Тема 1 : Метрические и топологические пространства

V3

Если d(x, y) метрика, то верна аксиома метрики:

1

d(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x = y

1

d(x,y) = d(y,x)

1

d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

0

d(x,y) ≠ d(y,x)

0

d(x,y) > d(x,z) + d(z,y)

0

d(x,y) < 0

0

d(x,y) < d(y,x)

0

d(x,y) > d(y,x)

V3

Неравенство Гельдера ,

1

1

1

0

≤+

0

≤+

0

≤+

0

|(x,y)| ≥ ||x|| ||y||

0

|(x,y)| ≥ ||x|| + ||y||

V3

Неравенство Минковского,

1

≤+

1

≤+

1

≤+

0

0

0

0

|(x,y)| ≥ ||x|| ||y||

0

|(x,y)| ≥ ||x|| + ||y||

V3

На множестве M = {a, b, c } задана метрика d такая, что d(a, b) = d(b, c) =1. Какие значения может принимать d(a,c) ?

1

2

1

[0; 2]

1

1

0

4

0

5

0

12

0

-5

0

-7

V3

На множестве M = {a, b, c } задана метрика d такая, что d(a, b) =1, d(b, c) =2. Какие значения может принимать d(a,c) ?

1

3

1

[0; 3]

1

1

0

4

0

5

0

12

0

-5

0

-7

V3

На множестве X={a, b, c } задана метрика d такая, что d (a ,b) = 2, d (b,c) = 3 . Какие значения может принимать d (a,c) ?

1

[0; 5]

1

[1; 3]

1

[0;2]

0

[-1; 0)

0

[6; 8]

0

[10;12]

0

[5; 6]

0

[-2; -1]

V3

На множестве X={a, b, c } задана метрика d такая, что d (a ,b) = 5, d (b,c) = 3 . Какие значения может принимать d (a,c) ?

1

[0; 8]

1

[1; 7]

1

[0;2]

0

[-1; 0)

0

[16; 18]

0

[10;12]

0

[25; 36]

0

[-2; -1]

V3

Открытое множество -

1

любая его точка внутренняя

1

объединение любого (конечного или бесконечного) числа открытых множеств

1

пересечение конечного числа открытых множеств

0

любая его точка внешняя

0

любая его точка граничная

0

пересечение любого числа замкнутых множеств

0

объединение конечного числа замкнутых множеств

0

содержит все свои предельные точки

V3

Открытое множество :

1

Его дополнение до всего пространства замкнуто

1

Открытый шар S_r (a)= {x X | d(x, a) < r }

1

Интервал (a;b)

0

Множество рациональных чисел

0

Полуинтервал [a; b)

0

Сегмент [a; b]

0

Множество иррациональных чисел

0

Множество натуральных чисел

V3

Замкнутое множество -

1

содержит все свои предельные точки

1

пересечение любого (конечного или бесконечного) числа замкнутых множеств

1

объединение конечного числа замкнутых множеств

0

любая его точка внешняя

0

любая его точка внутренняя

0

объединение любого числа открытых множеств

0

пересечение конечного числа открытых множеств

0

объединение счетного числа замкнутых множеств

V3

Замкнутое множество:

1

Его дополнение до всего пространства открыто

1

Совпадает со своим замыканием

1

Сегмент [a; b]

0

Полуинтервал [a; b)

0

Множество иррациональных чисел

0

Множество натуральных чисел

0

Интервал (a;b)

0

Множество рациональных чисел

V3

Если Х – банахово пространство, то

1

Х – линейное пространство

1

В Х любая фундаментальная последовательность сходится

1

Х - метрическое пространство

0

Х- гильбертово пространство

0

Х – евклидово пространство

0

Х- бесконечномерное пространство

0

Х- конечномерное пространство

0

Х- не полное

V3

Если Х – банахово пространство, то

1

Х – линейное пространство

1

{ x_n } X : || x_n – x_m || → 0 при n, m →xX : || x – x || → 0при n →

1

Х – нормированное пространство

0

Х- гильбертово пространство

0

Х – евклидово пространство

0

Х- бесконечномерное пространство

0

Х- конечномерное пространство

0

Х- не полное

V3

Если τ = {G_α } топология в Х , то

1

Х τ, τ

1

τ - объединение любого числа множеств из τ принадлежит τ

1

τ - пересечение конечного числа множеств из τ принадлежит τ

0

τ - пересечение любого числа множеств из τ принадлежит τ

0

X \ τ - дополнение объединения любого числа множеств из τ принадлежит τ

0

X τ

0

τ

0

X\ G τ, G τ