Uchebnoe_posobie_Sopromat

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРОИНЖЕНЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.П. ГОРЯЧКИНА

Ю.П. ЛОБУНСКИЙ, Н.В. КАРПОВА, Б.В. ПЫЛАЕВ, Н.И. БОЧАРОВ, В.И. БАЛАБАНОВ, В.И. БАШКИРЦЕВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Задания и методические рекомендации по выполнению расчётно-графических работ

МОСКВА 2001

2

УДК 539.3/8 (076)

Рецензент:

Кандидат технических наук, доцент кафедры "Детали машин и ПТМ" Московского государственного агроинженерного университета имени В.П. Горячкина

Н.А. Выскребенцев

Авторы: Лобунский Ю.П., Карпова Н.В., Пылаев Б.В., Бочаров Н.И., Балабанов В.И., Башкирцев В.И.

Сопротивление материалов. Задания и методические рекомендации по выполнению расчётно-графических работ. Разработаны с учётом требований Минобразования РФ. Для студентов специальностей: 313300 "Механизация сельского хозяйства", 311900 "Технология обслуживания и ремонта машин в агропромышленном комплексе", 150200 "Автомобили и автомобильное хозяйство", 033000 "Профессиональное обучение (агроинженерия)". М.: МГАУ им. В.П. Горячкина, 2001. 21 с.

© Московский государственный агроинженерный университет им. В.П. Горячкина, 2001

3. Баловнев Г.Г., Чернов Ю.В. Сборник задач по сопротивлению материалов. – М.: МСХА, 1993.

4

Задание № 1

Часть 1. Расчёт на растяжение-сжатие

Для ступенчатого стального стержня (рис. 1) выполнить следующее:

1. Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ. 2. Определить продольную деформацию стержня ∆l.

Е = 2 · 105 МПа (Н/мм2)

Рис. 1. Расчётная схема ступенчатого стержня

Методические указания

Рассмотрим пример выполнения задачи в общем виде. Для двухступенчатого стержня (рис. 2) построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ, а также найти перемещение свободного конца ∆l, т.е. удлинение всего стержня.

Рис. 3. Отсечённая часть стержня

Рис. 2. Расчётная схема стержня с эпюрами

5

Решение

1. Изображение расчётной схемы задачи (рис. 2), т. е. упрощённой схемы детали (стержня) с внешними нагрузками. Обязательно следует показывать истинные направления внешних нагрузок.

2. Построение эпюр N и σ

1-й участок (0 ≤ х1 ≤ а). N1 = F; σ1 = N1/(2A) = F/(2A) (растяжение). 2-й участок (0 ≤ х2 ≤ b). N2 = F; σ2 = N2/A = F/A (растяжение).

3-й участок (0 ≤ х3 ≤ с ). N3 = F – 2F = –F; σ3 = N3/A = –F/A (сжатие).

При определении внутренних нагрузок используется метод сечений. Отсеченный по третьему участку стержень показан на рис. 3. Для его уравновешивания со стороны отброшенной левой части должна действовать продольная сила N = ∑Fi , где Fi – внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть параллельно оси стержня, Fi > 0, если вызывает растяжение стержня, и Fi < 0, если вызывает сжатие.

3. Определение продольной деформации стержня

∆1 = ∆а + ∆b + ∆с = N1 а/(2АЕ) + N2 b/(AE)+ N3 c/(AE)= = Fa/(2AE) + Fb/(AE) – Fc/(AE) = F(a/2 + b – с )/(АЕ).

Удлинение стержня равно алгебраической сумме продольных деформаций участков. Если деформация положительна, то участок удлиняется, если отрицательна – укорачивается.

6

7

Часть 2. Расчёт балок на изгиб

Для двух балок (рис. 4 и 5) необходимо:

1. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов Мz.

2. Подобрать из условия прочности сечения для консольной балки в виде двутавра, а для балки на двух опорах – по чертежу на рис. 6.

3. Определить перемещение свободного конца консольной балки. Материал балок: сталь Ст3; Е = 2 · 105 МПа; [σ] = 160 МПа (Н/мм2).

Рис. 4. Консольная балка Рис. 5. Балка на двух опорах

Методические указания

Рассмотрим пример расчёта балки, представленной на рис. 7.

Внешними нагрузками, действующими на балку, являются как заданные в условии задачи, так и реакции опор.

1. Определение реакций опор На чертеже изображаем в произвольном направлении реакций опор, в нашем

случае это силы VА, VВ и HА. Условие равновесия балки записываем в виде: сумма моментов относительно точек А и В, а также сумма проекций сил на горизонтальную ось равны нулю, т.е.

∑MiA = М – P(l2 + l3) + VВl2 – (ql2)l2/2 = 0;

∑MiB = М – Pl3 – VAl2 + (ql2)l2/2 = 0;

∑Pix = HA/2 = 0,

здесь (ql2) – сила от распределённой нагрузки с интенсивностью q, действующей на участке балки длиной l2, а (l2/2) – плечо этой силы. Из уравнений условия равновесия находим VA = 23,3 кН, VВ = 66,7 кН, HA = 0. Если вычисленное значение реакции положительно, то истинное направление её совпадает с выбранным при расчёте, если отрицательно, то на чертеже следует направление реакции изменить. Для проверки расчёта берём любое уравнение равновесия, не использованное ранее, например сумму проекций сил на вертикальную ось, которая должна равняться нулю:

∑PiY = VA – (ql2) + VB – Р = 23,3 – (20·3) + 66,7 – 30 = 0.

8

Рис. 6. Сечения балок

9

Рис. 8. Отсечённые части балки

Рис. 7. Расчетная схема балки с эпюрами

1-й участок рассечём в произвольном месте и отбросим любую часть, например правую, тогда х1 – координата сечения, а рассматриваемая (левая) часть балки должна быть в равновесии. На рассматриваемую часть из внешних нагрузок действует только момент М, следовательно,

10

Q1 = ∑Pi = 0, Mz1 = ∑(PiHi) + ∑Mi = M = 10 кН·м, М > 0, так как растягивает верхнюю часть балки.

Участок II

Рассечём II-й участок и отбросим правую часть, тогда х2 – координата сечения (расстояние от ближайшей границы).

Q1 = ∑Pi = –VA + (qх2) = –23,3 + 20x2 (уравнение прямой). Значение VA берётся с ''минусом", так как действует на левую часть вверх, а распределённая нагрузка

– в противоположном направлении. Для построения эпюры Q2 достаточно двух значений на границах:

Q2(х2 = 0) = –23,3 кН и Q2(x2 = 3 м)= –23,3 + 20·3 = 36,7 кН.

Mz2 = ∑(PiHi) + ∑Mi = M – VAх2 + (qх2)x2/2 = 10 – 23,3x2 + 10х22 (уравнение параболы). VA растягивает нижнюю рассматриваемую часть балки, а распределённая нагрузка – верхнюю, в соответствии с этим выбраны знаки перед слагаемыми. Значения изгибающего момента на границах участка Mz2(x2

= 0) = 10 кН·м, Мz2(х2 = 3 м) = 10 – 23,3·3 + 10·32 = 30 кН·м, но этих данных для построения эпюры Mz в виде параболы недостаточно, следует определить координаты экстремальной точки параболы хэ и Мzэ. Используя теорему Журавского для экстремальной точки, имеем

dМz/dх|х = хэ = Q(хэ) = –23,3 + 2 хэ = 0, откуда хэ = 23,3/20 = 1,16 м и Мzэ = 10– 23,3·1,16 + 10·1,162 = –3,3 кН·м.

Участок III

Рассечём III-й участок и отброcим левую часть, на рассматриваемую правую часть действует вниз одна внешняя сила Р, следовательно,

Q3 = –P = –30 кН, Mz3 = Px3 = 30x3;

Mz3(х3 = 0) = 0, Mz3(х3 = 1) = 10 – 23,3·3 + 10·32 = 30 кН·м.

Правильно построенная эпюра Mz имеет "излом" в сторону действия внешней силы и "скачок" под внешним моментом.

По эпюре Mz определяем опасное сечение балки, где модуль изгибающего момента максимален, в нашем случае это сечение В и

│Mz│max = 30 кН·м. Условие прочности при изгибе

σ = │Mz│max/Wz ≤ [σ],

откуда осевой момент сопротивления

Wz ≥ │Mz│max / [σ] = 30·106 H·мм / 160 Н/мм2 =187,5·103 мм3. 3. Определение сечения балки

Для рассматриваемой балки определим сечение, показанное на рис. 10. Так как сечение имеет оси симметрии, то они являются главными осями у и z. Ось у, лежащую в плоскости действия внешних нагрузок, следует выбирать так, чтобы минимизировать площадь сечения.

Момент инерции сечения относительно оси z равен

Iz = IzI – 2IzII = 0,27b4 – 2·0,0035b4 = 0,263b4, где IzI = SH3/l2 = 0,8b(l,6b)3/12 = 0,27b4;

IzII = sh3/12 = 0,2b(0,6b)3/12 = 0,0035b4.

1. В рассматриваемой задаче yk направлена вверх.

Рис. 11. К расчёту консольной балки

12

Таблица 3. Данные к части № 1 задания № 2

15

Рис. 14. Приведение силы Р к валу

Рис. 15. Приведение сил 2S1 и S1 к валу

действующим против часовой стрелки, Mi < 0 – по часовой стрелке. Для показанной на рис. 13 отсечённой части вала

Мкр = М2 – М3= 0,13 – 0,24 = – 0,11 кН·м. 3. Определение внешних изгибающих нагрузок

Вначале следует определить внешние активные нагрузки, действующие на вал от шкивов, шестерни. Для этого воспользуемся методом приведения сил к центру вала, как показано на рис. 14 и 15 для шестерни и шкива I.

Метод приведения сил включает в себя приложение к центру вала двух разнонаправленных сил, например Р (рис. 14), действующих параллельно Р, при этом характер нагрузок не изменяется, следовательно, действующую на шестерню силу Р, можно заменить приложенной к центру вала силой Р и действующим на вал моментом М3 = PD3/2, откуда

Р = 2М3/D3 = 2·0,24/0,3 = 1,6 кН. Так как действие силы Р не совпадает с направлением выбранных осей, то её заменяем на проекции

Pz = P sin 60° = I,6 sin 60° = 1,4 кН,

Pу = Р cos 60° = 1,6 cos 60° = 0,8 кН.

Для шкива I (рис. 15) имеем действующий на вал момент

M1 = M2S – Ms = S1D1/2, откуда S1 = 2M1/D1 = 2·0,13/0,2 = 1,1 кН, и

приложенную к центру вала силу R1 = 2S1 + S1 = 3S1 = 3,3 кН.

Для шкива II, поступая аналогично, получаем

S2 = 2M2/D2 = 2·0,13/0,4 = 0,7 кН и R2 = 3S2 = 2,1 кН.

Кроме рассчитанных активных сил, действующих на вал, следует определить так же, как в части 1 задания 1, реакции опор, которыми являются подшипники, при этом подшипники вала заменяются шарнирными неподвижной А и подвижной В опорами.