итоговые

2. Понятие моделирования.

Модель – физич. образ или объект, кот. упрощённо отображает самые существенные св-ва объекта исследования.

Моделирование – метод научного исследования объектов, явлений и процессов при построении и изучении модели, построенной, с целью получения новых знаний об объекте.

2 аспекта моделир.:

- Создание модели.

- Использование модели для изучения объекта.

Существует 3 подхода моделиров.:

- Абстрактный

- Физический

- Информационный.

3. Этапы компьютерного моделирования.

1. Выбор модели.

2. Определ. цели моделирования.

3. Сбор информации.

4. Огрубление модели.

5. Построение математич. модели.

6. Поиск алгоритма решения получения систематических формул.

7. Разработка или поиск алгоритма решения полученной системы.

8. Написание программы.

9. Отладка программы.

10. Проведение эксперимента.

11. Анализ полученного результата.

4. Вычислительная погрешность. Вычислительная погрешность и методы её оценки(правило подсчёта цифр, систематический учёт погрешностей, метод границ).

Вычислительная погрешность

Типы погрешностей:

Погрешность исходных данных.

Погрешность округления (погрешность метода).

Погрешность записи (погрешность вычисления).

Подходы вычисления:

Статистический.

Классический.

Классические подходы:

Метод границ.

Правило подсчета цифр.

Систематический учет погрешности.

Опред: Цифра в записи числа явл. верной в широком смысле, если погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором эта цифра стоит.

В узком смысле единица разряда, в котором эта цифра стоит.

Опред: значащими наз. все верные не нулевые цифры и нули, ели они стоят между не нулевыми ил в конце числа, как представители сохраняемого разряда.

Метод границ.

Требуется вычислить Z=(a*b+c)/sin⁡d a=2,72±0,03; b=3,180; c=4,0020; d=1,2±0,03

В методе границ определяется не точное значение результата, а диапазон числовой оси содержащее это значение.

НГа*НГв=8,55157

ВГа*ВГв=8,74775

├ █(Z ̅=(Z_1+Z_2)/2@∆Z=(Z_1-Z_2)/2)} Z ̅±∆Z

Правило подсчета цифр.

При сложении (вычитании) приближенных чисел в результате сохраняются столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с min их количеством.

При умножении, в результат сохраняется столько значащих цифр, сколько их содержится в числе с min их количеством.

При вычислении элементарных функций приблизительного аргумента в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их содержится в аргументе.

В приближенных вычислениях необходимо сохранят на 1-2 цифры больше, чем предписывают предыдущие правила, которые в конечном результате отбрасывают.

Систематический учет погрешностей.

Дана функция f(x_1,x_2,…,x_n) и известны абсолютные погрешности ∆x_1,∆x_2,…,∆x_n, тогда абсолютная погрешность может быть найдена по формуле: ∆f=∑_(i=1)^n▒〖|∂f/∂x_i |*∆x_i 〗

Если f=a+b

δf=∆f/|f| =∑_(i=1)^n▒〖|∂ ln⁡f/∂x_i |*∆x_i 〗

5. Правила округления.

6. Верные цифры.

7. Значащие цифры.

8. Машинная погрешность.

9. Решение нелинейных уравнений.

Пусть дано не линейное уравнение f(x)=0. Пусть его требуется решить. Будем полагать, что f(x)- уравнение с вещественными коэффициентами и требуется найти вещественные корни.

f(x^'+ix^'' )=0 ⇒f_1 (x^',x^'' )+if_2 (x^',x^'' )=0

{█(f_1 (x^',x^'' )=0@f_2 (x^',x^'' )=0)┤

Решение не линейного уравнения состоит из 2-х этапов:

Отделение корней.

Уточнение корней.

Отделить корень ¬¬– найти его приблизительное значение или указать достаточно узкий интервал, содержащий этот корень.

Определение корней опирается на 2 теоремы:

Т1: если ф-и f(x) определена и непрерывна на интервале (a,b) и принимает на концах этого интервала значения разных знаков, то на этом интервале уравнение f(x)=0 содержит по крайней мере один корень(1 либо несколько).

Т2: если непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) не меняет знак своей 1-й производной, то на этом интервале уравнение f(x)=0 содержит единственный корень.

10. Отделение корней.

Отделить корень ¬¬– найти его приблизительное значение или указать достаточно узкий интервал, содержащий этот корень.

Определение корней опирается на 2 теоремы:

Т1: если ф-и f(x) определена и непрерывна на интервале (a,b) и принимает на концах этого интервала значения разных знаков, то на этом интервале уравнение f(x)=0 содержит по крайней мере один корень(1 либо несколько).

Т2: если непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) не меняет знак своей 1-й производной, то на этом интервале уравнение f(x)=0 содержит единственный корень.

Способ отделения корней

1. Табулирование функций

x f(x)

x_0 +

x_0+h +

x_0+2h -

…

x_n

2. Построить график ф-и:

3. Исследование функции: Уточнить корень – найти его значение с погрешностью, не превосходящих заданной величины.

11. Уточнение корня методом поразрядного приближения.

: Уточнить корень – найти его значение с погрешностью, не превосходящих заданной величины.

Методы отделения корней.

1. Метод поразрядного приближения - многократное повторение табулирования ф-и на интервале смене знака с шагом, уменьшающимся с 10 раз.

12. Метод дихотомии (метод полов. деления).

Метод половинного деления или метод дихотомии.

f(a)<0 f(b)>0 c=(a+b)/2

Анализируем знаки. Если f(a)*f(c)>0, то a=c , иначе b=c

Если ε заданная точность, то 1/2^n≤ε

В excel оформить в виде таблицы:

13. Метод хорд.

Метод хорд.

f(a)>0; f(b)<0 ;f^' (x)<0;f^'' (x)>0

f(a)>0; f(b)<0 ;f^' (x)<0;f^'' (x)<0

f(a)<0; f(b)>0 ;f^' (x)>0;f^'' (x)>0

f(a)<0; f(b)>0 ;f^' (x)>0;f^'' (x)<0

В методе хорд изменяться будет на конце интервала (a,b) в котором знак ф-и противоположен знаку второй производной.

Уравнение прямой проходящей через 2 точки :

(y-f(a))/(f(b)-f(a))=(x-a)/(b-a)

При x=a y=0

a_1=a-(f(a)/(f(b)-f(a) ))*(b-a)

a_2=a_1-(f(a_1 )/(f(b)-f(a_1 ) ))*(b-a_1 )

……………………………

a_(i+1)=a_i-(f(a_i )/(f(b)-f(a_i ) ))*(b-a_i )

Анализ вычисляемого алгоритма показывает, что завершение вычисления алгоритма определяется достижением справедливости следующего неравенства:

〖(x_(i+1)-x_i)〗^2/|〖2x〗_i-x_(i+1)-x_(i-1) | <ε

Под x_i понимается a_i или b_i в зависимости от того, какая из этих точек интервала изменяется.

14. Метод Ньютона.

Изменяется тот конец интервала, на котором знак функции совпадает со знаком второй производной.

Уравнение касательной:

y-f(b)=f^' (b)(x-b)

При x=b_1,y=0

b_1=b-f(b)/(f^' (b) )

b_(i+1)=b_i-f(b_i )/(f^' (b_i ) )

Анализ вычисляемого алгоритма показывает, что завершение вычисления алгоритма определяется достижением справедливости следующего неравенства:

〖(x_(i+1)-x_i)〗^2/|〖2x〗_i-x_(i+1)-x_(i-1) | <ε

15. Итерационные методы реш. нелинейных уравнений. Сходимость и точность методов.

16. Системы уравнений. Прямые методы. Оценка точности.

17. Системы уравнений специального вида. Метод прогонки..

18. Системы уравнений. Итерационные методы. Оценка точности.

19. Системы линейных уравнений.

20. Приближение функций.