3. Метод Якоби (метод простых итераций)
Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.
Далее номер в скобках означает номер строки. Новую первую строку получаю сложением старой первой строки с другими строками, умноженными на специально подобранные коэффициенты. Записываю это в виде формулы:
(1)’ = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4)
(2)’ = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4)
(3)’ = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4)
(4)’ = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3)
Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ".
Решаются системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные
элементы в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения
таких систем уравнений. Конечно, это не дело.
В результате получаю систему уравнений:
Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду: X = B2 + A2*X Преобразую: Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид : А вектор В2:
Методы оптимизации.
Поиск минимума функции одной переменной методом «тяжелого шарика».
Метод базируется на аналогии с движением тяжелого материального шарика по наклонной поверхности. Скорость шарика при движении вниз будет возрастать, и он будет стремиться занять нижнее положение, т.е. точку минимума. Xi+1 = Xi - (Xi –Xi-1) – h gradF(Xi) При = 0 – метод превращается в обычный градиентный. При 0 < < 1 можно получать различную эффективность метода, которая будет зависеть и от h. Вдали от оптимума поиск будет ускоряться, а вблизи возможны колебания около минимума. - определяет память алгоритма, т.е учитывает влияние предыдущей точки, поэтому увеличение этого параметра вблизи минимума может привести к более быстрому затуханию, если градиент функции мал. Предпочтителен, когда глобальный минимум ярко выражен и локальные мелки.
Методы многомерной и условной оптимизации.
Оптимизация — в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.
Методы линейного программирования.
Постановка распределительной задачи.
Пусть некоторое предприятие может изготавливать изделия четырех видов И1 и И2, И3, И4. Известно, что для изготовления изделия требуются три вида оборудования: О1, О2, О3. Известно также, сколько времени потребуется на изготовление каждого изделия на каждом оборудовании, фонд времени работы оборудования (сколько времени может проработать каждое оборудование) и какая прибыль может быть получена при реализации каждого изделия (табл. 2.11). Таблица 2.11 Необходимо так распределить изделия по оборудованиям, чтобы предприятие имело максимальную прибыль. Исходные данные расчета сведены в табл. 2.11. Обозначим: bi — ресурсы оборудования Or, аij — время изготовления i-го изделия Иi на j-м оборудовании; сj — прибыль от одного изделия Иj; хj — количество изделий, которое необходимо выпустить на предприятии.