9. Систематические дроби
Любое рациональное число может быть записано в виде конечной или бесконечной периодической дроби в любой m-ичной позиционной системе счисления. Вm-ичной записи числа
A
= 
= 
,
где 0 < A < 1, повторяющаяся последовательность цифр а1…аk называется периодом, а расположенная перед ней после запятой последовательность b1…bl – предпериодом. Длина периода и предпериода – это число цифр в них. Дробь называется чисто периодической, если предпериод в ней отсутствует.
Теорема
9.1.Если у рационального числа
,
записанного в виде несократимой дроби,
знаменательbвзаимно
прост с основанием системыm,
тоАзаписывается в виде чисто
периодическойm-ичной
дроби, длина периодаk
которой есть порядок числаmпо модулюb.
Если знаменатель дроби не взаимно прост с основанием системы m, то домножаем числитель на такую степеньm, чтобы после сокращения со знаменателем в знаменателе осталось число, взаимно простое сm. Эта степень и есть длина предпериода. Если при этом в знаменателе останется 1, тоm-ичная дробь будет конечной. Если знаменатель будет больше 1, то длина периода определяется с помощью теоремы 9.1. по получившейся дроби.
Пример
9.1. Найти длину предпериода и периода
при разложении числа
в
14-ричную дробь.
Решение. Имеем (36, 14) = 2 > 1. Поэтому производим преобразования:
.
Заключаем, что длина предпериода равна 2. Для нахождения длины периода вычисляем порядок O(14 mod 9). Имеем (9) = 6, поэтому искомый порядок есть делитель числа 6. Проверяем последовательно эти делители:
1415 (mod 9);
14252 25-2(mod 9);
143= 14214(-2)5 -10-1(mod 9);
146 (-1)2 1(mod 9).
Следовательно, длина периода равна 6.
Упражнение9.1. Найдите длину предпериода и периода при разложении числаAвm-ичную дробь:
а)
,m= 15; б)
,m= 14; в)
,m= 12.
Задания к контрольной работе
В качестве a и b возьмите соответственно предпоследнюю и последнюю цифры номера зачетной книжки.
1. Разложите на простые множители число 1501 + 30(a + b).
2. Найдите НОД(150 + a, 85 +b) и его линейное представление.
3.
Запишите в виде цепной дроби число
.
4. Сверните цепную дробь: [2; a+ 1, 10 –b, 2].
5.
Переведите число из одной системы в
другую:
;
.
6. Вычислите функцию Эйлера (20 + 10a+b).
7. Решите сравнения: а) (45 + a)х11 +b(mod 73);
б) 14х3 +b(mod (16 + 2a));в) 14х2 +b(mod (16 + 2a)).
8. Найдите первообразный корень по модулю 13, постройте таблицу индексов по этому модулю и решите с помощью нее сравнения:
а) (27 + b)х 12 (mod 13);
б) (а + 3)х10 12 – b (mod 13);
в) (а + 3)х10 1 + b (mod 13).
9.
Найдите длину предпериода и периода
при разложении числа
в 14-ричную дробь.
Л и т е р а т у р а:
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., «Высшая школа», 1979.
Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. М., «Просвещение», 1970.
Содержание
1. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ 3
2. НОД и НОК 3
3. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 5
4. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 6
5. ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 7
6. СРАВНЕНИЯ 7
7. РЕШЕНИЕ СРАВНЕНИЙ 9
8. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ 11
9. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ДРОБИ 13
Учебное издание
Решение задач по алгебре для 3 курса ОЗО факультета математики и информатики
Составитель