Часть 2
.pdfПримерный вариант
Даны точки M1 3, 2, 7 , M2 4, 1, 2 ; векторы a1 2, 1,3 ,
a2 1, 2,1 |
; плоскости |
1 : 5x 3y 2z 3 0, 2 : x 2 y 3z 6 0 ; |
||||||||
прямые. l |
: |
x 1 |
|
y 2 |
|
z 1 |
|
и l |
|
: x 3t 1, y 2t 3, z 5t 1 . |
|
|
|
2 |
|||||||
1 |
5 |
3 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1. Составьте уравнения прямой, проходящей:
1)через точки M1, M2 ;
2)через точку M1 параллельно оси OY ;
3)через точку M 2 параллельно прямой l2 ;
4)через точку M1 параллельно прямой, образованной пересечением плоскостей 1, 2 ;
5)через точку M 2 перпендикулярно плоскости 1 .
2. |
Найдите точку пересечения прямой l1 |
и плоскости 2 . |
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Прямую |
в |
пространстве можно |
задать |
уравнениями |
||||
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
или x mt x , y nt y , z pt z |
|
, где |
||
|
|
|
0 |
||||||
m |
|
n |
p |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
M x0 , y0 , z0 – точка, принадлежащая данной прямой, s m, n, p – направляющий вектор прямой - вектор, лежащий на данной прямой
или |
|
на |
|
прямой, |
параллельной |
данной. |
Тогда |
||||||||||
|
M1M2 x2 |
x1, y2 |
y1, z2 z1 4 3, 1 2, 2 7 |
7,1,5 |
– |
||||||||||||
направляющий |
вектор, |
прямая |
|
задается |
уравнениями: |
||||||||||||
|
x 3 |
|
y 2 |
|
z 7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
5 |
направляющий вектор i 0,1,0 , тогда прямая |
||||||||||||||
2) |
|
На оси OY |
|||||||||||||||
задается уравнениями: |
x 3 |
|
y 2 |
|
z 7 |
или |
x 3, y t 2, |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
z 7.
41
3) Прямая l2 параллельна искомой прямой, следовательно, их направляющие векторы совпадают. Тогда прямая задается уравне-
ниями: |
|
x 4 |
|
y 1 |
|
|
z 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 5, 3, 2 , |
||||||
|
4) |
Искомая |
прямая |
параллельна |
|
векторам |
||||||||||||||||||||||
n2 1, 2, 3 , где n1 |
– нормальный вектор плоскости |
1 , n2 |
– нор- |
|||||||||||||||||||||||||
мальный вектор плоскости |
2 . Тогда векторное произведение этих |
|||||||||||||||||||||||||||
векторов – вектор, перпендикулярный искомой прямой. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
3 |
2 |
|
5 |
2 |
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n n |
5 |
3 |
2 |
|
i |
j |
|
k 5i 17 j 13k . |
||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Тогда прямая задается уравнениями: |
|
|
|
z 7 |
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
17 |
|
13 |
|
|
|||
|
5) |
Искомая прямая параллельна вектору n1 5, 3,2 |
– нор- |
мальному вектору плоскости 1 . Тогда вектор n1 – направляющий
вектор |
искомой |
прямой, |
прямая задается |
уравнениями: |
||||||||
|
x 4 |
|
y 1 |
|
z 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
Перепишем |
уравнения |
l1 в виде: |
x 5t 1, |
y 3t 2, |
||||||
|
z t 1. |
Координаты точки |
пересечения |
прямой |
и |
плоскости |
удовлетворяют уравнениям прямой и уравнению плоскости. Подставим полученные выражения для x, y, z в уравнение плоскости
2 : x 2 y 3z 6 0 5t 1 2 3t 2 3 t 1 6 0 14t 6 0 |
||||||||||||||||||||||
t |
3 |
x 5 |
3 |
1 |
22 |
, y 3 |
3 |
2 |
5 |
, z |
3 |
1 |
10 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 |
7 |
|
7 |
|
7 |
7 |
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
, |
5 |
|
|
|
10 |
|
||
Итак, точка пересечения имеет координаты: |
|
|
|
|
, |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
7 |
|
7 |
|
|
|
7 |
|
42
2.4. Поверхности второго порядка
Задание 2.4.1.
Даны уравнения. Выясните, какие поверхности описывают уравнения. Сделайте чертеж.
Номер |
Уравнения |
Номер |
Уравнения |
|
варианта |
варианта |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1) 3x2 y2 4z2 1 |
|
1) z2 2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
2) x2 2x 6 y 55 0 |
7 |
2) 36x2 9 y2 4z2 36 |
|||||||||||||||||||||||||
3) x2 2 y2 z2 16 |
3) x2 4 y2 z2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4) x2 y2 2z2 0 |
|
4) 36x2 9 y2 4z2 36 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1) 9x2 4 y2 z2 1 |
|
1)2x 2 3y 2 4z 12 y 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2) |
x 2 |
|
y 2 |
z 2 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||||
2 |
2) 2x2 3y2 1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
16 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3) x2 2x y2 2z 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3)x 2 3z 2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4) x2 y2 z2 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4)36(x 2)2 |
9 y 2 |
4z 2 36 |
|||||||||||||||||||||||
|
1) x2 y2 z2 36 |
|
1) z2 2z y2 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2) x2 y2 z2 0 |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
2) 3y2 2z2 1 |
9 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
3) 36x2 38 y2 z2 2z 71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3) |
|
|
4 |
1 |
|
9 |
|
1 |
||||||||||||||||||
|
4) x2 4z2 y2 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
4) x2 2 y2 |
4z |
2 |
|
8 |
|||||||||||||||||||||
|
1) 2x2 6 y |
|
1) z y2 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
2) 2x2 3y2 z2 4x |
10 |
2) x2 |
2 y2 z2 3 0 |
||||||||||||||||||||||||
3) 2x2 y z2 0 |
3) 9x2 4 y2 z2 36 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
4) x2 y2 4z2 0 |
|
4) x2 2 y2 z2 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) x2 2x y2 z 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
1) x2 y2 3z2 6z 3 0 |
|
2) |
x2 |
|
|
|
y2 |
|
z2 1 |
||||||||||||||||||
|
2) z2 y 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5 |
11 |
4 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) 4x2 y2 z2 16 |
3) 9x |
2 y2 |
z2 |
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
4) x2 y2 z2 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4) y |
1 |
x2 |
|
|
|
z2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1) x2 3y2 z2 0 |
|
1) x2 y2 9z2 2x 0 |
|||||||||||||||||||||||||
6 |
2) x2 y2 z2 10x 2 y 1 0 |
12 |
2) z2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) 2x y2 4z2 0 |
3) x2 3y2 (z 2)2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
4) 2 y2 z2 1 |
|
4) x2 2 y2 4z2 16 |
Продолжение
43
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1) x y2 4 y 4z2 4 |
|
|
1) |
|
|
y2 |
|
z2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) y |
2 |
|
|
4z |
2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) x2 |
|
6x y z2 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
3) |
|
|
(x 1)2 |
|
|
( y 1)2 |
|
z2 |
1 |
19 |
3) 9x2 y2 10z2 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
4) 4x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) z |
|
|
1 |
|
|
4 y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) x |
2 |
|
|
4z |
2 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) y |
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2) 3x2 12 y2 24 y 4z2 0 |
|
2) |
|
|
|
|
z2 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) x2 |
|
2 y2 z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4) 9x2 y2 3z2 27 |
|
|
3) 16x2 |
y2 |
|
z2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) x2 3y2 z2 6z2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1) (x 1)2 y2 4z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1) x |
|
|
|
z2 y2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) |
|
|
x2 |
|
|
|
z2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) x2 4x y2 z2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
4 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
3) y2 4z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) x |
2 |
|
4x y |
2 |
8z |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
z2 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4) 2x2 y z2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1) x2 2 y2 4 y z2 0 |
|
|
1) 4x2 y2 4 y z2 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2) y x2 z2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
3) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) x2 16 y2 z2 0 |
|
|
|
4 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
4) y 4 x2 3z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
4 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) x2 4 y 16z2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1) x |
|
|
|
z 4 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) x |
2 |
|
|
y |
2 |
4 y z |
2 |
|
0 |
|
|
2) 4x2 y2 4 y z2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
17 |
3) |
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
z2 1 |
|
|
|
|
23 |
3) x 4 y2 z2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4) 4x |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1) z 3 1 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
18 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
2) x2 |
|
3y2 z2 6z 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) x |
2 |
|
|
4x y2 z2 0 |
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4) x2 4 y2 z2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4) 4x2 y z2 0 |
|
|
Продолжение
44
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
1) 5x2 y2 3z2 0 |
|||||||||||||
|
1) x2 y (z 1)2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
||
|
2) 4 y2 2z2 1 |
|
2) x |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
25 |
28 |
4 |
9 |
|
||||||||||||
3) x2 3y2 z2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) x2 4x y 0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
4) x2 2 y2 z2 4 y 2 0 |
|
4) |
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z2 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
1) x2 4 y2 5z2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1) z |
|
|
|
|
x 4 y2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) x |
2 |
|
|
4x y |
2 |
z |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 3) y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
2) |
|
|
|
|
z2 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
2 |
4z |
2 |
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
2x |
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) x2 6x 4z2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1) z2 4 y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)z |
|
|
x 9 y 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) y 2 |
|
|
|
z2 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
x |
4x y |
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)x 2 |
6 y 2 3z 2 12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4)x2 |
2 y 2 2x z 2 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) x2 |
4 y2 z2 4z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примерный вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Даны уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
z2 |
|
1, |
4) |
x2 |
|
y2 |
|
z, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
16 |
|
9 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
x2 |
|
|
y |
2 |
|
|
z2 |
|
1, |
5) |
x2 |
|
|
|
y2 |
|
z. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
x2 |
|
|
|
y2 |
|
z2 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выясните, какие поверхности описывают уравнения. Сделайте
чертеж. |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|||
1) |
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 – эллипсоид с центром в начале координат. |
|
|
|
||||
4 |
16 |
9 |
|
Построим координатные сечения этой поверхности.
45
Сечение плоскостью YOZ
Сечение плоскостью XOZ
|
х 0 |
|
|
|
|
у2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
16 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
||
x2 |
z2 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
46
Сечение плоскостью XOY |
|
z 0 |
|
|
||
|
|
x2 |
y2 |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Все сечения
47
2) x2 y2 z2 1– однополостный гиперболоид с центром в на-
9 4 9
чале координат. Построим координатные сечения этой поверхности и сечения, параллельные координатным.
Сечение плоскостью XOY
z 0 |
|
|
||
x2 |
y2 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
9 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Сечение плоскостью XOZ
y 0 |
|
|
||
x2 |
z2 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
9 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
48
Сечение плоскостью YOZ
|
х 0 |
|
|
|
|
у2 |
z2 |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
Сечение плоскостью z = 3, параллельной ХOY |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 3 |
|
|
|
||
|
x2 |
|
y2 |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
18 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Сечение плоскостью z = –3, параллельной ХOY
z 3 |
||||
x2 |
|
y2 |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
18 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Все сечения
50