9. 9. Собственные векторы и собственные значения

Линейное отображение линейного пространства в себя называется линейным оператором на этом пространстве.

Скаляр называется собственным значением линейного оператора, если существует вектор, такой что() =. Этот векторназывается собственным вектором линейного оператора, принадлежащим собственному значению.

Пусть линейный оператор задается матрицей А. Тогда множество собственных значений оператораесть множество корней уравненияА –Е= 0, называемого характеристическим уравнением оператора.

П р и м е р 9.1. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

А = .

Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение. Для этого вычисляем определитель

А – Е== (6 –)=

= (6 – )((2 –)(3 –) – 12) = (6 –)(²– 5- 6) = (6 –)²(1 +).

Приравняв определитель к нулю, получаем собственные значения ₁= 6,₂= -1. Для каждого из них находим собственные векторы. Для этого следует решать уравнения (А –Е)=.

1) ₁= 6:

А–₁Е =~;

x₃ = a; x₂ = 0; -4 x₁ + 3a = 0; x₁= 3/4 a; = (3/4 a, 0, a) = a(3/4, 0, 1).

2) ₂ = -1:

А–₂Е =~~;

x₃ = a; x₂ = 0; x₁ + a = 0; x₁= - a; = (- a, 0, a) = a(-1, 0, 1).

О т в е т: ₁= 6,= a(3/4, 0, 1), где a;

₂ = -1,= a(-1, 0, 1), где a.

1. Задания к контрольной работе

В качестве a и b возьмите соответственно предпоследнюю и последнюю цифры номера зачетной книжки.

1. Найти частное решение неоднородной системы и фундаментальную систему решений ассоциированной однородной системы

2. Найти базис системы векторов = (1, 3, 2, 2),= (2, 5, 3, 2),

= (0, 1, 1, 2), = (2,a,1,b) и выразить остальные векторы через базис.

3. Найти обратную к матрице А и проверить результат, умножив А на А^-1:

А = .

4.Вычислить определитель:

5. Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

6. Ортогонализировать систему векторов:

= (1, 1, 0, -2), = (2, 2, b, -1), = (a+3, -a+1, b, -1).

7. Найти ранг, дефект, базисы образа и ядра линейного отображения f, заданного матрицей

А = .

8. Найдите собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

А = .

Содержание

1. Системы линейных уравнений 1

2. Линейная зависимость. Базис системы векторов 4

3. Фундаментальная система решений 6

4. Алгебра матриц 7

5. Определители 9

6. Линейные пространства. Подпространства. Размерность и базис 12

7. Евклидово пространство 14

8. Линейные отображения 16

9. Собственные векторы и собственные значения 18

Задания к контрольной работе 20