Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК ТеорМех для Мех2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

1.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Следовательно, действие возмущающей силы с очень большой частотой (p k) , почти не нарушает режима собственных колебаний.

Если p k , тогда частное решение рассмотренного вида не существует. Ищем частное решение в виде:

x Btcos(kt )

Находим производные x

Bcos(kt ) Bktsin(kt ),

Bksin(kt ) Bksin(kt ) Bk

tcos(kt )

Для нахождения В подставим значения x

в уравнения (16) учитывая, что p k :

и x

Bksin(kt ) Bksin(kt ) Bk2tcos(kt ) k2Btcos(kt ) hsin(kt )

или

2Bksin(kt ) hsin(kt ) B

Общее решение имеет вид:

x C

coskt C

sin kt

tcos(kt )

или x C

coskt C

sin kt

tcos(kt

)

Из уравнения видно, что с течением времени амплитуда

возрастает неограниченно, т.е. возникает резонанс (см. рис.).

Влияние сопротивления на вынужденные колебания

Действующие

силы:

восстанавливающая

сила

, возмущающая сила

, сила

сопротивления R : Fx cx,Qx H sin( pt ),Rx x

Составим дифференциальные уравнения движения точки М:

x H sin( pt )

или

sin( pt )

Или, введя обозначения

2n,

k2 ,

x hsin( pt )

(18)

x 2nx

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при наличии сопротивления движению.

Имеем неоднородное уравнение второго порядка. Общее решение неоднородного уравнения:x x x

Общее решение однородного уравнения x имеет вид (13), (15) или (15а) в зависимости от

значений величин k		и n.
Частное решение будем искать в форме:
		x A	sin( pt )					(19).
		C
Постоянные AC и		определим, подставляя (19) в (18).
					AC pcos(pt )
			x		AC pcos(pt )
				AC p		2	sin( pt )

В (18):		x
В (18):
A	p2 sin( pt ) 2nA pcos(pt ) A k2							sin( pt ) hsin( pt )
C		C					C
Представим	hsin( pt ) hsin( pt			) hsin( pt )cos hcos(pt )sin

Подставим это выражение, сгруппируем члены с косинусом и синусом:

AC (k2 p2 ) hcos sin( pt ) (2nAC p hsin )cos(pt ) 0

Приравниваем коэффициенты и получаем:

A (k2

p2 ) hcos , 2npA

hsin ,

Следовательно,

(k2 p2 )2 4n2 p2

2np

Подставим эти значения ( AC )

в частное решение:

sin( pt )

(k2 p2 ) 4n2 p2

Общее решение будет следующим:

1). При

n k

x ae nt sin(

k2 n2 t )

sin( pt )

(k2 p2 ) 4n2 p2

2). При

n k

x ae ntsh(

n2 k2t )

sin( pt )

(k2 p2 ) 4n2 p2

3). При n k

x e nt (C t C

)

sin( pt )

(k2 p

2 ) 4n2 p2

Величины a, или C1,C2

определяются из начальных условий.

Движение представляет собой наложение собственно вынужденных колебаний на затухающие колебания (при n k ) или наложение вынужденных колебаний на апериодическое движение (при n k ). Наличие множителя e nt обусловливает быстрое затухание движений, и по истечении некоторого промежутка времени (периода установления) точка будет совершать только вынужденные колебания.

Лекция 25

Движение свободной материальной точки под действием центральных сил. Закон площадей. Формулы Бине.

Движение материальной точки под действием центральных сил

Рассмотрим движение материальной точки под действием центральной силы (линия действия постоянно проходит через неподвижную точкуО, принимаемую за начало координат). Отталкивающую силу считаем положительной, притягивающую – отрицательной. Так как для

центральной силы mom0 F 0,

то согласно теореме об изменении кинетического момента

существует первый интеграл, который носит название интеграла площадей:

(1)

Проекции вектора

на оси системы декартовой координат определяются по формулам:

(2)

cx yz

yz ,

cy zx zx,

cz xy xy.

Если cx cy cz 0, то, очевидно, точка будет двигаться по прямой, проходящей через

центр О. Если же хотя бы одна из величин (2) отлична от нуля, то вектор r во все время

движения лежит в фиксированной плоскости, перпендикулярной вектору c. Уравнение этой плоскости имеет вид:

cx x cy y cz z 0.

Таким образом, орбита точки, движущейся под действием центральной силы, является

плоской кривой.

Выясним геометрический смысл интеграла площадей. Выберем систему координат O~x~y~z так, чтобы плоскость движения точки совпадала с плоскостью O~x~y , введем полярные координаты точки r и :

~	~
x rcos ,	y rsin .

Тогда c~x c~y 0, c~z ~x~y ~x~y и получим полярную форму интеграла площадей:

c~ .

(3)

Пусть теперь за время dt угол изменяется на величину d , радиус r

на

dr , тогда

площадь криволинейного треугольника, описываемого радиусом за время

будет (с

точностью до бесконечно малых высшего порядка):

r r

Если обе части этого равенства разделить на

и перейти к

пределу, получим:

(4)

dt 2

Производная

в механике называется секторной скоростью.

Тогда для нее с учетом (3) и (4) имеем выражение:

c~ .

2 z

Таким образом, геометрический смысл интеграла площадей заключается в том, что секторная скорость точки постоянна.

Формула Бине

Переобозначим полярный угол через φ. Известно, что скорость точки в полярных координатах:

v	2	r	2	dr 2	r	2	d 2


Из интеграла площадей выделим dt :				dt			dt
Из интеграла площадей выделим dt :

r2d

C dt

и подставим в выражение для скорости:

dr 2 C2

2 (d )2 C2

dt r

(d )

Сделаем замену:

1 dr

или

d 1

тогда для квадрата скорости

r2 d

d r

получим:

	2		2		dr	2			1				2		4	d 1		2	1					1				2		1	2	1
v	2	C	2		dr	1			1			C	2	r	4	d 1			1					1			C	2	d	1		1

								4		2											4					2							2
							r	4	r	2										r	4				r	2						r	2
				d			r		r							d r				r					r				d r			r

Или
												2			2		1		2			1
											v	2	C		2	d	1					1

																						r	2
																d r						r

Эта формула называется первой формулой Бине для скорости точки. Формула позволяет определить скорость материальной точки, движущейся в центральном поле, если известны ее траектория r r( ) и секторная скорость.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

Fdr d

mv2

Разделим на d и подставим

из первой формулы Бине:

d m

2 d 1

d 1

d 2

d r

2 d d r

mC2

2 1 dr

2 d

1 d2

1 dr

d r d

2 d 1 d2

1 d

d 1

d r d

r d r

d r d

Подставим в левую часть

, получим:

d 1

1 d2

F( r

)

mC2

Это вторая формула Бине, которая служит для определения центральной силы, когда известны траектория и секторная скорость точки. Формулы Бине позволяют решить и обратную задачу – нахождение траектории точки по заданной центральной силе. Тогда задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения второго порядка.

Пример.

Материальная точка массой m описывает окружность радиуса R . Какой должна быть центральная сила, если ее центр находится на окружности?

За полярную ось примем диаметр окружности ОА. Тогда уравнение траектории будет

r 2Rcos или

2Rcos

Вычислим производные от

sin

(cos )

( 1)(cos )

( sin )

;

2R d

2R cos2

cos cos2

2cos ( sin )sin

sin2

cos

Подставим эти значения в формулу Бине для силы:

mC2

2sin2

cos

2Rcos

mC2

2(1 cos2 )

mC2

cos

8mC2 R2

8mC2R2

32R5 cos5

Т.е. на точку действует центральная притягивающая сила, обратно пропорциональная пятой степени расстояния точки от притягивающего центра. Величина силы зависит от закона движения точки по траектории. Предположим, что в наиболее удаленной точке траектории (r 2R) скорость равно v0 , тогда C 2Rv0 и для F получим выражение:

F	8m4R2v2R2	32mv	2R4
	0	0		.
	r5
		r5

Лекция 26

Задача о движении планет. Законы Кеплера. Вывод закона тяготения Ньютона из законов Кеплера.

Задача о движении планет

Законы движения планет были открыты немецким астрономом Иоганном Кеплером (15711640). Его изгнали из Германии, и он работал в Праге со знаменитым Тихо-Браге (1546-1601). Обрабатывая многочисленные наблюдения Тихо-Браге планеты Марс, Кеплер установил законы движения планет.

1.Все планеты (и кометы) движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2.Площади, описываемые радиус-векторами планет относительно Солнца пропорциональны временам движения планет.

3.Для планет, движущихся по эллипсам, квадраты времен обращения пропорциональны кубам больших полуосей, т.е.

T2 :a3 const .

Законы Кеплера давали вполне ясную картину движения планет и показывали, что мир планет представляет собой стройную систему, управляемую единой силой, связанной с Солнцем. Но установить закон действия силы тяготения к Солнцу Кеплер не мог, так как еще не были известны основные законы механики. Впервые силу, действующую на планеты, определил Ньютон. Свои рассуждения Ньютон проводил сложным геометрическим методом.

При выводе закона тяготения мы воспользуемся формулами Бине.
			Вывод закона тяготения Ньютона из законов Кеплера
	Из второго и первого законов Кеплера следует, что сила, действующая на планеты, -
центральная,		причем		ее центром		является Солнце. В самом	деле, из закона	площадей
		имеем				Определяя ускорения	из уравнений	движения:
xy yx C				xy	yx 0.
		Y,
mx	X, my		mz Z , получим, что момент силы относительно начала координат равен

нулю, следовательно, сила – центральная.

Первый закон Кеплера определяет орбиту и дает возможность определить силу при помощи формул Бине. Запишем полярное уравнение эллипса:

1		1 ecos	,	(1)

r p

где e

- эксцентриситет эллипса, a и b – большая и малая полуоси эллипса,

фокальный параметр. Подставим (1) во вторую формулу Бине:

mC2

ecos

1 ecos

mC2

Таким образом, центральная сила, действующая на планету, - притягивающая (т.к. знак

«минус») и обратно пропорциональна квадрату расстояния планеты от Солнца. Величина С удвоенной секторной скорости определяется из закона движения планеты.

Представим силу, действующую на планету, в виде:

F m , r2

где C2 . p

Покажем, что действующая сила прямо пропорциональна массам планет. Для этого предварительно необходимо показать, что величина μ одинакова для всех планет. Ее можно представить в виде:

C2	C2a	.
p
	b2

За период обращения радиус-вектор заметет всю площадь (πab) эллипса, следовательно:

dS T C T ab C 2 ab , тогда

dt	2					T
		4 2a2b2a		4	2 a3
		T	2b2			T2

По третьему закону Кеплера это отношение постоянно для всех планет, следовательно, μ постоянно для всех планет Солнечной системы. Если положить μ = k2M, где M – масса Солнца, то сила, действующая на планету:

F k2 mM . r2

Закон всемирного тяготения: два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Величина k2 также постоянна для всех планет Солнечной системы; называется

гравитационной постоянной: k2 .

Полученный закон взаимного притяжения тел оказался справедлив не только для планет, но и вообще для всех тел.

Лекция 27-28

Несвободное движение материальной точки. Понятие о связи. Движение точки по заданной кривой. Движение точки по заданной поверхности. Геодезическая линия.

Движение несвободной материальной точки

1.Постановка задачи

Материальная точка называется несвободной, если она не может занимать

произвольного положения в пространстве. Условия, стесняющие свободу движения точки, называются связями. Связи, наложенные на точку, могут удерживать ее на некоторой кривой или поверхности.

Существенное отличие несвободной точки от свободной, заключается в том, что на несвободную точку при ее движении, кроме активных сил, действуют еще реакции связей.

Если связь идеальная (без трения), то реакция связи будет направлена по нормали к кривой или поверхности, на которой точка вынуждена оставаться в силу наложенных связей.

Величина этой реакции наперед не известна и будет зависеть как от действующих активных сил, так и от закона движения точки.

Основная задача динамики для несвободной точки будет состоять в том, чтобы, зная действующие активные силы и начальные условия, определить закон движения точки и реакции наложенных связей.

2. Дифференциальные уравнения движения точки по заданной кривой в проекциях на декартовы оси координат

Допустим, что связь реономна (нестационарная), т.е. кривая, по которой вынуждена двигаться точка, может с течением времени изменяться, и задана уравнениями

f1 x, y,z,t 0

f2 x, y,z,t 0

Дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме


	d 2		r
m	d 2		r	F N	,	(1)
m	dt	2		F N	,	(1)
	dt	2

N- реакция кривой, направленная по одной из нормалей. Если рассматривать заданную кривую как пересечение

двух поверхностей

f1 и

f2 , то реакцию N можно считать

суммой реакций

этих поверхностей,

направленных

по нормалям к соответствующим поверхностям, т.е.

(2)

N1 +N2

Очевидно,

N1 иN2 лежат в нормальной плоскости данной

кривой. Т.к. направление

нормали к поверхности f 0

совпадает с направлением вектора grad f = 0, то

(3)

2 grad

N1 = 1 grad f1 ,

где 1 и 2 - подлежащие определению множители.

Принимая во внимание равенства (2) и (3), получим уравнение движения точки (1) в виде

F grad f

grad f

(4)

Из уравнения (3) следует, что

1 N1 ,

gradf1

где gradf1 = fx1 2 fy1 2 fz1 2 1 f1.

Для 2 аналогично, тогда

		N1	,				N2	(5)
1		1 f1			2		2 f2

		f	2	f
Величина f	1

		x		y

2		f	2

				gradf	называется первым дифференциальным

	z

параметром функции f (по Ламе).

Из (5) видно, что множители 1 и 2 равны соответственно нормальным реакциям, деленным на первый дифференциальный параметр связи.

В проекциях на оси координат уравнение движения (4) дает:

			f1				f2
mx Fx		1			2
mx Fx		1	x		2		x
			x				x
			f1				f2
my Fy		1			2				(6)
my Fy		1	y		2		y		(6)
			y				y
mz F			f	1			f	2
	z			1				2
							z
		1	z			2	z

Это система совместных дифференциальных уравнений второго порядка; присоединим к

ним уравнения связи f1 x, y,z,t 0, f2 x, y,z,t 0, получим систему уравнений, из которых можем определить x, y, z, 1 и 2 как функции t.

3. Естественные уравнения движения точки по заданной кривой

Когда заданная кривая AB, по которой движется точка, неподвижна (связь склерономна), удобно пользоваться уравнениями движения в проекциях на оси естественного трехгранника:

- направлена в сторону положительного отсчета расстояния S; n – в сторону вогнутости траектории;

b - бинормаль, перпендикулярная , n.

Пусть, действующая на точку активная сила равна F , а реакция связи N ; если связь идеальна, то реакция N нормальна к кривой, т.е. лежит в плоскости nb. Тогда уравнение движения

в проекциях на , n, b дает:

F N

или m

d2s

(7а)

dt2

mv2

F N

(7б)

0 Fb

(7в)

Уравнения (7) называются естественными уравнениями движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой. Они замечательны тем, что первое из них не содержит неизвестной реакции связи и служит для нахождения закона движения точки; уравнения (7б) и (7в) определяют реакцию связи, которая зависит от силы F и от скорости движения.

Таким образом, пользуясь уравнениями (7), можно находить закон несвободного движения не отыскивая реакцию связи, чего нельзя сделать с помощью системы (6).

Пример. Математический маятник совершает движение в вертикальной плоскости xy.

Уравнения связей имеют вид:

f1 x, y,z x2 y2 z2 l2 0 - уравнение сферы f2 (x, y,z) Z 0 - уравнение плоскости xy.

Пересечение этих поверхностей дает окружность в плоскости xy. Уравнения движения будут:

mx mg 1

mg 2 1 x

2y ,

2 1 y

my 0 1

0 mz 2 1 z 2

1 z

mx mg 2 x

(1)

my 2 1 y

0 2

, (1)

mx mg 2 x

xy xy gy

Замена:

x lcos ,

y lsin .

lsin

lcos

lsin

(2)

lcos

lsin

lcos

lsin

lsin lcos lsin

lcos l2

sin

cos

sin cos

l2 lsin

sin

0 .

а затем найти 1 .

Найти y, y ,

Начальные условия: t

0: 0, 0

sin 0

cos c 0

d d

d dt

4. Теорема об изменении кинетической энергии для несвободной точки

Если к несвободной точке, кроме активной силы F , приложить реакции связей, то точку можно рассматривать как свободную и применять к ней все теоремы, справедливые для свободной точки.

По теореме об изменении кинетической энергии имеем:

Fdr 1 grad f1dr 2 grad f2dr

Т.к.

dz,

grad

fdr

а из уравнений связи

f x, y,z,t 0

dt 0

dt .

grad

fdr

Таким образом, теорема для реономной связи имеет вид:

mv2

(8)

Fdr 1

dt 2

для склерономной связи:

тогда

(9)

Fdr

Следовательно, в случае склерономной, идеальной связи реакции связи в выражение элементарной работы не входят, и теорема об изменении кинетической энергии сохраняет тот же вид, что и для свободной точки.

Это объясняется тем, что при склерономных идеальных связях действительное перемещение

dr всегда будет перпендикулярно к реакции N , а потому элементарная работа реакции будет равна нулю.

Из (9) получим:

mv2	mv2	Aa	(10)
	0

2	2	MoM

где AMoMa - работа по перемещению MoM активной силы F .

Если действующая на точку активная сила будет потенциальной, то элементарная работа равна:

Fdr dU dV ,

где V(x, y,z)- потенциальная энергия точки, тогда получим из (9) интеграл энергии:

mv2
	V(x, y,z) h	(11)
2

где h – начальная энергия точки.

Таким образом, интеграл энергии имеет место и для несвободного движения, если действующая сила является потенциальной, а связь – идеальной, склерономной.

Траекторией точки, движущейся по поверхности, будет, очевидно, кривая, лежащая на этой поверхности. Задача определения движения точки по поверхности решается аналогично движению точки по заданной кривой.

Геодезической линией на поверхности называется линия, в каждой точке которой главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности.

Геодезическая линия на поверхности играет для этой поверхности роль прямой линии: если материальная точка вынуждена оставаться на поверхности, то при отсутствии других внешних сил она движется на поверхности по геодезической линии; упругая нить, натянутая на поверхности, принимает форму геодезической линии; линия кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности является геодезической.

Лекция 29

Относительное движение и равновесие материальной точки. Уравнения относительного движения. Силы инерции переносного движения, сила инерции Кориолиса

Относительное движение материальной точки

Любое движение точки или тела рассматривается относительно некоторой системы отсчета. До сих пор мы рассматривали движение по отношению к инерциальной системе отсчета.

Инерциальная система отсчета – система, в которой справедливы основные законы динамики по отношению, к которой материальная точка, на которую не действуют никакие силы, движется по инерции (прямолинейно и равномерно). Инерциальную систему называют условно неподвижной, а движение по отношению к ней - абсолютным.

Будем рассматривать движение по отношению к системе отсчета, которая перемещается как угодно по отношению к инерциальной системе отсчета. Такое движение точки называют относительным. Если движение данной системы отсчета по отношению к инерциальной системе отсчета не является поступательным, равномерным и прямолинейным, то эта система является неинерциальной. В неинерциальной системе отсчета основные законы динамики, и в частности закон инерции, не имеют места.

Неинерциальной является и система отсчета, связанная с Землей. Правда, только тонкие опыты (наблюдение за отклонением падающих тел к востоку, за вращением качания маятника) могут обнаружить неинерциальность геоцентрической системы отсчета. В большинстве случаев, систему отсчета, связанную с Землей можно считать инерциальной.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.2015398.02 Кб77уголовное_1.rtf
#
24.03.2015741.42 Кб46Уголовное_2.rtf
#
24.03.2015240.64 Кб7угроза энерг безоп анализ.doc
#
24.03.2015495.67 Кб17Уильям Джеймс. Многообразие религиозного опыта.doc
#
08.03.2016367.18 Кб183УМК ХОМ.docx
#
24.03.20151.97 Mб19УМК ТеорМех для Мех2012.pdf
#
08.03.2016109.72 Кб46УМК ЭХМ.docx
#
04.05.2019448 Кб4УМКД - тексты 11-12.doc
#
08.03.2016607.39 Кб38УМКД по Соц-псих тренингу.docx
#
16.12.2018907.78 Кб7УП ЮРФАК.doc
#
24.03.20153.37 Mб172УПК РК Новый.doc