Ермаков

Александр Поддубный – выпускник лицея ФТШ, студент 5 курса кафедры твердотельной электроники ФТФ СПбГПУ, сотрудник сектора теории квантовых когерентных явлений ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН. Область научных интересов – экситонные поляритоны, фотонные кристаллы.

ВВЕДЕНИЕ

Фотонные кристаллы, т.е. среды, в которых диэлектрическая проницаемость периодически изменяется в пространстве с периодом, допускающим брэгговскую дифракцию света, были выделены в отдельный класс материалов в работах [1, 2] и активно изучаются в настоящее время. Простейшей реализацией фотонного кристалла (ФК) является структура, состоящая из двух периодически чередующихся композиционных материалов A и B с различными диэлектрическими проницаемостями εA è εB. Такая структура может быть одномерной, двумерной и трехмерной, как показано на рис. 1.

Физика фотонных кристаллов уже обсуждалась в журнале "Окно в микромир". В статье В.А. Кособукина [3] рассмотрены основы теории фотонных кристаллов, а в статье А.К. Самусева [4] – экспериментальные опти- ческие методики исследования трехмерных фотонных кристаллов. Настоящая заметка посвящена резонансным фотонным кристаллам (РФК), характерной особенностью которых является то, что диэлектрическая проницаемость одного из композиционных материалов ε зависит от частоты света ω и имеет полюс на некоторой резонансной частоте ω0. Далее будет предполагаться, что от частоты зависит только величина εA. Резонансная зависимость εA(ω) может присутствовать в том случае, когда ω0 – частота какого либо оптического резонанса в материале A, например – экситонного.

Поскольку фотонный кристалл является периоди- ческой структурой, то на нем может происходить брэгговская дифракция электромагнитных волн. Направления дифракционных максимумов определяются условием Брэгга

ãäå k' è k – волновые векторы падающего и дифрагированного света, соответственно, и b – вектор обратной решетки. К чему может привести резонансная зависимость диэлектрической проницаемости от частоты? Согласно формулам Френеля, коэффициент отражения нормально падающей электромагнитной волны от плоской границы, разделяющей полубесконечные материалы A и B, равен

Рассеяние света на шарике, цилиндре, или даже плоском слое конечной толщины описывается более сложными формулами, но для качественного анализа возможных эффектов можно воспользоваться и этой. На резонансной частоте ω0, при отсутствии диссипации энергии в материала А, значение εA(ω)стремится к бесконечности, а величина RAB – к единице. Следовательно, происходит дополнительное увеличение интенсивности дифрагированных волн. Поэтому в РФК происходят одновременно два явления – брэгговская дифракция и резонансное рассеяние на одной элементарной ячейке. В результате падающая на такую систему волна испытывает многократное когерентное резонансное рассеяние, что приводит к ряду особенностей оптических спектров РФК, представляющих теоретический и прикладной интерес. Например, если воздействие внешними полями может изменять значение ω0, и, следовательно, оптические спектры кристалла, то такой РФК будет управляемым частотным фильтром.

РФК различной размерности активно изучаются в настоящее время экспериментально. Трехмерные структуры могут быть созданы на основе опалов [6], а двумерные – с помощью литографии [7]. С середины 90-х годов экспериментально исследуются резонан-

Рис. 1. Схематическое изображение возможных реализаций одномерных (a), двумерных (b) и трехмерных (с) фотонных кристаллов. Разному цвету соответствуют материалы с разной диэлектрической проницаемостью.

сные брэгговские структуры с квантовыми ямами (КЯ), которые можно рассматривать как одномерные РФК. РФК посвящено и множество теоретических работ, например, работа [8], в которой подробно исследовано влияние частотной зависимости диэлектрической проницаемости на энергетический спектр фотонных кристаллов.

Во второй части настоящей статьи рассматриваются особенности энергетического спектра РФК в двухволновом приближении, а третья часть посвящена резонансным брэгговским структурам с КЯ.

ДИСПЕРСИОННЫЙ ЗАКОН

ÂДВУXВОЛНОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Âэтом разделе мы будем рассматривать трехмерный фотонный кристалл, однако полученные результаты легко обобщаются на случай меньших размерностей. С уче- том периодичности структуры электрическое поле световой волны E(r) можно искать в виде суперпозиции блоховских функций, удовлетворяющих условию

ãäå a – вектор примитивной трансляции решетки. Важнейшей задачей при теоретическом изучении фотонных кристаллов является нахождение закона дисперсии w(k) и положения запрещенных зон (или стопзон) в энергетическом спектре. Из (2) видно, что если частоте w соответствует волновой вектор k = e(k'+ik''), ãäå e – единичный вектор, то волна Ek(r), возбужденная извне, будет не переносить энергию, а экспоненциально затухать в глубь кристалла. Следовательно, падающее излу- чение не проникнет внутрь, а произойдет брэгговская дифракция. Таким образом, изучение зависимости w(k) позволяет сделать выводы о наблюдаемых величинах – спектральных положениях и направлениях дифракционных максимумов.

Вывод закона дисперсии в двухволновом приближении

Получим уравнение для нахождения дисперсии в фотонном кристалле в методе плоских волн (в англоязычной литературе такой способ называется plane wave method или PWM). Далее будет рассмотрено двухволновое приближение метода плоских волн, в рамках котором дисперсия может быть получена аналитически. В следующем разделе будут анализироваться решения полученного уравнения.

Для нахождения закона w(k) необходимо решать

ãäå e(r)=eA(w)в материале A и e(r)=eB в материале B. Градиент дивергенции сохранен, чтобы из уравнения следовала поперечность вектора индукции div[e(r)Ek(r)]=0. Электрическое поле удобно искать в виде суммы плоских волн

В этом случае условие (2) выполняется в силу тождества

a×b = 2pm, mÎN.

Поскольку, по определению фотонного кристалла, e(r) = e(r+a), то и диэлектрическую проницаемость можно разложить по плоским волнам:

мость РФК. Подставляя (4) и (5) в (3) и собирая коэффициенты при exp[i(k + b)r], получаем

Так как функции exp[i(k + b)r] линейно независимы, то условие равенства левой части нулю требует равенства нулю каждого из коэффициентов при этих функциях. В результате получается система уравнений относительно декартовых компонент величин Ek+b. Из условия существования ее нетривиальных решений записываем уравнение для нахождения закона дисперсии в методе плоских волн

Отметим, что матрица Mbb'αα ' бесконечна, и при численном решении приходится ограничивать число векторов

обратной решетки некоторым значением bmax, которое должно быть довольно большим для достижения высокой точности. В методе плоских волн требуется численно решать матричные уравнения размерности порядка 103 ¸ 104, что крайне затруднительно при наличии зависимости eb-b'(w), поскольку тогда уравнение выходит за рамки стандартных задач на собственные значе- ния линейной алгебры.

В этом случае удобнее использовать другие методы расчета зонной структуры. Если рассеиватели обладают сферической или цилиндрической симметрией, наиболее эффективным оказывается метод Коррин- ги-Кона-Ростокера (ККР, или KKR), основанный на разложении поля соответственно по сферическим и цилиндрическим волнам. Так же существуют методы, основанные на замене производных в уравнении Максвелла конечными разностями.

Однако далее мы остановимся на приближении, в рамках которого уравнение (6) решается аналитически. Для определенности будем рассматривать простую