1.6. Условная вероятность.
Вероятность наступления события Апри условии, чтоВпроизошло, называетсяусловной вероятностью А при условии В:
, где.(11)
6. Независимость событий
События А и В называются независимыми, если выполнено равенство:
(12)
1.7. Формула умножения вероятностей
Если то
;-
формулы следуют из определения условной вероятности (формулы (11)).
Аналогичную формулу можно получить для набора случайных событий :
. (13)
Она верна, если , в этом случае все условные вероятности определены.
1.8. Вероятность суммы совместных событий
Пусть А и В - два совместных события. Проведём серию n испытаний, в котором событие А наступило m раз, событие В - k раз, событие AB - l раз (рис.1).
Рис.1.
, , ,
,
. (14)
1.9. Формула полной вероятности
Если события образуют полную группу событий и , то для любого события А имеет место формула
, (15)
где события называются гипотезами.
1.10. Формула Байеса
Если события образует полную группу событий, то для любого событияА, для которого Р(А)0, справедлива формула:.
- (16)
Формула Байеса используется в ситуации, когда эксперимент уже проведён, событие А наступило, и требуется переоценить шансы наступления гипотез, т.е. найти условные вероятности. Эти вероятности называются апостериорными (послеопытными), а гипотезы, которые рассматриваются до эксперимента – априорными (доопытными), при этом:
; .
1.11. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
Во многих прикладных задачах случайный эксперимент состоит из цепочки повторяющихся испытаний в сходных условиях. Результаты предшествующего испытания не оказывают влияния на последующие. В простейшем случае каждое испытание может закончиться одним из двух возможных исходов, и вероятность этих исходов постоянна. Проведём эксперимент, один из возможных исходов которого назовем успехом – У, а второй – неудачей – Н: р и q – известны, постоянны для вех испытаний и р+q=1. Эксперимент состоит из n таких независимых испытаний.
Пусть – событие, состоящее в появленииk успехов в серии из n испытаний, тогда вероятность этого события можно вычислить по формуле:
- (17)
- формула Бернулли.
Если событие В состоит в том, что число успехов наступит не менее k1 и не более k2 раз в серии из n испытаний, то справедлива формула:
. (18)
Пример14. Найти вероятность того, что в серии из 5 подбрасываний монеты герб выпадет ровно 2 раза.
► «Успех» (У) – выпадение герба,«неудача» (Н) – выпадение решки,следовательно, по формуле (18):