), f (t) = F 0(t): При этом ФР связана с плотностью распределения соотношением

0

В случае, когда время измеряется дискретно, вместо плотности используется дискретное распределение СВ

Помимо распределения длительности безотказной работы нового изделия важной характеристикой его надежности является условное распределение остаточной длительности безотказной работы

изделия, прослужившего время t, которая представляет собой вероятность отказа изделия в интервале времени (t; t + x] при условии, что до момента t отказа не произошло 3,

При малых значениях x имеем:

f (t)

F (x; t) = 1 F (t) x = (t)x;

где функция (t) представляет собой условную плотность распределения остаточной длительности работы изделия, проработавшего время t. Более строго эта функция определяется соотношением

2 При малых t величина f (t) t представляет собой вероятность отказа изделия в интервале (t; t + t): Т.к. с практической точки зрения вероятность измеряется частотой, эту величину называют также частотой отказа.

3 эту характеристику называют также вероятностью отказа изделия в интервале (t; t + x]

8

и в математической литературе называется опасностью отказа 4. Опасность отказа позволяет оценить вероятность отказа изделия,

проработавшего время t; за время ; Pft < T t + g; площадью под кривой, как показано на графике (рис. 1.2)

Рис. 1.2. Функция опасности отказа.

Соотношение (6) позволяет выразить ФР длительности безотказной работы и функцию надежности изделия через его опасность отказа. Действительно, переписывая его в виде

d ln(1 F (t)) = (t) dt;

после интегрирования найдем

Z t Z t

d ln(1 F (u)) du = (u) du;

0 0

4 Согласно российскому ГОСТу по надежности - эта функция называется также интенсивностью отказа. Однако последний термин используется также в качестве одной из характеристик восстанавливаемых изделий, где имеет совершенно другой смысл. Поэтому во избежании путаницы мы предпочитаем сохранить за ним термин, используемый обычно в математической литературе.

9

или с учетом отсутствия мгновенных отказов, F (+0) = 0, получим

Аналогично для вероятности безотказной работы в интервале (t; t + x] найдем

Помимо функциональных характеристик, длительность безотказной работы изделий характеризуется соответствующими числовыми показателями средним временем безотказной работы (наработкой на отказ), обозначаемыми символом M;

которая характеризует разброс значений длительности безотказной работы вокруг ее среднего значения.

1.3Модели функций надежности

Одной из важных задач теории надежности является моделирование распределений длительностей безотказной работы изделий. Ниже приводятся некоторые из таких моделей с их характеристическими свойствами и возможными областями применения.

10

1.3.1 Показательный закон надежности

Показательное распределение длительности безотказной работы используется для описания надежности изделий, подверженных внезапным отказам и имеет вид

где > 0 параметр. Функция надежности таких изделий равна

а функция опасности отказа постоянна и равна ,

Именно постоянство опасности отказов и позволяет рассматривать это распределение, как распределение внезапных отказов. Более того, постоянство опасности отказов является характеристическим свойством показательного закона надежности. Действительно, из соотношения (7) имеем:

Z t

R(t) = exp du = e t: (14)

0

Другим характеристическим свойством показательного распределения является "отсутствие памяти", которое составляет содержание следующей далее леммы.

Лемма. Изделие обладает показательным законом надежности тогда и только тогда, когда его распределение остаточной длительности безотказной работы не зависит от врмени эксплуатации (возраста),

Доказательство. Действительно, используя формулу условных вероятностей для показательного закона надежности имеем