lekciya1_5

Математичний аналiз

Лiтература

1.А.Я.Дороговцев, Математичний аналiз, частина 1, 2, Київ, Либiдь,

1993

2.I.I.Ляшко, В.Ф.Ємельянов, О.К.Боярчук, Математичний аналiз, частина 1, 2, Київ, Вища школа, 1992

3.В.А.Зорич, Математический анализ, часть 1, 2, Москва, Наука,

1981

4.Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.Н.Чубариков, Лекции по математическому анализу, Москва, Дрофа, 2003

5.У.Рудин, Основы математического анализа, Москва, Мир, 1976

6.М.В.Заболоцький, О.Г.Сторож, С.I.Тарасюк, Математичний аналiз,

Київ, Знання, 2008

Лекцiя 1 Логiчнi знаки

Математичний текст сладається з математичних формул i власне тексту. Деякi словосполучення, якi передають найбiльш важливi й часто вживанi в математицi вiдношення мiж об’єктами, мають спецiальнi позначення i називаються Логiчними знаками. Будемо використовувати такi:

¬ – не вiрно, що– кон’юнкцiя, i

– диз’юнкцiя, або

= – "iмплiкацiя "випливає"

– "еквiвалентнiсть "тодi i тiльки тодi"– "для всiх "для кожного"

– "iснує"

! – "iснує точно один"

Нехай A; B – деякi твердження.

Нове твердження ¬A (читається "не вiрно, що має мiсце твердження A") вважається iстинним тодi i тiльки тодi, коли твердження A є хибним.

1

Нове твердження A B (читається A i B) вважається iстинним тодi i тiльки тодi, коли iстинними є кожне з тверджень A; B.

Нове твердження A B (читається A або B) вважається iстинним тодi i тiльки тодi, коли iстинними є хоча б одне з тверджень A; B. Таким чином "або"тут нероздiльне.

Нове твердження A = B (читається так: з A випливає B) вважається хибним тодi i тiльки тодi, коли твердження A є iстинним, а твердження B – хибним. У всiх iнших випадках твердження A = B вважається iстинним. Зокрема воно iстинне, якщо обидва твердження A i B хибнi

– з брехнi випливає що завгодно.

Твердження A = B часто читається так: "B – необхiдна умова для A або так "A – достатня умова для B"

Нове твердження A B (читається так: твердженяя A рiвносильне (еквiвалентне) твердженню B). Запис A B означає, що одночасно

A = B i B = A.

Запис A B часто читається так: "Для того, щоб A необхiдно i достатньо, щоб B або "A тодi i тiльки тодi, коли B або "A якщо i тiльки якщо B".

Вправа. Показати, що

1.¬(A B) (¬A) (¬B))

2.¬(A B) (¬A) (¬B))

3.¬(A B) (A (¬B))

Наведемо бiльш складний приклад запису, в якому використовуються логiчнi символи:

((L = P ) (¬P )) = (¬L):

Дужки тут вiдiграють таку саму роль, як в шкiльнiй алгебрi. Для економiї дужок домовляються про наступний порядок дiй: ¬, , , = ,. Тепер запис

¬A B C = D

розшифровується так:

(((¬A) B) C) = D:

2

Ще приклади використання логiчних знакiв.

1.(a > b > 0) = (a2 > b2)

2.(a > b) (a3 > b3)

3.x (x2 + x + 1 > 0)

4.x : x2 = 1

5.!x : 2x = 1

6.¬(2 > 4)

Про доведення

Типове математичне твердження має вигляд A = B, де A – посилка (умова), а B – заключення (висновок). Доведення такого твердження полягає в побудовi ланцюжка

A = G1 = G2 = : : : = Gn = B

iмплiкацiй, кожний елемент якого є або акисомою, або вже доведеним твердженням. При цьому запис A = B = C використовується для скорочення запису (A = B) (B = C).

При доведеннях будемо користуватися класичними правилами виводу. Вони такi.

Якщо A iстинне i A = B, то B теж iстинне.

Твердження A¬A вважається iстинним незалежно вiд конкретного змiсту твердження A. Це закон виключеного третього. Зокрема, ¬(¬A) =

A.

Твердження виду A B як правило доводяться в два етапи. Спочатку доводиться необхiднiсть, тобто твердження B = A, а потiм достатнiсть, тобто твердження A = B.

Часто зручно користуватися тiєю обставиною, що A = B тодi i тiльки тодi, коли ¬B = ¬A. Це так званий закон контрапозицiї.

Ще задачi.

Перевiрити справедливiсть наступних тверджень про натуральнi числа: а) m < n = m2 < n2

b) m < n m2 < n2

3

c) n n2 − 1 ≥ 0. d) n : |n − 3| = 1. e) !n 3n = 2n + 1.

f) n m : n(n + 1) = 2m.

h) n m : n(n + 1)(n + 2) = 6m

4

Лекцiя 2

Деякi спецiальнi позначння

– "початок та кiнець доведення"

:= – "дорiвнює за означенням"

∑n

ai := a1 + a2 + : : : + an

i=1

∏n

ai := a1 · a2 · : : : · an

i=1

Елементи теорiї множин Множини

Теорiя множин – це унiверсальна мова математики. Засновник теорiї множин Г.Кантор говорив: "Пiд множиною ми розумiємо об’єднання в одне цiле визначених, цiлком розрiзнюваних, об’єктiв нашої iнтуiцiї, або нашої думнки."

Це не є означення множини, оскiльки воно апелює до понять бiльш складних, нiж саме поняття множини. Мета наведеного опису – роз’яснити поняття множини, пов’язавши його з iншими поняттями.

Ми будемо говорити, що множина – це сукупнiсть, набiр, клас, зiбрання елементiв, об’єднаних за деякою ознакою. Таким чином слова "сукупнiсть, набiр, клас, зiбрання елементiв"ми вважаємо синонiмами слова "множина".

Основнi припущення Канторовської (наївної) теорiї множин такi.

•Множина може складатися з довiльних розрiзнюваних об’єктiв. Якщо об’єкт x входить у множину M, то пишуть x M. Якщо об’єкт x не входить у множину M, то пишуть x = M, або x M.

•Множина однозначно визначається набором елементiв, що її складають. Двi множини A i B вважаються рiвними (це записується так A = B), якщо вони складаються з однакових єлементiв. Точнiше

(A = B) ( x (x A = x B) (x B = x A)): (1)

Зауважимо, що в означеннi (1) насправдi мiститься метод доведення рiвностi множин.

5

•Довiльна властивiсть визначає множину об’єктiв, якi мають цю властивiсть. Якщо x – об’єкт, P – властивiсть i P (x) означає, що об’єкт x має властивiсть P , то {x : P (x)} або {x | P (x)} – це множина всiх об’єктiв, якi мають властивiсть P .

Деякi часто вживанi множини

N – множина натуральних чисел Z – множина цiлих чисел

Q – множина рацiональних чисел R – множина дiйсних чисел

C – множина комплексних чисел

(a; b) := {x R : a < x < b} [a; b) := {x R : a ≤ x < b} (a; b] := {x R : a < x ≤ b} [a; b] := {x R : a ≤ x ≤ b}

Зауважимо, що iснують i iншi способи визначення множин. Найпростiший з них полягає в тому, щоб перерахувати всi єлементи, якi складають дану множину. Наприклад, {1; 2; 3}, {1; 2; : : : ; 100}

Для зручностi вводиться поняття порожньої множини . Це така множина, що для кожного об’єкта x тведження x хибне.

Множина A називається пiдмножиною множини B (записується ця обставина так A B), якщо

x (x A = x B):

Поняття множини є далеко не безневиннним. Наприклад поняття типу множини всiх множин просто суперечливi.

Нехай для множини M запис P (M) означає, що M не мiстить себе в якостi елемента. Розглянемо клас K = {M ; P (M)}. Якщо K – множина, то або P (K) або ¬P (K). Але ця альтернатива для K неможлива оскiльки

P (K) = ¬P (K)

i

¬P (K) = P (K):

6

Таким чином, кожного разу (i коли P (K) i коли ¬P (K)) одночасно мають виконуватися P (K) i ¬P (K). Але це суперечить закону виключеного

третього.

Найпростiшi операцiї над множинами

Означення 1. Нехай A i B – двi множини. Об’єднанням цих множин називається множина A B, яка складається з таких елементiв, якi належать хоча б однiй з множин A або B:

A B := {x : (x A) (x B)}:

Означення 2. Нехай A i B – двi множини. Перетином цих множин називається множина A ∩ B, яка складається з таких елементiв, якi належать кожнiй з множин A i B:

A ∩ B := {x : (x A) (x B)}:

Означення 3. Нехай A i B – двi множини. Рiзницею цих множин називається множина A \ B, яка складається з таких елементiв, якi належать множинi A i не належать множинi B:

A \ B := {x : (x A) (x = B)}:

Означення 4. Нехай A i B – двi множини, причому A B. Доповненням множини A до множини B називається множина CBA = B \ A, яка складається з таких елементiв, якi належать множинi B i не належать множинi A:

CBA := {x : (x B) (x = A)}:

Вправа. Довести наступнi властивостi операцiй над множинами:

1.A B = B A,

2.A ∩ B = B ∩ A,

3.A (B C) = (A B) C,

4.A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,

5.A (B ∩ C) = (A B) ∩ (B C),

7

6.A ∩ (B C) = (A ∩ B) (B ∩ C),

7.CM (CM A) = A; A M,

8. CM (A B) = CM A ∩ CM B; A; B M,

9. CM (A ∩ B) = CM A CM B; A; B M.

Зауважимо, що iнколи доповнення множини A позначається наступним чином A. Тодi властивостi 7 i 8 можна записати у виглядi

7.(A) = A

8.A B = A ∩ B,

9.A ∩ B = A B.

За допомогою властивостей 1 – 9 рiвнiсть множин iнколи вдається довести чисто алгебраїчним шляхом (шляхом перетворень).

Приклади.

Довести рiвностi

1.A \ B = A ∩ B = A B

2.A B ∩ (A ∩ B) = A B

3.A∆B = A B (A ∩ B)

Доведемо рiвнiсть 2 (решту доведете самостiйно). Матимемо

A B ∩ (A ∩ B) = A B ∩ A ∩ B = (A B) (A ∩ B) =

= (A B) (A ∩ B) = A B:

8

Лекцiя 3

Означення 1 i 2 можна узагальнити на випадок об’єднання i перетину довiльної скiнченної, або навiть нескiнченної сукупностi множин.

Означення 5. Нехай A1; A2; : : : ; An – деякi множини. Об’єднанням

n

цих множин називається множина A1 A2 : : : An = Ai, яка

i=1

складається з таких елементiв, якi належать хоча б однiй з множин

A1; A2; : : : ; An:

n

Ai := {x : i {1; 2; :::; n}(x Ai)}:

i=1

Означення 6. Нехай A1; A2; : : : ; An – деякi множини. Перетином цих

∩n

множин називається множина A1∩A2∩: : :∩An = Ai, яка складається

i=1

з таких елементiв, якi належать кожнiй з множин A1; A2; : : : ; An:

∩n

Ai := {x : i {1; 2; :::; n}(x Ai)}:

i=1

Означення 7. Нехай A1; A2; : : : ; An; : : : – деяка нескiнченна послiдовнiсть

множин. Об’єднанням цих множин називається множина A1 A2 : : :

∞

An : : : = Ai, яка складається з таких елементiв, якi належать хоча

i=1

б однiй з множин A1; A2; : : : ; An; : : ::

∞

Ai := {x : i {1; 2; :::; n; :::} (x Ai)}:

i=1

Означення 8. Нехай A1; A2; : : : ; An; : : : – деяка нескiнченна послiдовнiсть

множин. Перетином цих множин називається множина A1∩A2∩: : :∩An∩

∩∞

: : : = Ai, яка складається з таких елементiв, якi належать кожнiй з

i=1

множин A1; A2; : : : ; An; : : ::

∩∞

Ai := {x : i {1; 2; :::; n; : : :} (x Ai)}:

i=1

9

Коли ми говорили про послiдовнiсть множин, ми мали на увазi, що кожному натуральному числу i N поставлена у вiдповiднiсть деяка множина Ai i рiзнi натуральнi числа використовувалися для того, щоб розрiзняти цi множини. Часто натуральних чисел не вистачає для того, щоб за їх допомогою можна було розрiзняти множини з деякої сукупностi. Тому будемо також використовувати бiльш загальне поняття.

Означення 9. Нехай задана деяка множина T . Якщо кожному елементуT поставлена у вiдповiднiсть деяка множина A , то кажуть, що означена сiм’я множин {A : T } = {A ; T }.

Означення 10. Нехай {A ; T } – деяка сiм’я множин. Об’єднанням

цих множин називається множина A , яка складається з таких елементiв,

T

якi належать хоча б однiй з множин A :

A := {x : T (x A )}:

A

t (0;1)

Означення 11. Нехай {A ; T } – деяка сiм’я множин. Перетином

∩

цих множин називається множина A , яка складається з таких елементiв,

T

якi належать кожнiй з множин A :

∩

A := {x : T (x A )}:

T

t (0;1)

Вправа. Довести наступнi властивостi операцiй над множинами:

( ∞ ) ∩∞

10