- •Міністерство освіти і науки України
- •Приклади:
- •§2. Відкриті множини метричних просторів та їх властивості
- •§3. Топологія. Топологічні простори. Приклади
- •§4. Замкнені підмножини топологічного простору
- •§5. Внутрішні точки. Внутрішність підмножини топологічного простору
- •§6. Точки дотику. Замикання підмножин топологічного простору
- •§7. Ізольовані, граничні, межові точки
- •§8. База топологічного простору. Введення топології за допомогою бази
- •§9. Неперервне відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми
- •§10. Компактні топологічні простори
- •Список використаної літератури.
§4. Замкнені підмножини топологічного простору
- топологічний простір, називаєтьсязамкненою, якщо - відкрита множина.
Приклад 1:
- метричний простір, як було доведено раніше і- відкриті множини, тому множинитає множинами замкненими
.
Приклад 2:
У дискретній топології замкненими будуть усі підмножини, оскільки в ній всі підмножини відкриті.
Приклад 3:
У топології скінченних доповнень, задані на нескінченній множині Т (топології Заріського) замкненими будуть та усі скінченні підмножини з Т.
Теорема 1 (властивості замкнених підмножин):
Нехай - топологічний простір.-сукупність усіх замкнених підмножин цього простору, тодімає наступні властивості:
1.
2.Перетин будь-якої сукупності замкнених підмножин з Т є підмножина замкнена.
3. Об’єднання будь-якої скінченної сукупності замкнених підмножин з Т є підмножина замкнена.
Доведення: 1. Оскільки - відкриті, то- замкнені.
2. Нехай
За законами де-Моргана:
- відкрита
F – замкнена множина.
3.
За законами де-Моргана:
- відкриті
F – замкнена множина.
Що і треба було довести.
Зауваження: Об’єднання нескінченної сукупності замкнених підмножин топологічного простору у загальному випадку може бути незамкненим.
Доведення: Розглянемо на
Тоді - замкнені підмножини зR.
Кожне число, яке належить [0, 2)потрапляє в деяку множину для досить великогоn, а число 2 не попадає в жодну з
, що не є замкненою підмножиною, оскільки її доповнення не є відкритою.
Теорема 2 (про введення топології за допомогою системи замкнених підмножин):
Нехай Т – деяка множина, , що задовольняє вимогам (1)-(3) попередньої теореми, тоді на множині Т існує топологія, для якоїє системою замкнених підмножин.
Доведення: Нехай
Покажемо, що - топологія на Т. Перевіримо аксіоми топології:
Т1:
Т2:
Т3:
- топологія на Т.
Оскільки з означення випливає, що
- сукупність замкнених підмножин .
§5. Внутрішні точки. Внутрішність підмножини топологічного простору
Т – топологічний простір, Довільна відкрита підмножина з Т, що містить А називається(відкритим) околом множини А.
Нехай Т – топологічний простір, Точканазиваєтьсявнутрішньою точкою А, якщо .
Сукупність усіх внутрішніх точок множини А називають внутрішністю цієї множини (Int A)
Твердження 1: Нехай Т – топологічний простір, ТодіInt A співпадає з об’єднанням усіх відкритих підмножин, що містяться в А.
Доведення: Нехай U–об’єднання усіх відкритих підмножин, що містяться в А, тоді U - також відкрита множина, що міститься в А.
Для довільного :U можна розглядати як окіл точки х, з яким х входить в А, тому х – внутрішня точка з А.
Покажемо, що .
Нехай
можна розглядати як окіл точки у, з яким у входить в А, тому у – внутрішня точка множини А
Таким чином, IntA є об’єднанням деякої сукупності відкритих підмножин з А, тому .
Наслідок 1: IntA є найбільшою відкритою підмножиною, що міститься в А.
Доведення: Нехай U – найбільша відкрита підмножина, що міститься в А. Оскільки IntA – відкрита підмножина з А (як об’єднання відкритих підмножин з А), то IntA міститься в U.
Але IntA – об’єднання усіх відкритих підмножин з А .
Наслідок 2: Множина А є відкритою тоді і тільки тоді, коли А=IntA.
Доведення: Якщо підмножина А – відкрита, то А і буде найбільшою відкритою підмножиною з А, тому А=IntA.
Якщо ж А=IntA, то А буде відкритою підмножиною, оскільки IntA – відкрита підмножина.
Приклад 1: Розглянемо простір R, тоді Int [a, b]=(a, b)
Приклад 2: РозглянемоR, . Оскільки будь-який відкритий окіл як раціональні, так і ірраціональні числа, то