Bessel functions
.pdfКазанский государственный университет им. В.И.Ульянова-Ленина Физический факультет
БАЛАКИН А.Б.
ТРИ ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Учебно-методическое пособие к курсу
Методы математической физики. Специальные функции.
(Конспект лекций)
Казань - 2009
ÓÄÊ 517.5
Печатается по решению Редакционно-издательского совета ГОУ ВПО ¾Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина¿
методической комиссии физического факультета Протокол N 4 от 21 сентября 2009 г.
заседания кафедры теории относительности и гравитации Протокол N 9 от 18 сентября 2009 г.
Рецензент:
доктор физ.-мат. наук, проф. КГУ Ю.В. Обносов
Балакин А.Б.
Три лекции по теории функций Бесселя: Учебно-методическое пособие / А.Б. Балакин. - Казань: Казанский государственный университет, 2009. - 39 с.
Предназначено для студентов и аспирантов физического факультета Казанского государственного университета.
c Казанский государственный
университет, 2009c Балакин А.Б., 2009
Краткое предисловие
Теория функций Бесселя вправе называться жемчужиной альных функций, которая является ключевым элементом курса математи-
ческой физики. В ставших классическими монографиях Г.Н. Ватсона [1], Г.Бейтмена и А.Эрдейи [2], Н.Н.Лебедева [3], А.Н.Тихонова и А.А.Самарского [4], Н.С.Кошлякова, Э.Б.Глинера и М.М.Смирнова [5] читатель найдет исчерпывающую информацию о функциях Бесселя, их свойствах и приложениях. Основываясь на собственном опыте преподавания математической физики студентам физического факультета КГУ, автор предлагает вниманию студентов и аспирантов свою версию изложения лекций по теории функций Бесселя, которые, с одной стороны, не отягощены излишней детализацией свойств этих функций, но с другой стороны содержат все самые важные и принципиальные моменты, необходимые в дальнейшем для изучения различных аспектов
теоретической физики.
3
ЛЕКЦИЯ I.
Цилиндрические функции как фундаментальные решения дифференциального уравнения Бесселя
1.1. Дифференциальные уравнения, определяющие функции Бесселя
В математической физике широко известны дифференциальное уравнение, названное в честь немецкого астронома, геодезиста и математика Фридриха Вильгельма Бесселя (Bessel) (1784-1846)
x2 |
d2y |
+ x |
dy |
+ x2 2 y = 0 ; |
(1) |
dx2 |
dx |
и модифицированная версия этого уравнения
x2 |
d2y |
+ x |
dy |
x2 + 2 y = 0 : |
(2) |
dx2 |
dx |
При замене независимой переменной x на x структура этих уравнений оста-
ется неизменной, поэтому в дальнейшем будем полагать, что искомая функция y(x) определена на положительной части действительной оси. Поскольку
коэффициент при старшей производной обращается в нуль при x = 0, эта
точка рассматривается как особая для данных дифференциальных уравнений [6], а значения функции y(x) в нуле исследуются специально для каждого
из полученных решений уравнения Бесселя. Широко известны также самосопряженная форма записи уравнения (1)
|
|
|
|
|
|
d |
|
x |
|
dy |
! |
+ |
0x |
|
2 |
1 y = 0 |
|
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
@ |
x A |
|
|
|
|
||||||||
и уравнение с исключенной производной первого порядка |
|
|||||||||||||||||||||
|
d2 |
Y + |
1 |
|
|
2 41 |
3 |
Y = 0 ; y(x) = |
1 |
Y (x) ; |
(4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
dx |
2 |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
px |
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
которое получается из (1) указанной заменой функции y(x) на Y (x).
Уравнение Бесселя (1) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка в обыкновенных производных, общее решение которого есть линейная комбинация
y(x) = C1 Z(1)(x) + C2 Z(2)(x) |
(5) |
4
двух фундаментальных решений Z(1)(x) è Z(2)(x) с произвольными постоянными C1 è C2 [6]. Функции Z(1)(x) è Z(2)(x) относятся к классу цилиндриче- ских функций, самыми известными среди которых являются функции Бесселя (Bessel), Вебера-Шлефли (Weber, Schla i), Ханкеля (Hankel), Макдональда (MacDonald), Кельвина (Kelvin), Неймана (Neumann), Ангера (Anger), Бурже (Bourget), Джулиани (Giuliani), Струве (Struve), Ломмеля (Lommel) [1,2]. Параметр , появляющийся в уравнении Бесселя, наследуется в обозна-
чениях и называется индексом цилиндрических функций. Если Z (x) удовлетворяет уравнению Бесселя, то Z (x) также является его решением, поскольку исходные уравнения содержат 2. В силу того, что фундаментальные решения Z(1)(x) è Z(2)(x) по определению функционально независимы, детерминант Вронского (Wronski)
|
|
|
|
d |
|
|
d |
|
||
W[Z(1) |
; Z(2) |
] Z(1) |
(x) |
|
Z(2) |
(x) Z(2) |
(x) |
|
Z(1)(x) |
(6) |
dx |
dx |
отличен от нуля во всей области определения этих функций. Опираясь на известную из теории дифференциальных уравнений формулу Лиувилля [6], детерминант Вронского для цилиндрических функций можно представить в
âèäå |
|
C |
|
|
|
W |
(x) = |
; |
(7) |
||
x |
|||||
|
|
|
|||
где C - это константа, зависящая, вообще говоря, от индекса |
. Чтобы про- |
верить этот результат, необходимо убедиться в том, что производная от детерминанта Вронского, домноженного на x, равна нулю:
|
[x |
] = |
+ x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
= 0 : |
(8) |
d |
|
|
|
(1) |
d2 |
(2) |
|
(2) |
d2 |
(1) |
|
|
|
|||
|
|
W W |
|
4Z |
|
|
Z |
|
Z |
|
|
Z |
|
5 |
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
Для этого достаточно выразить вторые производные от функций Z(1) è Z(2) через первые производные и сами функции с помощью уравнения (1).
1.2. Представление цилиндрических функций с помощью обобщенных степенных рядов
1.2.1. Функции Бесселя первого рода
Представим частное решение уравнения (1) в виде ряда
1
y(x) = x X amxm : (9)
m=0
5
Множитель x с неизвестным пока значением параметра определяет пове-
дение данного решения в окрестности особой точки x = 0. Разложение (9)
удовлетворяет уравнению Бесселя, если для любого x из области определения
справедливо соотношение
x |
8 |
1 |
xmam |
( + m)2 |
|
2 |
i |
+ |
1 |
xm+2am9 |
= 0 : |
(10) |
|
<m=0 |
h |
|
|
|
m=0 |
= |
|
|
|||
|
: |
X |
|
|
|
|
|
|
X |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу функциональной независимости степенных функций с различными показателями равенство (10) оказывается справедливым, если коэффициенты разложения am связаны рекуррентными соотношениями
|
a0 |
h 2 2i = 0 (m = 0) ; |
(11) |
|
a1 |
h( + 1)2 2i = 0 (m = 1) ; |
(12) |
||
am h( + m)2 2i + am 2 = 0 |
(m 2) : |
(13) |
||
Обратим внимание на тот факт, что при = 21 |
квадратные скобки в (11) |
и (12) совпадают, поэтому при исследовании однородных уравнений (11)-(13) естественно выделить следующие три случая.
(i) a0 6= 0, 6= 12 .
В этом случае из (11) следует, что = , соотношение (12) принимает вид a1(2 + 1) = 0, откуда получаем, что a1 = 0. Тогда в силу (13) все коэффициенты с нечетными номерами обращаются в нуль, a2m+1 = 0, и искомое разложение принимает вид
y(x) ! x a0 + a2x2 + ::: + a2mx2m + ::: : |
(14) |
(ii) a1 6= 0, 6= 12 .
В этом случае из (12) следует, что = 1 , соотношение (11) принимает вид a0(2 +1)=0 и, следовательно, a0 = 0, a2m = 0, и искомое разложение превращается в
y(x) ! x 1 a1x + a3x3 + ::: + a2m+1x2m+1 + ::: : |
(15) |
||
Очевидно, это разложение отличается от (14) только формальной заменой |
|
||
коэффициентов a2m |
! a2m+1. Иными словами, если = |
6= 21 |
, |
требования a0 6= 0 è a1 6= 0 дают идентичный результат. |
|
|
6
(iii) = 21 . |
|
|
В этом случае уравнения (11) и (12) приводятся к виду a0 h 2 41i |
= 0, |
|
a1 h 2 41i |
= 0. Åñëè a0 6= 0 è = 1=2 èëè a1 6= 0 и = 1=2, то преды- |
дущие логические рассуждения несправедливы. Анализ выделенного случая2 = 14 удобно упростить, обратившись к уравнению (4). Очевидно, что общее решение уравнения Бесселя (1) выражается в этом случае через элементар-
ные функции |
|
|
|
|
sin x |
|
|
||
cos x |
|
|
|
||||||
y(x) = C1 |
p |
|
|
+ C2 |
p |
|
|
; |
(16) |
x |
x |
подробный анализ этого случая мы провед¼м в разделе 2.1.3.
Вернемся к рекуррентным соотношениям (13), выберем для определенности положительное значение =+ и будем считать равным нулю коэффи-
циент a1. Тогда все коэффициенты с четными номерами выражаются через
a0: |
a2m 2 |
|
|
|
|
a2m 4 |
|
||
a2m=( 1) |
|
=( 1) |
2 |
|
= ::: |
||||
22m( +m) |
|
24m(m 1)( +m)( +m 1) |
|||||||
= ( 1)m |
|
|
|
a0 |
|
|
: |
(17) |
|
22m m! ( +m)( +m |
|
1):::( +1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы обосновать выбор свободного параметра a0, вспомним опре- деление и некоторые свойства гамма-функции ( ).
СПРАВКА О ГАММА ФУНКЦИЯХ
Гамма-функция Эйлера (Euler) определена несобственным интегралом
1 |
|
|
( ) Z |
dt e t t 1 ; |
(18) |
0 |
|
|
который сходится при > 0 (здесь и ниже аргумент гамма-функции рассмат-
ривается как действительная величина). Из первого замечательного свойства этой функции [2,3]
( + 1) = ( ) |
(19) |
следует, что при целом значении = m гамма-функция выражается через факториал
(m + 1) = m! : |
(20) |
При m = 0 получаем, в частности, что (1) = 1. Прямым вычислением ин-
p
теграла (18) находим также, что 12 = . Второе замечательное свойство
7
гамма-функции
( ) (1 ) = sin (21) позволяет, в частности, заметить, что (1) (0)=sin , èëè (0)=1. Тогда из
первого свойства следует, что
( |
m) = |
( m + 1) |
= ::: = ( |
|
1)m |
(0) |
= |
1 |
: |
|
m |
m! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая перечисленные свойства гамма-функций, выберем a0 â âèäå
1
a0 = 2 ( + 1)
и приведем коэффициенты a2m в (17) к компактному виду
a2m = ( 1)m |
1 |
: |
|
||
22m+ (m+1) ( +m+1) |
(22)
(23)
(24)
В результате таких построений мы получили представление функции Бесселя первого рода индекса
1 |
m |
x 2m+ |
|
|
X |
|
|
|
|
J (x) = ( 1) |
|
: |
(25) |
|
(m+1) ( +m+1) |
||||
m=0 |
|
|
|
|
Формальная замена на дает функцию Бесселя первого рода отрица-
тельного индекса
1 |
|
x 2m |
|
|
|
X |
m |
2 |
|
: |
(26) |
|
|
||||
J (x) = ( 1) |
(m+1) ( +m+1) |
||||
m=0 |
|
|
|
|
|
Функции J (x) и J (x) относятся к классу цилиндрических функций, поскольку согласно принципу их построения удовлетворяют уравнению Бесселя.
Функциональные ряды, представляющие функции Бесселя (25) и (26), абсолютно и равномерно сходятся на положительной части действительной оси. Чтобы доказать этот факт, используем признак Даламбера (D'Alembert) и вычислим предел модуля отношения величины последующего слагаемого в сумме (25) к величине предыдущего:
q(x)= lim |
x |
2 |
m! ( +m+1) |
|
= |
||||||
|
! |
|
|
|
|||||||
m |
!1 |
|
2 |
(m+1)! ( +m+2) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
! m!1 (m+1)( +m+1) |
|
|
||||||||
= |
|
|
lim |
|
|
|
= 0 : |
(27) |
8
Этот предел равен нулю, то есть, он меньше единицы для любого ограниченного значения x, что и доказывает равномерную сходимость ряда.
Для того, чтобы ответить на вопрос: могут ли функции J (x) и J (x) быть выбраны в качестве фундаментальной системы решений уравнения Бесселя, необходимо проверить обращается ли в нуль определитель Вронского. Эта задача согласно соотношению (7) сводится к вычислению константы C по следующему известному рецепту:
|
= |
x |
|
lim |
x |
J |
|
d |
J |
|
|
J |
|
|
d |
J |
|
: |
(28) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
C |
|
W |
= x |
! |
0 |
( " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
#) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
Поскольку при малых значениях аргумента достаточно ограничиться первыми слагаемыми в разложениях (25) и (26)
J (x |
! |
0) |
' |
x |
! |
1 |
|
; J |
(x |
! |
0) |
' |
|
x |
! |
1 |
|
; (29) |
|
2 |
( +1) |
2 |
( +1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данная константа легко находится прямым вычислением
C = |
2 |
|
|
= |
2 |
sin : |
(30) |
|
|
|
|
||||
( +1) ( |
|
+1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, определитель Вронского W[J ; J ] обращается в нуль, если sin = 0, то есть, индекс функции Бесселя является целым числом = n. Установить этот факт можно и иначе. Рассмотрим функцию Бесселя целого отрицательного индекса J n(x). В силу свойства (22) гамма-функции с отрицательным аргументом принимают бесконечно большие значения, обращая в нуль соответствующие слагаемые в разложении (26). Это означает, что суммирование в данном ряде реально начинается со значения m = n:
1 |
|
x 2m n |
|
|
||
J n(x) = |
( 1)m |
2 |
|
: |
(31) |
|
(m+1) ( n+m+1) |
||||||
X |
|
|
|
|||
m=n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Вводя новый индекс суммирования l = m n, перепишем данную формулу
â âèäå |
|
|
|
|
x |
2l+n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J |
|
n(x) = |
1 |
( 1)l+n |
2 |
|
; |
(32) |
|
lX |
|
|
|||||
|
|
|
|
(l+1) (n+l+1) |
|
|||
|
|
=0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда непосредственно следует линейное соотношение |
|
|
||||||
|
|
J n(x) = ( 1)nJn(x) : |
(33) |
Функции Бесселя Jn(x) è J n(x) целого индекса линейно зависимы.
9
1.2.2. Функции Бесселя второго рода - функции Вебера-Шлефли
Функции Бесселя целого индекса Jn è J n линейно зависимы и потому не образуют фундаментальной системы решений уравнения Бесселя с 2 = n2. Для того, чтобы обойти эту проблему, были введены так называемые
Y (x) как линейные комбинации следующего
Y |
|
(x) |
|
cos J (x) J (x) |
: |
(34) |
|
|
sin |
|
|
Очевидно, что в силу линейности уравнения Бесселя функция Y (x), как линейная комбинация решений, также является его решением. Эти функции принято называть именами Вебера и Шлефли. Термин функции Неймана, введенный для этих функций, например, в учебнике [4], по-видимому, недостаточно обоснован с исторической точки зрения [1,5]. Детерминант Вронского, подсчитанный для пары функций J (x) и Y (x):
1 |
|
2 |
|
|
|
W [J (x); Y (x)] = |
|
W [J (x); J (x)] = |
|
; |
(35) |
sin |
x |
не обращается в нуль ни при каких значениях индексов. Поэтому общее решение уравнения Бесселя (1) для любого значения индекса стандартно представляется в виде
y(x) = C1 J (x) + C2 Y (x) : |
(36) |
Для того, чтобы явно представить разложение функций Yn(x), обычно поль-
зуются пределом Y |
n |
= |
lim Y |
. В этом пределе cos |
! ( 1) |
n, sin |
! 0 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
!n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
следовательно, с учетом соотношения (33) получаем неопределенность типа |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. Воспользовавшись правилом Лопиталя (L'Hospital) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Y |
|
x |
|
1 |
|
lim |
|
|
|
tan J |
(x) + |
@ |
J |
(x) |
|
1 @ |
J |
|
|
(x) ; |
(37) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
n( |
|
|
|
|
|
|
cos @ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
) = !n |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
||||||||||||||||||
искомую функцию приводят к следующему стандартному виду |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Yn(x) = 2 Jn(x) |
log |
|
|
x! |
|
1 n 1 |
|
x!2m n (n m 1)! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
m=0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2m+n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 1 |
( |
|
1)m |
|
2 |
|
|
|
|
|
0(m+1) |
+ |
0(n+m+1) |
|
|
: |
|
|
(38) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
m=0 |
|
m!(m+n)! |
2 (m+1) |
(n+m+1) 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Здесь и далее штрих символизирует производную от указанной функции по е¼ аргументу. Вывод этой формулы не входит в обязательную часть нашей
10