- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная
- •1.2. Определение неопределенного интеграла и его свойства
- •1.3. Таблица интегралов
- •1.4. Подведение под знак дифференциала
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •1.7. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •1.8.1. Разложение многочлена на множители. Простейшие дроби.
- •1.8.2. Разложение правильной дроби на простейшие дроби
- •Примеры
- •1.9. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Интегрирование с помощью тригонометрических подстановок
- •2. Определенный интеграл
- •2.2. Свойства определенного интеграла
- •2.2.1. Свойства, выражаемые равенствами
- •2.2.2. Свойства, выражаемые неравенствами.
- •2.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •2.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы первого рода
- •3.1.1. Определение несобственных интегралов первого рода
- •3.1.2. Геометрический смысл несобственных интегралов первого рода
- •3.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3. Применение основной формулы интегрального исчисления (формулы Ньютона-Лейбница)
- •3.4. Свойства несобственных интегралов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
||||||||||||||||
Первый интеграл вычисляется с помощью замены |
|
|
|
|
|
|
. По формуле (1.5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Второй интеграл вычисляется с помощью замены |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Третий интеграл вычисляется с помощью замены |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая вторую из формул (1.12), получаем: |
|
|
|
|
◄ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2. |
Определенный интеграл |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1. |
Определение определенного ин- |
|
|
|
|
|
|
y |
f (x) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
теграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на отрезке |
определена функ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ция |
(рис. 2.1). Разобьем отрезок |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
частей точками |
|
. |
(2.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В каждом из отрезков |
|
возьмем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
произвольным образом точку |
и найдем зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
чение функции в этой точке |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a x0 |
|
x1 |
|
2 x2 |
xi 1 i xi |
xn 1 |
|
|
x |
|
b |
||||||
Запишем сумму |
|
|
|
n |
n |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
, |
|
|
(2.2) |
|
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
. Обозначим |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение. Если существует конечный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
||
не зависящий от способа разбиения (2.1) отрезка |
|
и выбора точек |
, то его называют |
|||||||||||||||
определенным интегралом от функции |
на отрезке |
|
|
и обозначают |
|
|
|
|
. |
иназывают соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Если предел (2.3) существует, |
то функцию |
называют интегрируемой на от- |
|
резке |
. |
|
|
Если |
и - числа, то интеграл |
также является числом. |