4.5. Функция предпочтений инвестора. Оптимальный портфель.

Функции полезности инвестора.

Наилучшее соотношение риска и доходности находится на границе эффективного множества. Выбирая точку на этом эффективном множестве, мы определяем доли капитала, которые вложены в различные акции. Однако мы не можем утверждать, что выбранный портфель, находящийся на границе эффективного множества является наилучшим для инвестора, т.е. является оптимальным для инвестора. Для выбора наилучшего портфеля инвестора необходимо знать предпочтения инвестора, которые выражаются в приемлемом для конкретного инвестора соотношения риска и доходность. Соотношение риска и ожидаемой доходности инвестиции для инвестора описывается функцией полезности или функцией предпочтений инвестора, которая характеризует отношение инвестора к получению прибыли в условиях неопределенности.

Инвесторов по отношению к рискам разделяют на три группы. Инвесторы склонные к риску, нейтральные к риску и избегающие риск. В теории полезности предлагается несколько видов функции полезности. Теория полезности основывается на том, что в условиях неопределенности получения будущих доходов, даже при наличии количественных оценок риска, инвесторы считают, что большей полезности (доходности) отвечает большая неопределенность (риск). Функция полезности связана с неопределенностью получения будущих доходов имеет вид

,

где - полезность в состоянииi, -вероятность.

Наиболее популярны два вида функции полезности:

• квадратичная (классическая).

• логарифмическая (функция полезности Марковитца).

Простейший способ оценки отношения инвестора к риску можно получить по фактическому инвестиционному поведению инвестора или опроса инвестора о приемлемом для него соотношения доходности и риска.

Квадратичная функция полезности основывается на «законе убывания предельной полезности». Полезность убывает при росте неопределенности будущего дохода W. Если U – полезность, а W -.богатство, то квадратичная функция полезности имеет вид .

Логарифмическая функция полезности по Марковитцу имеет S образный вид. По Марковитцу при малых рискованных доходностях инвесторы предполагают меньшую величину инвестиций, которой можно рисковать. Наблюдается резкий рост полезности инвестиций при меньших темпах роста рискованной доходности. Начиная с некоторой величины доходности величина необходимых инвестиций становится опасной для текущего потребления инвестора. Инвесторы начинают страховаться от рисков, затрачивая некоторый капитал, это приводит к большему росту полезности, чем росту доходности (точка С). Однако очень богатые инвесторы могут позволить себе очень рискованные инвестиции (недоступные другим), обещающие повышенную рисковую доходность. При этом они более спокойно относятся к риску при большой доходности. Для среднего инвестора логарифмическая функция полезности имеет вид

,

где x – любой показатель будущего дохода W, например, ожидаемой доходность E(r). Статистические исследования показывают, что предпочтения к рискам большинства инвесторов соответствует функция натурального логарифма.

Оптимальный портфель.

В терминах ожидаемой доходности квадратичная функция полезности имеет вид

.

Поскольку инвестор заботится об ожидаемой доходности и вариации (риске) этой доходности в конце периода, то имеют значения только средние значения. Последнее означает, что доходности должны быть нормально распределены, а нормальное распределение полностью определяется средним и вариацией. Поскольку доходность – это случайная величина, которая является нормально распределенной величиной, то

Таким образом, для ожидаемой полезности получим

.

К

Для инвестора оптимальный портфель – это портфель, который находится на точке касания кривых безразличия инвестора и эффективного множества Марковитца.

оэффициенты А и В характеризует нежелание рисковать. Чем больше эти коэффициенты, тем больше инвестор избегает риска. Для рационального инвестора больший капитал предпочтительнее. КоэффициентыА и В для разных инвесторов различны. Уравнение для кривой безразличия получается приравниванием ожидаемой функции полезности к некоторой константе. При этом один и тот же уровень полезности достигается при разных сочетаниях ожидаемой доходности и риска. Множество кривых безразличия называется картой безразличия. Кривые безразличия в плоскости «риск-доходность» указывают на те сочетания среднего ожидаемого доходаи стандартного отклонения, определяемого вероятностьювариантов i ожидаемых будущих доходностей (доходов) , которые дают инвестору одинаковый уровень полезностиU(r).

Для инвестора оптимальный портфель – это портфель, который находится на точке касания кривых безразличия инвестора и эффективного множества Марковитца.

Рис. 4.8 . Оптимальный портфель.

Оптимальным для инвестора А является портфель B, который в данном случае находится линии касания кривых безразличия инвестора к эффективной границе. Для инвестора Б оптимальным является портфель С. Инвестор Б по сравнению с инвестором А более безразличен к риску. С ростом риска инвестор А требует большую доходность. Кривые безразличия для инвестора А более выпуклы, чем кривые безразличия инвестора Б.

Оптимальный портфель в зависимости от отношения инвестора к риску сводится задаче оптимизации

Применяя метод множителей Лагранжа для нахождения максимума

Эффективное множество