Глава 1

1.Основные понятия теории уравнений

1.1. Понятие уравнения

Уравнениями называется аналитическая задача по нахождению тех значений аргументов, при которых значения функций f(x_i) и g(x_i), где 1 ≤ i ≥ n, будут равными.

f(x₁, x₂, …, x_n) = g(x₁, x₂, …, x_n) (1)

Функция f называется левой частью уравнения (1), а функция g – правой его частью.

Примечание: В частных случаях правая или левая часть уравнения может быть числом, тогда она рассматривается как постоянная функция (представлена константой), имеющая одно и то же значение при всех значениях аргументов.

Аргументы x₁, x₂, …, x_n называются неизвестными.

Прежде чем мы перейдём к понятию решения данного уравнения, остановимся на области его определения.

Областью определения уравнения (1), или множеством допустимых систем значений аргументов (ОДЗ) называют общую часть области определения функций f и g.

Область определения уравнения может представлять собой:

1. Определенный промежуток: интервал, отрезок.

2. Область дискретных чисел (множество).

3. Единственную точку.

4. Быть неопределенной, т.к. общая часть областей определения может отсутствовать.

Теперь определимся с понятием решения уравнения.

Некоторая система значений k₁ , k₂, …, k_n неизвестных x₁, x₂, …, x_n из области определения уравнения (1) называется решением уравнения (1), если значения функций f и g при этом равны. Говорят также, что данная система чисел удовлетворяет уравнению (1), в противном случае – не удовлетворяет.

Для уравнения с одним неизвестным f(x) = g(x) всякое его решение x = k называется также корнем.

Множество всех решений уравнения может быть как конечным, так и бесконечным.

Например: решением уравнения |x| = x является множество всех неотрицательных чисел, т.е. бесконечное множество.

Возможны три случая относительно решения уравнения:

1. Существует хотя бы одно решение уравнения (1), однако значения функций f и g равны не при всех (допустимых) системах значений аргументов. В этом случае множество решений уравнения (1) образует правильную часть области его определения, а само уравнение при этом называется совместным.

2. Не существует ни одной системы значений неизвестных, при которых значения правой и левой части уравнения (1) были бы равны. В этом случае уравнение называется противоречивым, или несовместным. Противоречивое уравнение не имеет решений. Чтобы не исключать этот случай из рассмотрения, говорят, что множество решений противоречивого уравнения является пустым.

3. Всякая (допустимая) система значений неизвестных является решением уравнения (1), иными словами, значения функций f и g равны по всей области определения уравнения (1). В этом случае говорят, что уравнение (1) удовлетворяется тождественно.

Примечание: Уравнения, удовлетворяющие тождественно, мы не называем тождеством. Понятия уравнения и тождества существенно различны. Тождество есть равенство, выражающее имеющее место соотношение тождественности двух выражений. Уравнение же есть равенство, выражающее суждение о равенстве численных значений двух функций.

Решить уравнение – это значит:

1. Выяснить, совместно ли уравнение.

2. Если уравнение совместно (имеет хотя бы одно решение), то найти их все.

Пусть даны два уравнения: (1) и f’(x₁, x₂, …, x_n) = g’(x₁, x₂, …, x_n) (2).

Будем рассматривать их над одним и тем же числовым множеством.

Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если множество решений уравнения (1) содержится во множестве решений уравнения (2).

Утверждения о следствии:

• f(x) = g(x) => f²ⁿ(x) = g²ⁿ(x), (n N),

Например: 3x – 10 = 2x => (3x -10)² = (2x)²

• log _a f(x) = log _a g(x) при a  0, a ≠ 1 => f(x) = g(x).

• = g(x) при φ(x) ≠ 0 => f(x) = g(x)φ(x).

• f(x)g(x) = 0 => [ – совокупность уравнений.

Совокупностью уравнений называется следующее суждение: при данной системе значений неизвестных удовлетворяется хотя бы одно из уравнений данной совокупности.

2. Понятие равносильности уравнений

При решении уравнений фундаментальное значение имеет понятие равносильности.

Пусть даны два уравнения: (1) и (2).

Эти уравнения называются равносильными, если множества их решений равны как множества.

Например: x² = 1 <=> |x| = 1

Замечание: Принято считать, что уравнения, не имеющие решения, называются равносильными.

Теоремы равносильности:

1. Если к обеим частям уравнения (1) прибавить функцию, имеющую смысл в области определения уравнения (1), то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие: Из одной части уравнения можно перенести слагаемое в другую его часть, изменив при этом его знак.

2. Если обе части уравнения (1) умножить на функцию, имеющую смысл в области определения уравнения (1) и отличную от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие: Обе части уравнения можно умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Утверждения о равносильности уравнений (в общем виде):

1. f(x) = g(x) <=> f(x) – g(x) = 0.

2. f(x) = g(x) <=> f(x) + α = g(x) + α, где α - ∀ число.

3. f(x) = g(x) <=> α f(x) = α g(x), где α - ∀ число, α ≠ 0.

4. f(x) = g(x) <=> a^f(x) = a^g(x) (a  0, a ≠ 1).

5. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) – неотрицательны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве:

f(x) = g(x) <=> f ⁿ(x) = g ⁿ(x) (n N).

6. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) – положительны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве:

f(x) = g(x) <=> log _a f(x) = log _a g(x) (a  0, a ≠ 1).

В частности, если b  0, то уравнение:

a^h(x) = b <=> h(x) = log _a b.

7. f(x) = g(x) <=> f(x) + α(x) = g(x) + α(x), если функция y = α(x) имеет смысл в области определения уравнения f(x) = g(x).

8. f(x) = g(x) <=> α(x)f(x) = α(x)g(x), если α(x) ≠ 0, и у = α(x) имеет смысл в области определения уравнения f(x) = g(x).

2. Классификация уравнений

Уравнения, рассматриваемые в элементарной математике, классифицируются:

• По характеру математических операций, выполняемых над неизвестными:

1. Целые алгебраические, или кратко, алгебраические уравнения.

Уравнение (1) называется алгебраическим, если функции f и g – многочлены. Например: x² – 2xy + 1 = x³ – y³.

• Дробные алгебраические, или дробно-рациональные уравнения.

Уравнение (1) называется дробным, если функции f и g являются рациональными, но хотя бы одна из них – дробно-рациональная.

Например: = 1- x.

• Иррациональные, или иррациональные алгебраические уравнения.

Уравнение (1) называется иррациональным, если функции f и g являются алгебраическими, причём хотя бы одна из них – иррациональная. Например: 2 + = x.

2. Трансцендентные уравнения.

Уравнение (1) называется трансцендентным, если, по крайней мере, одна из функций f и g – трансцендентная.

Например: =x + 1.

К трансцендентным уравнениям относятся:

• Показательные уравнения – уравнения, содержащие переменную в показателе, т.е. уравнение вида:

a^f(x) = b, где f(x) – выражение, содержащее переменную,

a  0, a ≠ 1, b  0.

Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение: a^x = b (a  0, a ≠ 1, b > 0).

• Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма или/и в его основании.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

log _a x = b, a  0, a ≠ 1, x > 0.

Пример, когда неизвестное в основании: log _(x-2) 9 = 2.

• Тригонометрические (обратные тригонометрические) уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических (обратных тригонометрических) функций. Простейшие тригонометрические и им обратные уравнения имеют вид:

= a, arcsin x = a,

= a, arcos x = a,

tg x = a, arctg x = a,

ctg x = a, arcctg x = a.

• По числу неизвестных:

1. Уравнения с одним неизвестным: x² + 1 = 0.

2. Уравнения с несколькими неизвестными: x² + y² = 4.

• По числу степеней:

1. Уравнения первой степени (линейные уравнения).

Линейным уравнение с неизвестными x, y, …, z называется уравнение вида: ax + by + … + cz = d, где a, b, …, c – коэффициенты; d – свободный член.

2. Уравнения высших степеней.

Уравнение f(x₁, x₂, …, x_n) = 0 называется алгебраическим уравнением степени n, если f(x₁, x₂, …, x_n) – есть многочлен степени n.

В частности, к ним относятся квадратные и биквадратные уравнения:

• Квадратные уравнения – алгебраические уравнения вида ax² + bx + c = 0, где выражение ax² + bx + c – квадратный трехчлен, x – свободная переменная a, b, c – коэффициенты, причем a ≠ 0.

• Биквадратные уравнения – частный случай уравнений четвертой степени, который имеет вид:

ax⁴ + bx² + c = 0, где a, b, c – коэффициенты, причем a ≠ 0.

Отдельно выделяются уравнения, содержащие знак абсолютной величины:

|f(x)| = g(x)

|f(x)| = |g(x)|.