МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Челябинский государственный университет» (фгбоу впо «ЧелГу»)

Математический факультет

Кафедра Вычислительной математики

«Интерполирование алгебраическими многочленами»

Выполнил студент Фасхетдинов Д. М.

(ф.и.о.)

академическая группа МП-302, курс 3

очной формы обучения

направления подготовки (специальности)

Прикладная математика и информатика

____________________________________

(подпись)

«____» ____________ 20____г.

Научный руководитель Фамилия, имя, отчество: Соколинская И. М. Должность: Доцент Ученая степень: Кандидат физико- математических наук Ученое звание: Доцент ______________________________________ (подпись) «___» _________ 20____г.

Челябинск

2014 Оглавление

1. ВВЕДЕНИЕ……………………………..……………………………………......3

2. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ……………………..……………………………………..…..4

3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА........................................6

4. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА …………..…………...…8

5. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ФОРМУЛ К ДАННОМУ ПРИМЕРУ…………………………………………………………………………10

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………….………...…13

7. ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА………………………………………..14

8. ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………...15

1. Введение

Интерполированием является одним из способов приближения функций и применяется в тех случаях, когда функция задается таблицей своих значений в некоторых точках.

Задачей интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в нескольких точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках данного отрезка. Разумеется, такая постановка задачи допускает сколь угодно много решений.

Задача интерполирования возникает, например, в том случае, когда известны результаты измерений y_k = f(x_k) некоторой физической величины f(x) в точках x_k, k = 0, 1,…, n и требуется определить ее значение в других точках. Интерполирование используется также при необходимости сгущения таблиц, когда вычисление значений f(x) по точным формулам трудоемко.

2. Задача интерполирования алгебраическими многочленами

Пусть функциональная зависимость задана таблицей y_{0 =} f(x₀);…, y₁= f(x₁);…,y_{n =} f(x_n). Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен P(x) = P_n(x) степени не выше n, значения которого в точках x_i (i = 0, 1 2,…, n)совпадают со значениями данной функции, то есть P(x_i) = y_i.

Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида

проходящую через заданную систему точек М_i(x_i,y_i) (рис. 1). Многочлен Р(х) называется интерполяционным многочленом. Точки x_i (i = 0, 1, 2,…, n) называются узлами интерполяции 

Рис. 1. Интерполирование алгебраическим многочленом

Для любой непрерывной функции f(x) сформулированная задача имеет единственное решение. Действительно, для отыскания коэффициентов а₀, а₁, а₂ ,…, а_n получаем систему линейных уравнений

 (1)

определитель которой (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если среди точек x_i (i = 0, 1, 2,…, n) нет совпадающих.

Решение системы (1) можно записать различным образом. Однако наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.