- •Решение задач по алгебре
- •Игнатов Юрий Александрович
- •Теория многочленов
- •1. Деление с остатком. Схема Горнера
- •2. Наибольший общий делитель
- •3. Кратные множители
- •4. Симметрические многочлены
- •5. Многочлены над полями комплексных и действительных чисел
- •6. Многочлены над полем рациональных чисел
- •7. Алгебраические числа
- •Задание для контрольной работы
- •Содержание
7. Алгебраические числа
В этом разделе все поля являются подполями поля комплексных чисел.
Число называется алгебраическим над полемF, еслиесть корень некоторого многочлена изF[x].
Число называется алгебраическим, еслиалгебраично над полем рациональных чисел. Это равносильно тому, чтоесть корень многочлена с целыми коэффициентами. Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
В школьном курсе алгебры рассматривается задача освобождения от квадратичной иррациональности в знаменателе дроби. Она решается с помощью домножения знаменателя на сопряженное выражение. Аналогично решается общая задача освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.
Пример7.1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, где3– 3+ 3 = 0.
Решение. Числоесть корень многочлена(х) =х3– 3х+ 3. В знаменателе дроби стоит значениеf(), гдеf(x) = x2–x+ 2. Найдем НОД(, f ) и его линейное представление, как в примере 2.1. Получим
НОД(, f ) = 35 = (4x+ 3)– (4x2+ 7x– 13)f.
(нет необходимости делать НОД(, f ) = 1).Подставив значение х = и воспользовавшись тем, что () = 0, получим 35 = –(42+ 7– 13)f(). Значит, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, достаточно умножить его на 42+ 7– 13. На это же выражение умножаем числитель и получаем
==.
В числителе степень следует понизить, сделав ее меньше, чем у. Для этого разделим с остаткомh(x) = 4x3+ 15x2– 5x– 26 на(х). Получим
h(x) = 4(х) + 15х2+ 7х– 38,
откуда h() = 152+ 7– 38. Окончательно получаем
=.
Упражнение 7.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) , где 3 – 22 + 2 = 0;
б) , где 3 + 4 + 2 = 0;
в) .
Задание для контрольной работы
Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки.
1. Разложить многочлен f (х) по степеням х –c:
f = 2x4 – 3x2 + 5x + 2, c = 2;
f = 2x4 – 3x3 + 2x + 1, c = 2;
f = 3x4 – 3x2 + 4x + 4, c = 2;
f = 2x4 + 3x3 – x2 + 2, c = 2;
f = 2x4 – 5x2 + 2x + 3, c = 3;
f = 2x4 – 3x3 + 5x + 2, c = 2;
f = 3x4 – 3x2 – 5x + 1, c = 1;
f = 2x4 + 3x3 + 5x – 2, c = 2;
f = 2x4 – x2 – 5x + 3, c = 3;
1.10 f = 2x4 – 3x3 + 2x + 5, c = 2.
2. Найдите НОД(f, g) и его линейное представление:
f = x4 + 4x3 + 7x2 + 8x + 2, g = x3 + 3x2 + 3x + 2;
f = x4 – x2 – 4x – 4, g = x3 – x2 – x – 2;
f = x5 + 2x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 2, g = x4 + x3 + 2x2 + x + 1;
f = x4 + 2x3 + x2 + x – 2, g = x3 + 3x2 + 3x + 2;
f = x4 – 2x3 + x2 – 3x + 2, g = x3 – x2 – x – 2;
f = x5 + 2x3 – x2 + x – 1, g = x4 + x3 + 2x2 + x + 1;
f = x5 – x2 – x + 1, g = x4 + x3 – x – 1;
f = x4 + 2x3 + x2 + 3x + 2, g = x3 + x2 – x + 2;
f = x4 – 2x3 + x2 – x – 2, g = x3 – 3x2 + 3x – 2;
2.10 f = x4 – 3x3 + x2 – 2x – 3, g = x3 – 4x2 + 4x – 3.
3. Разложите многочлен на множители, отделив кратные множители:
x5+ 5x4+ 3x3– 13x2 – 8x+ 12;
x5– 4x4+x3+ 14x2 – 20x+ 8;
x5 – 5x4 + 7x3 + x2 – 8x + 4;
x5 – 5x4 + 3x3 + 13x2 – 8x – 12;
x5 + x4 – 5x3 – x2 + 8x – 4;
x5 – 3x4 – 5x3 + 27x2 – 32x + 12;
x5 – 9x4 + 31x3 – 51x2 + 40x – 12;
x5 – 8x4 + 25x3 – 38x2 + 28x – 8;
x5 – 7x4 + 19x3 – 25x2 + 16x – 4;
3.10 x5 + 3x4 – 51x3 – 27x2 – 32x – 12.
4. Выразите через элементарные симметрические многочлены:
f = x14x2 + x14x3 +x1x24 + x1x34 + x24x3 + x2x34;
f = x14 + x24 + x34 – 3x12x22 – 3x12x32– 3x22x32;
f = x14 + x24 + x34 + 3x12x22 + 3x12x32+ 3x22x32;
f = x14 + x24 + x34 – x12x22 – x12x32– x22x32;
f = x14x2x3 + x1x24x3 + x1x2x34;
f = x14x2x3 + x1x24x3 + x1x2x34 – x13x23 – x13x33– x23x33;
f = x14x2x3 + x1x24x3 + x1x2x34 – 2x13x23 – 2x13x33– 2x23x33;
f = x14x2x3 + x1x24x3 + x1x2x34 – 3x13x23 – 3x13x33– 3x23x33;
f = x14x2x3 + x1x24x3 + x1x2x34 + 2x13x23 + 2x13x33 + 2x23x33;
4.10 f = x14x2x3 + x1x24x3 + x1x2x34 + 3x13x23 + 3x13x33 + 3x23x33.
5. Постройте многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий:
двойной корень 2 и простой корень 1 – 2i;
5.2 двойной корень 1 и простой корень 2 – i;
5.3 двойной корень 3 и простой корень 1 – i;
5.4 двойной корень 2 и простой корень 1 + 2i;
5.5 двойной корень 1 и простой корень –1 – 2i;
5.6 двойной корень 2 и простой корень –1 – i;
5.7 двойной корень 3 и простой корень 1 + 2i;
5.8 двойной корень 3 и простой корень –1 + 2i;
5.9 двойной корень 1 и простой корень 1 – 2i;
5.10 двойной корень 2 и простой корень –2 – i.
6. Найдите рациональные корни многочлена
4x4+8x3–19x2 – 23x+ 30;
4x4+8x3–23x2 – 25x+ 42;
6.3 4x4–8x3– 23x2 + 67x– 42;
6.4 6x4–9x3– 21x2 + 36x– 12;
6.5 6x4– 3x3– 39x2 + 48x– 12;
6.6 9x4– 21x3–11x2 + 44x– 20;
6.7 9x4– 30x3– 8x2 + 61x– 30;
6.8 9x4+ 24x3– 26x2 – 41x+ 30;
6.9 9x4+ 30x3–12x2 – 53x+ 30;
6.10 9x4+ 30x3– 3x2 – 32x+ 12.
7. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
7.1, где 3 – 3 + 3 = 0;
7.2 , где 3 – 2 + 2 = 0;
7.3 , где 3 – 22 + 2 = 0;
7.4, где 3 – 3 + 3 = 0;
7.5, где 3 + 2 – 2 = 0;
7.6 , где 3 – 3 + 3 = 0;
7.7 , где 3 – 4 + 2 = 0;
7.8 , где 3 – 22 + 2 = 0;
7.9 , где 3 + 2 + 2 = 0;
7.10 , где3– 6+ 3 = 0.
Л и т е р а т у р а:
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., «Высшая школа», 1979.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М., «Наука», 1977.