физика

Закон Дюлонга-Пти (Закон постоянства теплоёмкости) — эмпирический закон, согласно которому молярная теплоёмкость твёрдых тел при комнатной температуре близка к 3R:

где R — универсальная газовая постоянная.

Закон выводится в предположении, что кристаллическая решетка тела состоит из атомов, каждый из которых совершает гармонические колебания в трех направлениях, определяемыми структурой решетки, причем колебания по различным направлениям абсолютно независимы друг от друга. При этом получается, что каждый атом представляет три осциллятора с энергией E, определяемой следующей формулой:

.

Формула вытекает из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы. Так как каждый осциллятор имеет одну степень свободы, то его средняя кинетическая энергия равна , а так как колебания происходят гармонически, то средняя потенциальная энергия равна средней кинетической, а полная энергия - соответственно их сумме. Число осцилляторов в одном моле вещества составляет , их суммарная энергия численно равна теплоемкости тела - отсюда и вытекает закон Дюлонга-Пти.

26) Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.

При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:

• Атомы в кристаллической решетке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.

• Частота колебаний всех осцилляторов одинакова.

• Число осцилляторов в 1 моле вещества равно , где — число Авогадро.

• Энергия их квантована: ,

• Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана:

Внутренняя энергия 1 моля вещества:

.

находится из соотношения для среднего значения:

и составляет:

,

отсюда:

.

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:

.

Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина иногда называется температурой Эйнштейна.

Фото́н (от др.-греч. φῶς, род. пад. φωτός, «свет») — элементарная частица, квант электромагнитного излучения (в узком смысле — света). Это безмассовая частица, способная существовать только двигаясь со скоростью света. Электрический заряд фотона также равен нулю. Фотон может находиться только в двух спиновых состояниях с проекцией спина на направление движения (спиральностью) ±1. Этому свойству в классической электродинамике соответствует круговая правая и левая поляризация электромагнитной волны. Фотону как квантовой частице свойственен корпускулярно-волновой дуализм, он проявляет одновременно свойства частицы и волны. Фотоны обозначаются буквой , поэтому их часто называют гамма-квантами (особенно фотоны высоких энергий); эти термины практически синонимичны. С точки зрения Стандартной модели фотон является калибровочным бозоном. Виртуальные фотоны являются переносчиками электромагнитного взаимодействия, таким образом обеспечивая взаимодействие, например, между двумя электрическими зарядами. Фотон — самая распространённая по численности частица во Вселенной. На один нуклон приходится не менее 20 миллиардов фотонов

27) Ограничимся рассмотрением состояния кристалла, состоящего из совокупности N одинаковых невзаимодействующих атомов, находящихся в одинаковых внешних условиях. Системы их энергетических уровней (энергетические спектры) одинаковы. При сближении этих атомов (образовании кристалла) система их уровней изменяется, т.к. каждый атом находится в силовом поле (N-1) других атомов кристалла. Изменяется энергия электронов, а следовательно, и уровни атомов: каждый уровень ранее изолированного атома расщепляется на N близких по значению энергий различных уровней, на каждом из которых может находиться не более двух электронов. (Если уровни энергии изолированных атомов являются вырожденными, из одного уровня при расщеплении "возникает" не N, а более, например, 2N уровней). Например, при отсутствии вырождения уровень первый − уровень энергии первого атома Е₁ при взаимодействии с (N-1) других атомов кристалла смещается на величину ΔЕ₁₁. Этот же уровень i-го атома смещается на ΔЕ_1i . То есть, энергия первого уровня i-го атома стала

Е_1i = Е₁ + ΔЕ_1i

У других атомов уровень энергии Е₁, бывший одинаковым для всех атомов, соответственно изменился по-разному, т.е., получаем N различных уровней

Е₁₁ = Е₁ + ΔЕ₁₁

Е₁₂ = Е₁ + Δ.Е₁₂

Е₁₃ = Е₁ + ΔЕ₁₃

.............

Е_1i = Е₁ + ΔЕ_1i

.............

Е_1N = Е₁ + ΔЕ_1N

Совокупность уровней, образующихся при расщеплении одного энергетического уровня изолированного атома в поле (N-1) взаимодействующих с ним атомов образуют зону (или полосу) разрешенных энергий.

Каждому уровню каждого ранее изолированного атома соответствует такая энергетическая зона. В рассматриваемом нами случае она состоит из N различных уровней. Зоны разрешенных энергий отделены друг от друга запрещенными зонами (полосами) (рис.2).

Рис.2а. Рис.2б.

Итак, в твердых телах - кристаллах, энергетический спектр представляет собой совокупность энергетических зон разрешенных энергий, разделенных зонами запрещенных энергий - энергетическими "щелями".

Электроны распределяются только по уровням разрешенных энергий, причем при абсолютном нуле температур (Т = 0 К) заполняются низшие невозбужденные уровни (основные состояния атомов).

Химические свойства элементов и ряд физических свойств веществ объясняются поведением внешних валентных электронов атомов. Зону разрешенных энергий, образованную из уровня изолированного атома, на котором находятся валентные электроны атома в основном состоянии (при Т= 0 К) называют валентной зоной.

При абсолютном нуле валентные электроны заполняют уровни валентной зоны, начиная с самых нижних уровней. Более высокие энергетические уровни и зоны (возбужденные) остаются свободными (рис.3).

Перемещение электронов в полностью заполненной валентной зоне не приводит к возникновению электрического тока, такие перемещения совершаются очень редко и не связаны с энергетическими изменениями в системе.

Однако, ток может возникнуть, если валентная зона Рис.3 либо неполностью заполнена электронами (рис.4а), либо перекрывается свободной зоной возбужденных состояний (рис.4б), и вблизи заполненных электронами уровней расположены свободные уровни. В этих случаях валентная зона (неполностью заполненная или перекрытая свободной зоной возбужденных состояний) называется зоной проводимости.

28)

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.

Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. Если при этом какой-то энергетический уровень полностью заполнен, то образующаяся энергетическая зона также заполнена целиком. В общем случае можно говорить о валентной зоне, которая полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электро­нов свободных атомов, и о зоне проводимости (свободной зоне), которая либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внеш­них «коллективизированных» электронов изолированных атомов.

В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая, изображенные на рис. 314. На рис. 314, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т. е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны, т. е. стать свободным и участвовать в проводимости. Внутризонный переход вполне возможен, так как, например, при 1 К энергия теплового движения kT10^–4 эВ, т. е. гораздо больше разности энергий между соседними уровнями зоны (примерно 10^–22 эВ). Таким образом, если в твердом теле имеется зона, лишь частично заполненная электронами, то это тело всегда будет проводником электрического тока. Именно это свойственно металлам.

Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне (рис. 314, б). Это имеет место для щелочноземельных элементов, образующих II группу таблицы Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn, ...). В данном случае образуется так называемая «гибридная» зона, которая заполняется валентными электронами лишь частично. Следовательно, в данном случае металлические свойства щелочноземельных элементов обусловлены перекрытием валентной и свободной зон.

Помимо рассмотренного выше перекрытия зон возможно также перераспределение электронов между зонами, возникающими из уровней различных атомов, которое может привести к тому, что вместо двух частично заполненных зон в кристалле окажутся одна полностью заполненная (валентная) зона и одна свободная зона (зона проводимости). Твердые тела, у которых энергетический спектр электронных состоя­ний состоит только из валентной зоны и зоны проводимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ширины запрещенной зоны Е.

Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону прово­димости и кристалл является диэлектриком, оставаясь им при всех реальных тем­пературах (рис. 314, в). Если запрещенная зона достаточно узка (Е порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения, либо за счет внешнего источника, способного передать электронам энергию Е, и кристалл является полупровод­ником (рис. 314, г).

Различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной теории состоит в том, что при 0 К в зоне проводимости металлов имеются электроны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же между диэлектриками и полупроводниками определяется шириной запрещенных зон: для диэлектриков она довольно широка (например, для NaCl Е=6 эВ), для полупроводников — достаточно узка (например, для германия Е=0,72 эВ). При температурах, близких к 0 К, полупроводники ведут себя как диэлектрики, так как переброса электронов в зону проводимости не происходит. С повышением температуры у полупроводников растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости, т. е. электрическая проводимость проводников в этом случае увеличивается.

29) 1. Металлы. Удельная электропроводность металла σ, полученная в электродинамике при выводе закона Ома в дифференциальной форме j = σ Е на основе классической электропроводности, выражается формулой

,

где n - концентрация "свободных электронов", <λ> - их средняя длина свободного пробега, <u_r> - средняя арифметическая скорость теплового хаотического движения.

В металле n и <λ> практически не зависят от температуры (при Т=0 К и температуре плавления концентрация электронов проводимости практически одинакова), а <u_r> прямо пропорциональна , следовательно, согласно классической теории электропроводности, σ должна быть пропорциональна . Однако, экспериментально в широкой области температур получена зависимость , подтвержденная расчетами, проведенными на основе квантовой теории электропроводности.

В ней доказано, что внешнее электрическое поле ускоряет не все свободные электроны в металле (как принято считать в классической теории), а лишь электроны, находящиеся на уровне Ферми или вблизи него. Электроны на более "глубоких" уровнях не принимают участие в электропроводности.

Кроме того, следует учесть, что электроны проводимости перемещаются не только под действием внешнего электрического поля напряженности Е, но и в периодическом поле кристаллической решетки, действие которой следует учесть, введя эффективную массу электрона m*;

где - сила, обусловленная действием на электрон поля кристаллической решетки.

2. В чистом полупроводнике носителями тока также являются электроны проводимости, но механизм их возникновения отличается от механизма возникновения электронов проводимости в металлах.

Главные факторы их образования: тепловое хаотическое движение и наличие тепловых флуктуаций - отклонение энергий ионов (атомов) кристаллической решетки от их среднего значения (эти отклонения существуют при любой температуре, большей абсолютного нуля).

Такие атомы отдают валентные электроны, которые переходят через зону запрещенных энергий ΔЕg в зону проводимости. Поэтому при любой температуре, большей абсолютного нуля, в зоне проводимости полупроводника имеется некоторое количество электронов.

Одновременно с появлением в зоне проводимости электронов в ранее заполненной (валентной) зоне возникают дырки, перемещающиеся под действием внешнего электрического поля в направлении, противоположном перемещению электронов в зоне проводимости. При этом концентрации электронов и дырок одинаковы, n_э = n_д = n, а суммарная плотность тока j, обусловленная движением электронов и дырок

,

где σ = n∙ e (u_э + u_д),

u_э - подвижность электронов проводимости,

u_д - подвижность дырок.

Для установления зависимости σ от Т, необходимо знать зависимость n, u_э и u_д от Т.

Концентрация электронов проводимости в полупроводнике при температуре Т пропорциональна вероятности заполнения уровня Е в зоне проводимости, которая определяется формулой

то есть где A - постоянная величина.

Примем E за нижнюю границу зоны проводимости, на которую переходит электрон с верхней границы валентной зоны Е_в

Е = Е_в +ΔЕ_g,

E = Е_в +ΔЕ_g/2 (уровень Ферми расположен посередине ΔЕ_g)

Отсюда следует, что

Е - Е = ΔЕ_g/2 , а

При ΔЕ_g >> kT, , и, следовательно, концентрация электронов проводимости

Зависимость подвижности носителей тока (электронов и дырок) от температуры обусловлена рассеянием электронов при столкновении их с атомами (ионами) кристаллической решетки (при взаимодействии с атомами происходит изменение скорости электронов, как по величине, так и по направлению). С повышением температуры полупроводника тепловое хаотическое движение атомов становится интенсивнее, рассеяние увеличивается, подвижность носителей тока u = <v>/E (где <v> - средняя скорость направленного движения электронов) уменьшается.

Опытным путем, на основе исследования эффекта Холла, установлено, что в области температур Т≥Т_с (Т_с - температура собственной проводимости) температурная зависимость подвижных носителей тока в атомных полупроводниках имеет вид u ~ T^-3/2 , в ионных – u ~ Т ^–1/2 .

Таким образом, при сравнении температурной зависимости n(T) и u(T) становится очевидной определяющая роль температурной зависимости n(T) в выражении для удельной электропроводности

σ = n∙e∙(u_э + u_д), т.е.

3. В примесных полупроводниках при Т< Тс проводимость обусловлена преимущественно наличием примесей (донорных или акцепторных); при Т≥Т_с появляется собственная проводимость.

Удельная электропроводность такого полупроводника описывается выражениями:

или

Первый член в выражении для σ − составляющая собственной проводимости, второй - примесной. В этом выражении ΔЕ_g - энергия диссоциации (ионизации) - ширина запрещенной зоны, ΔЕ₁ и ΔЕ₂ - энергии активации. У донорных примесей - это энергия, необходимая для перехода с донорного уровня на нижний уровень зоны проводимости (ΔЕ₁, рис.6а), у акцепторных полупроводников - энергия, необходимая для перехода электрона с верхнего уровня валентной зоны (ΔЕ₂, рис.6б).

В примесных полупроводниках при достаточно высоких температурах проводимость является собственной, а при низких – примесной.

30) Полупроводниками являются твердые тела, которые при Т=0 характеризуются полно­стью занятой электронами валентной зоной, отделенной от зоны проводимости сравнительно узкой (Е порядка 1 эВ) запрещенной зоной (рис. 314, г). Своим названием они обязаны тому, что их электропроводность меньше электропроводности металлов и больше электропроводности диэлектриков.

В природе полупроводники существуют в виде элементов (элементы IV, V и VI групп Периодической системы элементов Менделеева), например Si, Ge, As, Se, Те, и химических соединений, например оксиды, сульфиды, селениды, сплавы элементов различных групп. Различают собственные и примесные полупроводники. Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью. Примером собственных полупроводников мо­гут служить химически чистые Ge, Se, а также многие химические соединения: InSb, GaAs, CdS и др.

При 0 К и отсутствии других внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении же температуры электроны с верхних уровней валентной зоны I могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводи­мости II (рис. 315). При наложении на кристалл электрического поля они перемещаются против поля и создают электрический ток. Таким образом, зона II из-за ее частичного «укомплектования» электронами становится зоной проводимости. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется электронной проводимостью или проводимостью n-типа (от лат. negative — отрицательный).

В результате тепловых забросов электронов из зоны I в зону II в валентной зоне возникают вакантные состояния, получившие название дырок. Во внешнем электричес­ком поле на освободившееся от электрона место — дырку — может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон, и т. д. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырки в направлении, противоположном движению электрона, так, как если бы дырка обладала положительным зарядом, равным по величине заряду электрона. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная квазичастицами — дырками, называется дырочной проводимостью или проводимостью p-типа (от лат. positive — поло­жительный).

Таким образом, в собственных полупроводниках наблюдаются два механизма проводимости: электронный и дырочный. Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне, так как последние соответствуют электронам, возбужденным в зону проводимости. Следовательно, если концентрации электронов проводимости и дырок обозначить соответственно п_e, и n_р, то

                                                        (242.1)

Проводимость полупроводников всегда является возбужденной, т. е. появляется только под действием внешних факторов (температуры, облучения, сильных электрических полей и т. д.).

В собственном полупроводнике уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны (рис. 316). Действительно, для переброса электрона с верхнего уровня валентной зоны на нижний уровень зоны проводимости затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны E. При появлении же электрона в зоне проводимости в валентной зоне обязательно возникает дырка. Следовательно, энергия, затраченная на образование пары носителей тока, должна делиться на две равные части. Так как энергия, соответствующая половине ширины запрещенной зоны, идет на переброс электрона и такая же энергия затрачивается на образование дырки, то начало отсчета для каждого из этих процессов должно находиться в середине запрещенной зоны. Энергия Ферми в собственном полупроводнике представляет собой энергию, от кото­рой происходит возбуждение электронов и дырок.

Вывод о расположении уровня Ферми в середине запрещенной зоны собственного полупроводника может быть подтвержден математическими выкладками. В физике твердого тела до­казывается, что концентрация электронов в зоне проводимости

                                        (242.2)

где E₂—энергия, соответствующая дну зоны проводимости (рис. 316), Е_F — энергия Ферми, Т — термодинамическая температура, С₁ — постоянная, зависящая от температуры и эффективной массы электрона проводимости. Эффективная масса — величина, имеющая размерность массы и характеризующая динамические свойства квазичастиц — электронов проводимости и дырок. Введение в зонную теорию эффективной массы электрона проводимости позволяет, с одной стороны, учитывать действие на электроны проводимости не только внешнего поля, но и внутреннего периодического поля кристалла, а с другой стороны, абстрагируясь от взаимодействия электронов проводимости с решеткой, рассматривать их движение во внешнем поле как движение свободных частиц.

Концентрация дырок в валентной зоне

                                        (242.3)

где С₂ — постоянная, зависящая от температуры и эффективной массы дырки, Е₁ — энергия, соответствующая верхней границе валентной зоны. Энергия возбуждения в данном случае от­считывается вниз от уровня Ферми (рис. 316), поэтому величины в экспоненциальном множителе (242.3) имеют знак, обратный знаку экспоненциального множителя в (242.2). Так как для собственного полупроводника п_e=n_p (242.1), то

Если эффективные массы электронов и дырок равны (), то С₁=С₂ и, следовательно, –(E₂–E_F)= =E₁–E_F, откуда

т. е. уровень Ферми в собственном полупроводнике действительно расположен в середине запрещенной зоны.

Taк как для собственных полупроводников E>>kT, то распределение Ферми - Дирака (235.2) переходит в распределение Максвелла - Больцмана. Положив в (236.2) E–E_F  E/2, получим

                                         (242.4)

Количество электронов, переброшенных в зону проводимости, а следовательно, и ко­личество образовавшихся дырок пропорциональны N(Е). Таким образом, удельная проводимость собственных полупроводников

                                                           (242.5)

где ₀ — постоянная, характерная для данного полупроводника.

Увеличение проводимости полупроводников с повышением температуры является их характерной особенностью (у металлов с повышением температуры проводимость уменьшается). С точки зрения зонной теории это обстоятельство объяснить довольно просто: с повышением температуры растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости и участвуют в проводимости. Поэтому удельная проводимость собственных полупроводников с повышением температуры растет.